数学模型中及反问题逆问题Word格式.docx
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反问题是:
已知温度T,x,求传热系数为a,
例5光电板问题(2012A题)
设屋顶面积为D,光电板长为L,宽为H。
正问题是:
已知D,L,H,求在屋顶上铺设光电板最大数量N。
已知光电板总铺设面积D*,光电板长L,宽H,求屋顶面积。
由上面几个例子,可以在数学上定义正问题为y=f(x),定义域为D,值域为V。
反问题为x=g(y).由高等数学可知,若函数f(x)在D上是单调的,则反函数g(y)存在且唯一。
相对正问题而言,反问题计算量大,选用适当的计算方法是成功求解反问题的关键。
因而要求在求反问题之前,要求学生掌握基本的计算方法。
第二节计算方法
2.1方程求根
在数学建模中,求解方程的根是经常遇到的。
常用求根方法有迭代法,二分法,牛顿法,极小值法,一维寻查法,格子法。
2.1.1迭代法
设函数f(x)=x-g(x)有一根x*,则f(x*)=0,或x*-g(x*)=0;
或x*=g(x*);
定义求根的迭代公式为:
定理:
若导数g’的绝对值小于1,即|g’|≤L<
1,则迭代收敛。
证:
由于x*=g(x*),则
xk+1-x*=g(xk)-g(x*)=g’(ξ)(xk-x*)
有
|xk+1-x*|<
L|xk-x*|<
L2|xk-1-x*|<
Lk+1|x0-x*|
因为L<
1,则极限Lk-->
0,故xkx*.证毕。
例求f(x)=x-x*x的零点。
解:
这里g(x)=x*x,g’(x)=2x,则当|x|<
0.5时,|g’(x)|<
1,即|x|<
0.5时,迭代公式
.xk+1=xk2
收敛。
取x0=0.1,计算得
X1=x02=0.12=10-2
X2=x12=(10-2)2=10-4
……..
最后求得xkx*=0.实际上,我们知道x=0为x=x*x的解,但它还有一解x=1;
由于|2x|=|2*1|=2,则用上面迭代公式x=g(x)=x*x求不出解x=1.它需要构造另一种迭代公式
.xk+1=g(xk)=√xk
容易验证当x=1时,|g’|<
1.取x0=2,计算得
X1=x00.5=20.5≈1.414
X2=x10.5=(20.5)0.5=20.25≈1.1189
X3=x30.5=(20.25)0.5=20.125≈1.090
最后求得xkx*=1.
由上面例子可知,对同一函数f(x),它的不同零点对应的迭代公式不同。
2.1.2二分法
在高等数学里,我们已学习下面定理。
定理:
设f(a)f(b)<
0,f(x)在区间[a,b]上连续可导,则至少有一个(a,b)中的点x*,使f(x*)=0.
取a0=a,b0=b,x1=(a0+b0)/2,则点x*属于子区间[a0,x1],或子区间[x1,b0]。
若属于子区间[a0,x1],取a1=a0,b1=x1.否则属于子区间[x1,b0],取a1=x1,b1=b0.得到点x*属于子区间[a1,b1],且b1-a1=0.5(b0-a0),即区间长度只有原始区间的一半。
类似上面方法,取x2=(a1+b1)/2,则点x*属于子区间[a1,x2],或子区间[x2,b1]。
若属于子区间[a1,x2],取a2=a1,b2=x2.否则属于子区间[x2,b1],取a2=x2,b2=b1.得到点x*属于子区间[a2,b2],且b2-a2=0.5(b1-a1)=0.25(b0-a0),即区间长度只有原始区间的四分之一。
这种方法一直分二去,得点x*属于子区间[ai,bi],和数列{xi},且bi-ai=0.5i(b0-a0)0,xix*.
例.求f(x)=1-x2在区间[0.5,2]上的零点。
解这里a0=0.5,b0=2;
有f(a0)=f(0.5)=1-0.52=0.75,f(b0)=f
(2)=1-22=-3,有f(a0)f(b0)=0.75*(-3)<
0,故在[0.5,2]上f(x)有一零点x*.取x1=(a0+b0)/2=(0.5+2)/2=1.25,有f(x1)=f(1.25)=-0.5625,f(a0)f(x1)=0.75*(-0.5625)<
0,则在区间[a0,x1]中有零点x*,故取a1=a0=0.5,b1=x1=1.25,x2=(a1+b1)/2=0.875,计算得f(x2)=f(0.875)=1-(0.875)2=0.2343,
F(a1)f(x2)=0.75*0.2343>
0,则零点x*在区间[x2,b1]=[0.875,1.25]中,故取a2=0.875,b2=1.25.如此计算下去,当bi-ai<
ε=0.3时,求得xi=x3=1.0625。
它为x*的近似值。
二分法的计算步骤为:
1)输入a0,b0,误差限ε;
2)若f(a0)f(b0)>
0,无根,停止计算。
否则转下一步;
3)取x1=(a0+b0)/2,若f(a0)f(x1)<
0,取a1=a0,b1=x1;
否则取a1=x1,b1=b0;
4)若b1-a1<
ε,输出近似根x*=(a1+b1)/2;
否则a1a0,b1b0,转第三步。
二分法能用图形来说明,其示意图见图2.1,图中给出了点a0,b0,x1,x2,x3,它们根据二分法计算。
由图可知,当二分次数增加时,中间点xi相互靠近,收敛于零点x*.
图2.1二分法示意图
2.1.3极小值法
定型:
若x*为f(x)的零点,则它为F(x)=f2(x)的极小值点。
由于F(x)非负,F(x*)=f2(x*)=00=0,
则x*为F(x)的一个极小值点。
我们容易得:
若F(x)=f2(x),F(x*)=0,则f(x*)=0.
可见,f(x)的零点计算问题能化为极小值计算问题。
它常用一维寻查法求解。
一维寻查法比较简单,它的计算步骤为
1)输入初始点d0,步长h,误差ε;
2)计算函数值F(d0),F(d0-h),F(d0+h);
3)若F(d0)<
min{F(d0-h),F(d0+h)};
转第6步。
4)若F(d0)>
F(d0-h),取d1=d0-h;
否则取d1=d0+h;
5)令d1d0,h2h,转第2步。
6)取a=d0-h,b=d0+h,用二分法求极值点。
二分法求极值点的原理与求根原理类似。
由下面定理给出:
设F(x)在[a,b]上连续,且0≤F(x),若c为[a,b]中的点,且F(c)<
min{F(a),F(b)},则F(x)在[a,b]上存在极小值点x*.
上面定理用反证法容易证明。
二分法求极值点的步骤为,取a0=a,b0=b,c0=c=(a0+b0)/2;
h=(b-a)/2;
中点x0=(a0+c0)/2;
y0=(c0+b0)/2;
若F(z0)=min{F(a0),F(b0),F(x0),F(c0),F(y0)},z0为{a0,c0,b0,x0,y0}中的一点,取h1=h/2,a1=z1-h1,c1=z1,b1=z1+h1;
容易计算出(b1-a1)=0.5(b0-a0);
即长度只有原区间的一半。
用类似方法,取中点x1=(a1+c1)/2;
y1=(c1+b1)/2;
若F(z1)=min{F(a1),F(b1),F(x1),F(c1),F(y1)},z1为{a1,c1,b1,x1,y1}中的点,取h2=h/4,a2=z2-h2,c2=z2,b2=z2+h2;
有(b1-a1)=0.5(b1-a1)=0.25(b0-a0);
则长度只有初始区间长度的四分之一。
如此下去,我们得到点ai,ci,bi,且(bi-ai)=0.5i(b0-a0)0.可以证明,xix*为极小值点。
由上面讨论可知,求极小值点分为两步,先求极点所在的区间[a,b],然后用二分法逐步缩小区间,求出极小值点。
其计算过程可以用图2.2说明。
图中函数F只有一个极小值点。
给定初值d0和步长h,求出d0+h为最小值,取2h,计算得d0+2h也为最小,再取4h,计算得d0+2h也为最.
图2.2极小值示意图
例.用极小值法求函数f(x)=1-x*x的零点,x0=1.4,h=0.1.
解.令F(x)=f2(x*)=(1-x2)2
先用一维寻查法求含有根的区间[a,b].计算F(x0-h)=F(1.3)=0.4761;
F(x0)=F(1.4)=0.9216;
F(x0+h)=F(1.5)=1.5612;
比较3个数值,x1=1.3时F=0.4761最小。
将步长放大2倍,取h=0.2,计算F(x1-h)=F(1.1)=0.0441;
F(x1)=F(1.3)=0.4761;
F(x1+h)=F(1.5)=1.5612;
比较3个数值,x2=1.1时F=0.0441最小。
再将步长放大2倍,取h=0.4,计算F(x2-h)=F(0.7)=0.216;
F(x2)=F(1.1)=0.0441;
F(x2+h)=F(1.5)=1.5612;
比较3个数值,x3=1.1时F=0.0441最小。
因而取a=0.7,b=1.5.
再用二分法求极值点。
取a0=0.7,b0=1.2,c0=0.95,h=0.25;
中点x0=(a0+c0)/2=0.825;
y0=(c0+b0)/2=1.075;
计算得F(0.7)=0.216;
F(0.825)=0.102;
F(0.95)=0.0095;
F(1.075)=0.02421;
F(1.2)=0.1936;
当z1=0.95时,函数F(0.95)=0.0095最小。
则取a1=0.825,c1=0.95,b1=1.075;
x1=0.8875;
y1=1.0125;
计算得F(0.825)=0.102;
F(0.8875)=0.04509,F(0.95)=0.0095;
F(1.0125)=6.328e-4,F(1.075)=0.02421;
给定误差ε=0.1时,若(bi-a1)/4<
ε,输出近似根x*=1.0125.
2.1.4格子法
对于高维问题,格子法是求极值点的常用方法。
它的思想与二分法类似,基本原理为,给定非负的高维函数y=F(X),初始点X0,步长h,将每个坐标分量加上h和减去h,求最小值y0=min{F(X0),F(X-h),F(X+h)},和对应的坐标点X1,若X1=X0,取hh/2,步长减半,否则取h2h,步长加倍,再将X1的每个坐标分量加上h和减去h,求最小值点X2,如此下去,直到步长h<
ε为止。
最后Xi为近似最小值点。
例.求方程式组的极小解:
x-y(x+y)-1=0;
y(x+y)-y-2=0;
令
F(x,y)=[x-y(x+y)-1]2+[y(x+y)-y-2]2
取初值点X0=(0,0),步长h=0.8;
计算得:
F(-0.8,0)=7.24;
F(0.8,0)=4.04F(0,0)=5.0;
F(0,-0.8)=3.00;
F(0,0.8)=7.355;
可知X1=(0,-0.8)为最小值点,取加倍步长h=1.6,计算中心得:
F(-1.6,0.8)=20.9;
F(1.6,0.8)=4.923;
F(0,0.8)=3.0;
F(0,-2.4)=83.6;
F(0,0.8)=7.32;
则X2=X1=(0,-0.8)为最小值点,取减半步长h=0.8,继续计算,最后求得近似极小值点(1.3175,-1.5675).满足误差ε=0.01.
2.1.5多项式拟合
在反问题计算中,多项式拟合是常用的方法,其基本原理是:
给定测量数据(xi,yi),i=1,2,…,m,求一个多项式
.y=a0+a1x+a2x2+…+anxn
将数据代入得
上式可写为矩阵表达式:
Y=XA
这里:
两边乘以X的转置XT有
XTY=XTXA
故有
编程:
clearall
t=[0,1,2,3]
L=[0,9,35,90]
Y=L’(MATLAB中表示Y的转置矩阵)
fori=1:
n
x(i,1)=1
forj=1:
3
x(i,j+1)=x(i,j)*t(i)
end
A=inv(X’*X)*X’*Y
当n=1时,y=a+bx为线性函数,可以由上式求出具体表达式:
式中E(X)为X的平均值,E(Y)为Y的平均值。
D(X)为X的方差。
上式与最小二乘法得到的结果相同。
例.已知数据(0,0),(1,1),(2,4),(3,8),求一元回归函数y=a+bx?
解.我们求得m=4
E(X)=(0+1+2+3)/4=7/4;
D(X)=((-7/4)^2+(-3/4)^2+(1/4)^2+(5/4)^2)/4=1.3125
E(Y)=(0+1+4+8)/4=13/4
E(XY)=(0*0+1*1+2*4+3*8)/4=33/4
计算得:
b=1.9524;
a=-0.1667;
则一元回归为:
Y=-0.1667+1.9524x
2.1.6数值积分
在数学模型竟赛中,能求出分析解的积分太少,大多只能用数值方法离散计算。
设h为步长,
a=x0<
x1<
…<
xn=bxk=a+khzk=xk+0.5h
积分用复化中点公式计算
例.计算f(x)=x2在区间[-1,1]上的积分。
解.取步长h=1,得区间[-1,0],[0,1],中点z0=-0.5,z1=0.5;
积分为
I=h[f(z0)+f(z1)]=(-0.5)^2+(0.5)^2=0.5
实际精确值为0.6667,相差0.1667;
若取更小的步长,误差将变小。
对于二维积分,其积分区域为D,将区域D划分为若干四边形,第k个四边形中点坐标为Xk,面积为Sk,则用复化中点计算
例.计算f(x,y)=x2+y2在区域[0,2;
0,2]]上的积分。
解.取步长h=1,得子区域[0,1;
0,1],[0,1;
1,2],[1,2;
0,1],[1,2;
1,2];
中点为P1=(0.5,0.5);
P2=(0.5,1.5);
P3=(1.5,0.5);
P4=(1.5,1.5);
子区域面积Sk=1.0;
积分为
I=f(P1)S1+f(P2)S2+f(P3)S3+f(P4)S4
=f(P1)+f(P2)+f(P3)+f(P4)
=0.5^2+0.5^2+0.5^2+1.5^2+1.5^2+0.5^2+1.5^2+1.5^2
=10
实际精确值为10.667,相差0.667,相对误差为0.667/10.667=0.0625.在可接受范围之内。
当然,取小的步长,能缩小误差值。
2.1.7微分方程数值解
设初值问题.y'
=f(x,y);
y(x0)=y0
取步长为h,点x1=x0+h,x2=x1+h,x3=x2+h,…
导数y’(x1)=(y1-y0)/h,则有
.y1=y0+hf(x0,y0)
.y2=y1+hf(x1,y1)
………
例.给定初值问题,y’=1+xy,y(0)=1;
h=0.1;
求y(0.2)?
解.y1=y0+hf(x0,y0)=1+0.1f(0,1)=1+0.1(1+0*1)=1.1
y2=y1+hf(x1,y1)=1+0.1f(0.1,1.1)=1+0.1(1+0.1*1.1)=1.111
则近似有y(0.2)=1.111
第三节反问题数学模型求解
已知物体下落时间,求物体的下落距离。
解设距离L与时间有多项式关系:
L=a+bT+cT2+dT3
选取取不同距离Li,测量下落时间Ti,i=1,2,…,n;
构造函数Q(a,b,c,d):
Q(a,b,c,d)=Σ[a+bTi+cTi2+dTi3-Li]2
取A=(a,b,c,d)T,用最小二乘法,求出上式的极小值
A=(XTX)XTY
这里Y=(L1,L2,…,Ln)T,X=(X1,X2,X3,X4);
X1=(1,1,…,1)'
X2=(T1,T2,…,Tn)'
X3=((T12,T22,…,Tn2)'
X4=((T13,T23,…,Tn3)'
.
例如测量得一组数据为
表3.1物体下落时间T与距离L
T
L
0.1
0.04905
1.6
12.175
3.1
45.563
0.2
0.19571
1.7
13.739
3.2
48.545
0.3
0.43711
1.8
15.398
3.3
51.621
0.4
0.77304
1.9
17.152
3.4
54.792
0.5
1.2035
2
19
3.5
58.057
0.6
1.7284
2.1
20.942
3.6
61.417
0.7
2.3478
2.2
22.979
3.7
64.871
0.8
3.0618
2.3
25.11
3.8
68.42
0.9
3.8702
2.4
27.336
3.9
72.063
1
4.7731
2.5
29.656
4
75.802
1.1
5.7705
2.6
32.071
4.1
79.632
1.2
6.8624
2.7
34.581
4.2
83.563
1.3
8.0488
2.8
37.184
4.3
87.576
1.4
9.3298
2.9
39.883
4.4
91.712
1.5
10.705
42.676
4.5
95.874
由上面数据计算得:
a=-0.00126;
b=0.04469;
c=4.7295;
d=-0.0007893;
L=-0.00126+0.04469T+4.7295T2-0.0007893T3
上式近似于公式L=0.5gT2.
解设年龄T与身高H的关系为
T=a+bH
根据下面数据
表3.2年龄T与身高H
H
39
9
111
48
10
120
57
11
129
66
12
138
5
75
13
147
6
84
14
156
7
93
15
165
8
102
16
174
求得a=30,b=9;
即有
H=30+9T
例3速度V与轨道形状z=f(x),其摩擦系数为μ,z为高度,初始速度为V0,给定末速度为Ve=V(y=H),.求轨道形状z=f(x)。
解设y0=f(x0),y1=f(x1),在区间[x0,x1],物体速度近似取v0,由能量守恒定理,设M为物体质量,V1=V(x=x1)为x=x1处的速度,有
初始(动+势)能=结束(动+势)能+磨擦力作功Wf
其数学表达式为:
0.5MV02+gMy0=0.5MV12+gMy1+Ef
Wf=μ(Mgcos(a1)+Rn)ΔS1
=μ[Mg(x1-x0)+RnΔS1]
式中a1为线段y0—y1与x轴的夹角,Wf为物体在x0--x1段移动时磨擦力作的功,ΔS1为线段的长度。
Rn为离心力,定义为:
R为曲率半径。
取y’=(y1-y0)/h,y”=(y2-2y1+y0)/h2.
将区间划分为[x0,x1],
[x1,x2],…,[xn-h,xn],xi=x0+ih,h为步长,yi=f(xi)为对应函数值,当已知第i-1点的速度Vi-1,则第i点的速度Vi为
0.5MVi2=0.5MVi-12-gM(yi-yi-1)-Wf
Wf=μ(Mgcos(ai)+Rn)ΔSi=μ[Mg(xi-xi-1)+RnΔSi]
式中ai为线段yi-1—yi与x轴的夹角,Ef为物体在xi-1--xi段移动时磨擦力作的功,ΔSi为线段的长度。
将区间划分为[x0,x1],i=1,2,…,n.当给定函数y=f(x)在点xi时值yi,用上面的公式能计算出末速度V(x=H).设Y={y1,y2,…,yn}为y在世点值组成的向量,与末速度V有关系V=V(Y),给定Y=Yk,得V=Vk,则计算出数据(Yk,Vk),k=1,2,…,m,令
Y=a+bV+cV2+dV3
只要求出常数a,b,c,d,对速度V
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