上海市中学生数学知识应用竞赛 夏令营论文Word格式文档下载.docx
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设O为保护点,A(15,0)为导弹发射点。
之后先假设敌方飞行物直线飞往O点,我们精确算出了我方导弹速度为敌方1.5倍时的爆炸点轨迹方程,并且轨迹围成的区域就是安全区域。
但是轨迹方程过于复杂,不是我们所熟知的圆锥曲线,于是我们就用几何画板做出该图,然后利用该轨迹与坐标轴的交点近似求出一椭圆,发现该椭圆和原轨迹几乎完全重合,因此我们认为该椭圆就是爆炸点轨迹方程。
万一敌方来袭的飞行物或舰船的目标不是O而是O附近的某处,那么我们的安全区域又会怎么变化呢?
为解决该问题我们讨论了敌方的飞行物或舰船沿直线y=a、与直线x=a袭来,并分别求出爆炸点轨迹方程,再用几何画板作图后发现两者公共部分即为所求安全区域。
那么如果我方导弹飞行速度是k呢?
我们由此建模表示出了所有安全区域的边缘的轨迹方程,即曲线系
=1
并且用k=1.5检验了该模型,发现完全吻合。
由此发现了一个规律就是:
我方导弹速度越大,安全区域越大。
如果命中率为80%,但可发射两枚,那么我们的安全区域又会怎么变化呢?
为此我们分两种情况讨论:
1、两发导弹同时发射
ζ=
Q=
=0.6
2、两发导弹先后发射(在第一发没有打中的情况下发射第二发)
一、提出问题
为了研究此问题,我们现将其简化,探究如何用解析几何来判断雷达覆盖区域内的安全地带。
二、模型假设
1、先将导弹简化为一个质点,并将其飞行轨迹假设为一直线。
2、如右图,建立平面直角坐标系,设重要保卫点为原点O,导弹阵地为A(15,0)。
以O点为中心、300km为半径的区域称为防卫圈。
3、并令敌我导弹速度为一定值,且忽略起飞加速及弹道空间变化等因素。
4、所有单位均以千米计。
三、变量表
1、设敌方导弹射入点为B,爆炸点为C(x,y)
2、设敌方来袭的飞行物或舰船进入直线为l,我方防御导弹轨迹直线为k
3、设BC=r,再设外圆半径为R(R=300)
4、设椭圆两条轴分别为:
m、n
5、设命中率为P,安全区域期望为ζ
6、设每发导弹费用为A,设期望成本与总成本的比值为Q
7、设防卫圈总面积为S、第一发导弹的安全区域
8、
=λ
四、模型建立与求解
A、已知我方导弹的速度为敌方飞行物速度的1.5倍,并设敌方飞行物进入防卫圈后不改变其飞行速度及方向。
假设我方导弹的命中率为100%,并忽略导弹起飞阶段短时间内速度和弹道的空间变化等因素(只考虑平面问题),对下面两种情况计算导弹的安全防卫区:
1.敌方飞行物进入防卫圈时的飞行方向为直指点O;
由已知可得B点在圆上,C点在圆内,且C为射入直线l与直线k的交点,且A在攻击直线k上,又由题意得
经化简,得:
解得:
用几何画板作图,得:
说明:
大圆为
内层圆锥曲线为
由计算,得:
当y=0时,x=-171或186
因此,当x=7.5时,
y=±
又因为它关于x=7.5,和x轴对称,所以可以把它近似看作是一个以长轴为a=180,短轴为b=
的椭圆。
所以标准方程为:
经作图发现原图像与此椭圆几乎完全重合,因此可以近似将其看作上述椭圆
因此阴影部分为所求安全区域
2敌方飞行物进入防卫圈时的飞行方向为指向防卫圈内的任何一点。
分别讨论直线l是y=a以及x=a的所有情况
设BC=r,再设外圆半径为R,则AC=1.5r
1y=a,
2x=a
把R用300代入,得出如下图像
阴影部分即为安全区域,此圆锥曲线为一近似圆
B、讨论我方导弹的速度为敌方飞行物速度的
倍,
从1变到2.5时,导弹的安全防卫区的变化规律。
由于第一问的速度之比已知,本题速度之比为一变量,因此需要建立一个模型来表示这一组曲线。
由第一题的第一问可知,当k=1.5时,方程为一个类似椭圆的曲线。
我们猜测当k为一变量时,方程也应为一类类似椭圆的曲线,只是椭圆的长短轴有所变化,因此长短轴都是关于k的函数。
经过多次代入数据由几何画板作图总能得到曲线与椭圆相似,特殊的当k=1是曲线就是一条椭圆
所以由椭圆的性质可知当y=0是
就是其中一条轴m的长,x=7.5时,
就是另一条轴n的长(其中y=0,x=7.5都是对称轴)
于是
=
如上图所示m,n随x的增大而增大,且x=1.5时恰好m,n值接近
由几何画板画图得
两条曲线几乎重合,且都是在给定范围内单调递增
在此给出曲线系方程
综上得出结论我方导弹速度越大,安全区域越大。
C.但是实际上导弹命中率很难达到100%,如果导弹的命中率为80%,为提高安全性,对一个来犯的敌方飞行物,设定将发射两枚导弹予以拦截。
问如何确定两枚导弹的防卫策略(如同时发射或先后发射等)可提高安全程度,又可能降低防卫成本?
导弹命中率80%,两发导弹同时发射能提高安全程度,但如果有一发导弹命中了,另一发就浪费了,防卫成本太大。
分先后发射导弹拦截敌方导弹,同样能提高拦截命中率,如果第一发拦截成功就节省了第二发,从而降低了防卫成本。
但是这种情况下我方导弹速度与敌方导弹速度比k至关重要。
因为第二发导弹发射时,敌方导弹是从我方第一发拦截导弹的安全防卫边界起步的,我方导弹还是从A点起飞,如果k的取值不够大,我方导弹速度不够快,在敌方导弹到达我方目标时,还没有与敌方导弹遭遇,那么第二发导弹也就没用了,防卫也就失败了。
因此我们决定分两种情况讨论:
2、两发导弹先后发射(在第一发没有打中的情况下发射第二发)
第一种情况:
Q=
第二种情况:
经计算化简以及用椭圆面积公式得:
=π*
*
把k=1分别代入上述公式,得:
方案一的λ=0.2209434247,方案二的λ=0.3332587388
因此我们得出结论:
方案二更好
因此最佳策略为两发导弹先后发射(在第一发没有打中的情况下发射第二发)
五、模型检验
1
(1)我们之前假设了安全区域的轨迹为一椭圆,现在我们做一个以椭圆的长轴长为半径的圆与之作比较。
如图,得:
与原轨迹相差甚远
结论:
安全区域轨迹为一椭圆
(2)依题意,防卫圈内任意一点皆有受攻击之可能,因此我们将攻击目标作为讨论依据,则任意点被攻击的方向有无数种可能,而相对于敌方的进攻,最有效的进攻方式为过坐标原点的直线。
因此可得第
(2)题的结论与第
(1)题相同。
安全区域轨迹为与第
(1)题所得相同的椭圆
二、不妨假设敌方飞行物从东方袭来,并设它进攻原点,我方导弹速度为敌方的1倍,把k=1代入二的模型
可得:
+
得:
爆炸点C(157.5,0)再代入
C点符合
我方导弹速度越大,安全区域越大是正确的
六、模型的优缺点
优点:
数形结合,易于观察规律,轨迹精确,一目了然,使复杂问题具可操作性
七、参考文献
《中学数学建模与赛题集锦》《高中应用数学选讲》
XX百科
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