小学奥数专题目28不规则图形面积计算Word文档下载推荐.docx
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思路导航:
阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”
三角形(△ABG、△BDE、△EFG)的面积之和。
例2如右图,正方形ABCD的边长为6厘米,△ABE、△ADF与四边形AECF的面积相互相等,求三角形AEF的面积.
∵△ABE、△ADF与四边形AECF的面积相互相等,
∴四边形AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD
的1。
3
在△ABE中,由于AB=6.因此BE=4,同理DF=4,因此CE=CF=2,
∴△ECF的面积为2×
2÷
2=2。
因此S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10(平方厘米)。
例3两块等腰直角三角形的三角板,直角边分别是10厘米
C
和6厘米。
如右图那样重合.求重合部分(阴影部分)的面积。
在等腰直角三角形ABC中
∵AB=10
∵EF=BF=AB-AF=10-6=4,
B
∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17(平方厘米)。
例4如右图,A为△CDE的DE边上中点,BC=CD,若△ABC
(阴影部分)面积为5平方厘米.
求△ABD及△ACE的面积.
取BD中点F,连结AF.由于△ADF、△ABF和△ABC等底、等高,因此它们的面积相等,都等于5平方厘米.
∴△ACD的面积等于15平方厘米,△ABD的面积等于10平方厘米。
又由于△ACE与△ACD等底、等高,因此△ACE的面积是15平方厘米。
二、牢固训练
1.如右图,在正方形ABCD中,三角形ABE的面积
是8平方厘米,它是三角形DEC的面积的4,求正方
5
形ABCD的面积。
解:
过E作BC的垂线交AD于F。
在矩形ABEF中AE是对角线,因此S△ABE=S△AEF=8.
在矩形CDFE中DE是对角线,因此S△ECD=S△EDF。
如右图,已知:
△,2求阴影部分的面积。
2.SABC=1AE=ED,BD=BC.
连结DF。
∵AE=ED,
D
∴S△AEF=S△DEF;
S△ABE=S△BED
3.如右图,正方形ABCD的边长是4厘米,CG=3厘米,矩形
DEFG的长DG为5厘米,求它的宽DE等于多少厘米?
连结AG,自A作AH垂直于DG于H,在△ADG中,AD=4,
DC=4(AD上的高).
∴S△AGD=4×
4÷
2=8,又DG=5,
∴S△AGD=AH×
DG÷
2,
∴AH=8×
5=3.2(厘米),∴(厘米)。
3.如右图,梯形ABCD的面积是45平方米,高6米,△AED
的面积是5平方米,BC=10米,求阴影部分面积.
∵梯形面积=(上底+下底)×
高÷
2
即45=(AD+BC)×
6÷
45=(AD+10)×
∴AD=45×
6-10=5米。
∴△ADE的高是2米。
△EBC的高等于梯形的高减去△ADE的高,即6-2=4米,
5.如右图,四边形ABCD和DEFG都是平行四边形,证明它们的面积相等.
证明:
连结CE,
ABCD的面积等于△CDE面积的2倍,
而DEFG的面积也是△CDE面积的2倍。
∴ABCD的面积与DEFG的面积相等。
(一)不规则图形面积计算
(2)
不规则图形的别的一种情况,就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的,这是一类更为复杂的不规则图形,为了计算它的面积,常常要变动图形的地址或对图形进行合适的切割、拼补、旋转等手段使之转变为规则图形的和、差关系,同时还常要和“容斥原理”(即:
会集A与会集B之间有:
SA∪B=SA+Sb-SA
∩B)合并使用才能解决。
例1.如右图,在一个正方形内,以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。
解法1:
把上图靠下边的半圆换成(面积与它相等)右侧的半圆,获取右图.这时,右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完好相同,因此它们的面积相等.因此上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
解法2:
将上半个“弧边三角形”从中间切开,分别补贴在下半圆的上侧边上,如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。
解法3:
将下边的半圆从中间切开,分别补贴在上面弧边三角形的两侧,如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.
例2.如右图,正方形ABCD的边长为4厘米,分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆,求阴影部分面积。
由容斥原理S阴影=S扇形ACB+S扇形ACD-S正方形ABCD
例3如右图,矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=4厘米,扇形
ABE半径AE=6厘米,扇形CBF
的半CB=4厘米,求阴影部分
的面积。
例4.如右图,直角三角形ABC中,AB是圆的直径,且AB=20厘米,若是阴影(Ⅰ)的面积比阴影(Ⅱ)的面积大7平方厘米,求BC长。
解析已知阴影(Ⅰ)比阴影(Ⅱ)的面积大7平方厘米,就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米;
又知半圆直径AB=20厘米,可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米,即可求出三角形ABC的面积,进而求出三角形的底BC的长.
1.如右图,两个正方形边长分别是10厘米和6厘米,求阴影部
分的面积。
解析阴影部分的面积,等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中(I)的面积之差。
而(I)的面积等于边长为6的正方形的面积减
去1以6为半径的圆的面积。
4
2.如右图,将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°
,此时AB
到达AC的地址,求阴影部分的面积(取π=3).
整个阴影部分被线段CD分为Ⅰ和Ⅱ两部分,以AB为直径的半圆被弦AD分成两部分,设其中AD右侧的部分面积为S,由于弓形AD是两个半圆的公共部分,去掉AD弓形后,两个半
圆的节余部分面积相等.即Ⅱ=S,由于:
3.如右图,ABCD是正方形,且FA=AD=DE=1,求阴影部分的面积.
4.以下页右上图,ABC是等腰直角三角形,D是半圆周上的中点,BC是半圆的直径,且AB=BC=10,求阴影部分面积(π取3.14)。
∵三角形ABC是等腰直角三角形,以AC为对角线再作一个全等
的等腰直角三角形ACE,则ABCE为正方形(利用对称性质)。
总结:
关于不规则图形面积的计算问题一般将它转变为若干基本规则
图形的组合,解析整体与部分的和、差关系,问题便获取解决.
常用的基本方法有:
一、相加法:
这种方法是将不规则图形分解转变为几个基本规则图形,分别计算它们的面积,尔后相加求出整个图形的面积.比方,右图中,要求整个图形的面积,只要先求出上面半圆的面积,再求出下边正方形的面积,尔后把它们相加就可以了.
二、相减法:
这种方法是将所求的不规则图形的面积看作是若干个基本规则图形的面积之差.比方,右图,若求阴影部分的面积,只要先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.
三、直接求法:
这种方法是依照已知条件,从整体出发直接求出不规则图形面积.以下页右上图,欲求阴影部分的面积,经过解析发现它就是一个底是2,高为4的三角形,面积可直接求出来。
四、重新组合法:
这种方法是将不规则图形翻开,依照详尽情况和计算上的需要,重新组合成一个新的图形,想法求出这个新图形面积即可.比方,欲
求右图中阴影部分面积,可以把它翻开使阴影部分别布在正方形的4个角处,这时采用相减法即可求出其面积了.
五、辅助线法:
这种方法是依照详尽情况在图形中添一条或若干条辅助线,
使不规则图形转变为若干个基本规则图形,尔后再采用相加、相
减法解决即可.如右图,求两个正方形中阴影部分的面积.此题诚然可
以用相减法解决,但不如增加一条辅助线后用直接法作更简略.
六、割补法:
这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部
分使之成为基本规则图形,进而使问题获取解决.比方,如右图,欲求阴影部分的面积,只要把右侧弓形切割下来补在左边,这样整个阴影部分面积正是正方形面积的一半.
七、平移法:
这种方法是将图形中某一部分切割下来平行搬动到一合适
地址,使之组合成一个新的基本规则图形,便于求出头积.比方,如右图,欲求阴影部分面积,可先沿中间切开把左边正
方形内的阴影部分平行移到右侧正方形内,这样整个阴影部分正是一个正方形。
八、旋转法:
这种方法是将图形中某一部分切割下来此后,使之沿某一点或某一轴旋转必然角度补贴在另一图形的一侧,进而组合成一个新的基本规则的图形,便于求出头积.比方,欲求图
(1)中阴影部分的面积,
可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°
,使A与C重合,进而构成如右图
(2)的样子,此时阴影部分的面积可以看作半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.
九、对称增加法:
这种方法是作出原图形的对称图形,进而获取一个新的基本规则
图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.比方,欲求右图中阴影部分的面积,沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
十、重叠法:
这种方法是将所求的图形看作是两个或两个以上图形的重叠部分,尔后运用“容斥原理”(SA∪B=SA+SB-SA∩B)解决。
比方,欲求右图中阴影部分的面积,可先求两个扇形面积的和,减去正方形面积,由于阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.
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- 小学 专题 28 不规则 图形 面积 计算