2212解一元二次方程配方法教案Word下载.docx
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(2)能否直接用上面三个方程的解法呢?
问题1:
印度古算中有这样一首诗:
“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏,八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;
其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮,告我总数共多少,两队猴子在一起”.
大意是说:
一群猴子分成两队,一队猴子数是猴子总数的
的平方,另一队猴子数是12,那么猴子总数是多少?
你能解决这个问题吗?
问题2:
如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为5000m2,道路的宽为多少?
问题1:
设总共有x只猴子,根据题意,得:
x=(
x)2+12
整理得:
x2-64x+768=0
问题2:
设道路的宽为x,则可列方程:
(20-x)(32-2x)=500
整理,得:
x2-36x+70=0
(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:
前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有.
(2)不能.
既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程,下面,我们就来讲如何转化:
x2-64x+768=0移项→x=2-64x=-768
两边加(
)2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2-64x+322=-768+1024
左边写成平方形式→(x-32)2=256降次→x-32=±
16即x-32=16或x-32=-16
解一次方程→x1=48,x2=16
可以验证:
x1=48,x2=16都是方程的根,所以共有16只或48只猴子.
学生活动:
例1.按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题.
x2-36x=-70,x2-36x+182=-70+324,(x-18)2=254,x-18=±
,x-18=
或x-18=-
,x1≈34,x2≈2.
可以验证x1≈34,x2≈2都是原方程的根,但x≈34不合题意,所以道路的宽应为2.
例2.解下列关于x的方程
(1)x2+2x-35=0
(2)2x2-4x-1=0
分析:
(1)显然方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方式;
(2)同上.
解:
(1)x2-2x=35x2-2x+12=35+1(x-1)2=36x-1=±
6
x-1=6,x-1=-6
x1=7,x2=-5
可以,验证x1=7,x2=-5都是x2+2x-35=0的两根.
(2)x2-2x-
=0x2-2x=
x2-2x+12=
+1(x-1)2=
x-1=±
即x-1=
,x-1=-
x1=1+
,x2=1-
x1=1+
都是方程的根.
三、巩固练习
教材P38讨论改为课堂练习,并说明理由.
教材P39练习12.
(1)、
(2).
四、应用拓展
例3.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°
,AC=8m,CB=6m,点P、Q同时由A,B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.
设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形.根据已知列出等式.
设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.
根据题意,得:
(8-x)(6-x)=
×
8×
x2-14x+24=0
(x-7)2=25即x1=12,x2=2
x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去.
所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.
五、归纳小结
本节课应掌握:
左边不含有x的完全平方形式,左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程的方程.
六、布置作业
1.教材P45复习巩固2.
2.选用作业设计.
一、选择题
1.将二次三项式x2-4x+1配方后得().
A.(x-2)2+3B.(x-2)2-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-3
2.已知x2-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是().
A.x2-8x+(-4)2=31B.x2-8x+(-4)2=1
C.x2+8x+42=1D.x2-4x+4=-11
3.如果mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左边是一个关于x的完全平方式,则m等于().
A.1B.-1C.1或9D.-1或9
二、填空题1.方程x2+4x-5=0的解是________.
2.代数式
的值为0,则x的值为________.
3.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值,若设x+y=z,则原方程可变为_______,所以求出z的值即为x+y的值,所以x+y的值为______.
三、综合提高题
1.已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-4x+3=0的解,求这个三角形的周长.
2.如果x2-4x+y2+6y+
+13=0,求(xy)z的值.
3.新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元,市场调研表明:
当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;
而当销售价每降50元时,平均每天就能多售出4台,商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元,每台冰箱的定价应为多少元?
答案:
一、1.B2.B3.C
二、1.x1=1,x2=-52.23.z2+2z-8=0,2,-4
三、1.(x-3)(x-1)=0,x1=3,x2=1,
∴三角形周长为9(∵x2=1,∴不能构成三角形)
2.(x-2)2+(y+3)2+
=0,
∴x=2,y=-3,z=-2,(xy)z=(-6)-2=
3.设每台定价为x,则:
(x-2500)(8+
4)=5000,
x2-5500x+7506250=0,解得x=2750
22.2.2配方法
第2课时
给出配方法的概念,然后运用配方法解一元二次方程.
了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.
通过复习上一节课的解题方法,给出配方法的概念,然后运用配方法解决一些具体题目.
讲清配方法的解题步骤.
2.难点与关键:
把常数项移到方程右边后,两边加上的常数是一次项系数一半的平方.
教具、学具准备
小黑板
(学生活动)解下列方程:
(1)x2-8x+7=0
(2)x2+4x+1=0
我们前一节课,已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式,右边是非负数,不可以直接开方降次解方程的转化问题,那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.
(1)x2-8x+(-4)2+7-(-4)2=0(x-4)2=9
x-4=±
3即x1=7,x2=1
(2)x2+4x=-1x2+4x+22=-1+22
(x+2)2=3即x+2=±
x1=
-2,x2=-
-2
像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.
可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
例1.解下列方程
(1)x2+6x+5=0
(2)2x2+6x-2=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0
我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方.
(1)移项,得:
x2+6x=-5
配方:
x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4
由此可得:
x+3=±
2,即x1=-1,x2=-5
(2)移项,得:
2x2+6x=-2
二次项系数化为1,得:
x2+3x=-1
配方x2+3x+(
)2=-1+(
)2(x+
)2=
由此可得x+
=±
,即x1=
-
,x2=-
(3)去括号,整理得:
x2+4x-1=0
移项,得x2+4x=1
配方,得(x+2)2=5
x+2=±
教材P39练习2.(3)、(4)、(5)、(6).
例2.用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6
因为如果展开(6x+7)2,那么方程就变得很复杂,如果把(6x+7)看为一个数y,那么(6x+7)2=y2,其它的3x+4=
(6x+7)+
,x+1=
(6x+7)-
,因此,方程就转化为y的方程,像这样的转化,我们把它称为换元法.
设6x+7=y
则3x+4=
y+
y-
依题意,得:
y2(
)(
)=6
去分母,得:
y2(y+1)(y-1)=72
y2(y2-1)=72,y4-y2=72
(y2-
y2-
y2=9或y2=-8(舍)
∴y=±
3
当y=3时,6x+7=36x=-4x=-
当y=-3时,6x+7=-36x=-10x=-
所以,原方程的根为x1=-
配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.
1.教材P45复习巩固3.
2.作业设计
1.配方法解方程2x2-
x-2=0应把它先变形为().
A.(x-
B.(x-
)2=0
C.(x-
D.(x-
2.下列方程中,一定有实数解的是().
A.x2+1=0B.(2x+1)2=0
C.(2x+1)2+3=0D.(
x-a)2=a
3.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z的值是().
A.1B.2C.-1D.-2
二、填空题
1.如果x2+4x-5=0,则x=_______.
2.无论x、y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数.
3.如果16(x-y)2+40(x-y)+25=0,那么x与y的关系是________.
1.用配方法解方程.
(1)9y2-18y-4=0
(2)x2+3=2
x
2.已知:
x2+4x+y2-6y+13=0,求
的值.
3.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价一元,商场平均每天可多售出2件.
①若商场平均每天赢利1200元,每件衬衫应降价多少元?
②每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多?
请你设计销售方案.
一、1.D2.B3.B
二、1.1,-52.正3.x-y=
三、1.
(1)y2-2y-
=0,y2-2y=
,(y-1)2=
,
y-1=±
,y1=
+1,y2=1-
(2)x2-2
x=-3(x-
)2=0,x1=x2=
2.(x+2)2+(y-3)2=0,x1=-2,y2=3,
∴原式=
3.
(1)设每件衬衫应降价x元,则(40-x)(20+2x)=1200,
x2-30x+200=0,x1=10,x2=20
(2)设每件衬衫降价x元时,商场平均每天赢利最多为y,
则y=-2x2+60x+800=-2(x2-30x)+800=-2[(x-15)2-225]+800=-2(x-15)2+1250
∵-2(x-15)2≤0,
∴x=15时,赢利最多,y=1250元.
答:
略
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