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2^-2)
二进制和十六进制,八进制一样,都以二的幂来进位的。
二.二进制数据的算术运算的基本规律和十进制数的运算十分相似。
最常用的是加法运算和乘法运算。
1.二进制加法
有四种情况:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10进位为1
【例1103】求(1101)2+(1011)2的和
1101
+1011
-------------------
11000
2.二进制乘法
有四种情况:
0×
0=0
1×
0×
1=0
1=1
【例1104】求(1110)2乘(101)2之积
1110
×
101
-----------------------
0000
1110
-------------------------
1000110
(这些计算就跟十进制的加或者乘法相同,只是进位的数不一样而已,十进制的是到十才进位这里是到2就进了)
3.二进制减法
0-0=0,1-0=1,1-1=0,10-1=1。
4.二进制除法
0÷
1=0,1÷
1=1。
[1][2]
5.二进制拈加法
拈加法二进制加减乘除外的一种特殊算法。
拈加法运算与进行加法类似,但不需要做进位。
三..二进制数的逻辑运算
•逻辑运算结果是“1”或“0”,它代表了所要研究问题的两种状态或可能性,赋予逻辑含义,可以表示“真”与“假”、“是”与“否”、“有”与“无”。
•计算机中,只有用“1”或“0”两种取值表示的变量,即具有逻辑属性的变量称为逻辑变量。
•逻辑运算与算术运算的主要区别是:
逻辑运算是按位进行的,位与位之间不像加、减运算那样有进位或借位的联系。
•逻辑运算包括三种基本运算:
逻辑加法、逻辑乘法和逻辑否定。
此外,还可以导出异或运算、同或运算以及与或非运算等。
下面介绍4种运算:
(1)逻辑加法(又称“或”运算)
A.运算符
逻辑加法通常用符号“+”或“∨”来表示。
设逻辑变量A、B、C,它们的逻辑加运算关系是:
A+B=C或者写成A∨B=C,读作“A或B等于C”。
B.逻辑加运算规则
A+B=CA∨B=C
0+0=0
0∨0=0
0+1=1
0∨1=1
1+0=1
1∨0=1
1+1=1
1∨1=1
结论:
在给定的逻辑变量中,只要有一个为1,“或”运算的结果就为1。
(2)逻辑乘法(又称“与”运算)
逻辑乘法通常用符号“×
”或“∧”或“Ÿ”表示。
设逻辑变量A、B、C,它们的逻辑乘运算关系是:
AB=C,A∧B=C,AŸB=C。
读作“A与B等于C”。
B.逻辑乘运算规则
A×
B=C
A∧B=C
AŸB=C
0×
0=0
0∧0=0
0Ÿ0=0
1=0
0∧1=0
0Ÿ1=0
1×
1∧0=0
1Ÿ0=0
1=1
1∧1=1
1Ÿ1=1
逻辑乘法是“与”的含义,它表示只有参加运算的逻辑变量取值都为1时,逻辑乘积才等于1。
(3)逻辑否定(非运算)
逻辑非运算是在逻辑变量的上方加一横线。
B.运算规则
设逻辑变量A,其运算规则为:
A
0
1
读作0非等于1
读作1非等于0
(4)异或逻辑运算
“异或”运算通常用符号“⊕”表示。
按位加,即不带进位的加法。
设逻辑变量A、B、C,它的运算规则为:
A⊕B=C,读作:
“A同B‘异或’等于C”。
A⊕B=C
0⊕0=0
0⊕1=1
1⊕0=1
1⊕1=0
在A、B两个逻辑变量中,只要两个逻辑变量的值相同,“异或”运算的结果就为0;
当两个逻辑变量的值不同时,“异或”运算的结果才为1。
以上介绍的四种逻辑运算在汇编和高级语言里,常用“OR”表示“或”,“AND”表示“与”,“NOT”表示“非”,“XOR”表示“异或”。
需要指出的是,计算机可以一次对不同种类的多个逻辑变量进行运算,它们将按照逻辑运算符的优先顺序进行,最终出现一个结果“真”(用1表示)或“假”(用0表示)。
四.原码反码补码移码
4.移码:
移码只用于表示浮点数的阶码,所以只用于整数。
①移码的定义:
设由1位符号位和n位数值位组成的阶码,则[X]移=2n+X
-2n≤X≤2n
例如:
X=+1011
[X]移=11011
符号位“1”表示正号
X=-1011
[X]移=00101
符号位“0”表示负号
②移码与补码的关系:
[X]移与[X]补的关系是符号位互为反码,
[X]补=01011
[X]补=10101
③移码运算应注意的问题:
◎对移码运算的结果需要加以修正,修正量为2n,即对结果的符号位取反后才是移码形式的正确结果。
◎移码表示中,0有唯一的编码——1000…00,当出现000…00时(表示-2n),属于浮点数下溢。
二、补码加、减运算规则
1、运算规则
[X+Y]补=[X]补+[Y]补
[X-Y]补=[X]补+[-Y]补
若已知[Y]补,求[-Y]补的方法是:
将[Y]补的各位(包括符号位)逐位取反再在最低位加1即可。
[Y]补=101101[-Y]补=010011
2、溢出判断,一般用双符号位进行判断:
符号位00表示正数11表示负数
结果的符号位为01时,称为上溢;
为10时,称为下溢
例题:
设x=0.1101,y=-0.0111,符号位为双符号位
用补码求x+y,x-y
[x]补+[y]补=001101+111001=000110
[x-y]补=[x]补+[-y]补=001101+000111=010100
结果错误,正溢出
三、原码一位乘的实现:
设X=0.1101,Y=-0.1011,求X*Y
解:
符号位单独处理,x符+y符
数值部分用原码进行一位乘,如下图所示:
高位部分积
低位部分积/乘数
说明
000000
1011
起始情况
+)001101
乘数最低位为1,+X
001101
000110
1101
1(丢)
右移部分积和乘数
010011
001001
1110
+)000000
乘数最低位为0,+0
000100
1111
0(丢)
010001
001000
四、原码一位除的实现:
一般用不恢复余数法(加减交替法)
部分积
低位部分积附加位
操作说明
1011
000000
+)110011
§
2.5浮点运算与浮点运算器
一、浮点数的运算规则
1、浮点加减法的运算步骤
设两个浮点数X=Mx※2ExY=My※2Ey
实现X±
Y要用如下5步完成:
①对阶操作:
小阶向大阶看齐
②进行尾数加减运算
③规格化处理:
尾数进行运算的结果必须变成规格化的浮点数,对于双符号位的补码尾数来说,就必须是
001×
×
…×
或110×
的形式
若不符合上述形式要进行左规或右规处理。
④舍入操作:
在执行对阶或右规操作时常用“0”舍“1”入法将右移出去的尾数数值进行舍入,以确保精度。
⑤判结果的正确性:
即检查阶码是否溢出
若阶码下溢(移码表示是00…0),要置结果为机器0;
若阶码上溢(超过了阶码表示的最大值)置溢出标志。
假定X=0.0110011*211,Y=0.1101101*2-10(此处的数均为二进制)?
?
计算X+Y;
[X]浮:
010*******
[Y]浮:
001101101101
符号位阶码尾数
第一步:
求阶差:
│ΔE│=|1010-0110|=0100
第二步:
对阶:
Y的阶码小,Y的尾数右移4位
[Y]浮变为010*******暂时保存
第三步:
尾数相加,采用双符号位的补码运算
001100110
+000000110
001101100
第四步规格化:
满足规格化要求
第五步:
舍入处理,采用0舍1入法处理
故最终运算结果的浮点数格式为:
010*******,
即X+Y=+0.1101101*210
2、浮点乘除法的运算步骤
①阶码运算:
阶码求和(乘法)或阶码求差(除法)
即
[Ex+Ey]移=[Ex]移+[Ey]补
[Ex-Ey]移=[Ex]移+[-Ey]补
②浮点数的尾数处理:
浮点数中尾数乘除法运算结果要进行舍入处理
X=0.0110011*211,Y=0.1101101*2-10
求X※Y
阶码相加
[Ex+Ey]移=[Ex]移+[Ey]补=1010+1110=1000
1000为移码表示的0
原码尾数相乘的结果为:
010101101101110
规格化处理:
已满足规格化要求,不需左规,尾数不变,阶码不变。
第四步:
舍入处理:
按舍入规则,加1进行修正
所以X※Y=0.1010111※2+000
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