18学年高中数学第一章统计4142平均数中位数众数极差方差标准差教学案北师大版必修3.docx
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18学年高中数学第一章统计4142平均数中位数众数极差方差标准差教学案北师大版必修3
4.1&4.2 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差
预习课本P25~31,思考并完成以下问题
(1)什么是平均数、中位数、众数?
(2)什么是极差、方差、标准差?
(3)方差、标准差的计算公式是什么?
1.平均数、中位数、众数
(1)平均数
如果有n个数x1,x2,…,xn,那么=,
叫作这n个数的平均数.
(2)中位数
把一组数据按从小到大的顺序排列,把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数.
(3)众数
一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数,一组数据的众数可以是一个,也可以是多个.
[点睛] 如果有几个数据出现的次数相同,并且比其他数据出现的次数都多,那么这几个数据都是这组数据的众数;若一组数据中,每个数据出现的次数一样多,则认为这组数据没有众数.
2.极差、方差、标准差
(1)极差
一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差.
(2)方差
标准差的平方s2叫作方差.
s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
其中,xn是样本数据,n是样本容量,是样本平均数.
(3)标准差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示.s=.
[点睛]
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小,标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.
(2)标准差、方差为0时,表明样本数据全相等,数据没有波动幅度和离散性.
(3)标准差的大小不会超过极差.
1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平均数反映了一组数据的平均水平,任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化.( )
(2)一组数据中,有一半的数据不大于中位数,而另一半则不小于中位数,中位数反映了一组数据的中心的情况.中位数不受极端值的影响.( )
(3)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关.( )
(4)数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定.( )
(5)数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定.( )
答案:
(1)√
(2)√ (3)√ (4)√ (5)√
2.在某次考试中,10名同学的得分如下:
84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据的众数和中位数分别为( )
A.84,68 B.84,78
C.84,81D.78,81
解析:
选C 将所给数据按从小到大排列得68,70,77,78,79,83,84,84,85,95,显然众数为84,而本组数据共10个,中间两位是79,83,它们的平均数为81,即中位数为81.
3.某学生几次数学测试成绩的茎叶图如图所示,则该学生这几次数学测试的平均成绩为________.
解析:
根据茎叶图提供的信息知,这几次测试成绩为53,60,63,71,74,75,80.所以所求的平均成绩为×(53+60+63+71+74+75+80)=68.
答案:
68
4.如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.
解析:
依题意知,运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15,其平均数为=11.
由方差公式得s2=[(8-11)2+(9-11)2+(10-11)2+(13-11)2+(15-11)2]=(9+4+1+4+16)=6.8.
答案:
6.8
中位数、众数、平均数的计算及应用
[典例] 据报道,某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下:
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5500
5000
3500
3000
2500
2000
1500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数;
(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元,董事长的工资从5500元提升到30000元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么?
(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平,结合此问题谈一谈你的看法.
[解]
(1)平均数是
=1500+(4000+3500+2000×2+1500+1000×5+500×3+0×20)≈1500+591=2091(元),
中位数是1500元,众数是1500元.
(2)平均数是
′=1500+(28500+18500+2000×2+1500+1000×5+500×3+0×20)≈1500+1788=3288(元).
中位数是1500元,众数是1500元.
(3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平,因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.
刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数等,它们作为一组数据的代表各有优缺点,也各有各的用处,从不同的角度出发,不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息,不同的统计量会侧重突出某一方面的信息.
[活学活用]
1.某学习小组在一次数学测验中,得100分的有1人,95分的有1人,90分的有2人,85分的有4人,80分和75分的各1人,则该小组成绩的平均分、众数、中位数分别是( )
A.85分、85分、85分 B.87分、85分、86分
C.87分、85分、85分D.87分、85分、90分
解析:
选C 由题意知,该学习小组共有10人,
因此众数和中位数都是85,
平均数为=87.
2.16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同,按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后,要判断他能否进入决赛.则其他15位同学成绩的下列数据中,能使他得出结论的是( )
A.平均数B.极差
C.中位数D.方差
解析:
选C 判断是不是能进入决赛,只要判断是不是前8名,所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8个高于他,也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8个的成绩即可,小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛,低于这个成绩就不能进入决赛,这个第8名的成绩就是这15位同学成绩的中位数.
方差、标准差的计算与应用
[典例] 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛,对他们的射击水平进行了测试,两人在相同条件下各射击10次,命中的环数如下:
甲:
7,8,6,9,6,5,9,9,7,4.
乙:
9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
(1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数;
(2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差;
(3)比较两人的成绩,然后决定选择哪一个人参赛.
[解]
(1)对于甲:
极差是9-4=5,众数是9,中位数是7;
对于乙:
极差是9-5=4,众数是7,中位数是7.
(2)甲==7,
s=×[(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=2.8,
s甲==≈1.673.
乙==7,
s=×[(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=1.2,
s乙==≈1.095.
(3)∵甲=乙,s甲>s乙,
∴甲、乙两人的平均成绩相等,乙的成绩比甲的成绩稳定一些,从成绩的稳定性考虑,可以选择乙参赛.
在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究方差,方差描述了数据相对平均数的离散程度.在平均数相同的情况下,方差越大,离散程度越大,数据波动性越大,稳定性越差;方差越小,数据越集中、越稳定.
[活学活用]
某班20位女同学平均分为甲、乙两组,她们的劳动技术课考试成绩如下(单位:
分):
甲组 60,90,85,75,65,70,80,90,95,80;
乙组 85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差;
(2)哪一组的成绩较稳定?
解:
(1)甲组:
最高分为95分,最低分为60分,极差为95-60=35(分),
平均分为甲=×(60+90+85+75+65+70+80+90+95+80)=79(分),
方差为s=×[(60-79)2+(90-79)2+(85-79)2+(75-79)2+(65-79)2+(70-79)2+(80-79)2+(90-79)2+(95-79)2+(80-79)2]=119,
标准差为s甲==≈10.91(分).
乙组:
最高分为95分,最低分为65分,极差为95-65=30(分),
平均分为乙=×(85+95+75+70+85+80+85+65+90+85)=81.5(分),
方差为s=×[(85-81.5)2+(95-81.5)2+(75-81.5)2+(70-81.5)2+(85-81.5)2+(80-81.5)2+(85-81.5)2+(65-81.5)2+(90-81.5)2+(85-81.5)2]=75.25,
标准差为s乙==≈8.67(分).
(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差),因此乙组的成绩较稳定.
从
(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定.
数字特征与统计图表的综合问题
[典例]
(1)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为me,众数为mo,平均值为,则( )
A.me=mo=B.me=mo<
C.me<mo<D.mo<me<
(2)如图所示,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为A和B,样本标准差分别为sA和sB,则( )
A.A>B,sA>sBB.A<B,sA>sB
C.A>B,sA<sBD.A<B,sA<sB
[解析]
(1)由条形统计图可知,30名学生的得分依次为2个3分,3个4分,10个5分,6个6分,3个7分,2个8分,2个9分,2个10分.中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数,即me=5.5,
5出现次数最多,故mo=5.
=≈5.97.
于是得mo<me<.
(2)观察图形可得:
样本A的数据均小于或等于10,样本B的数据均大于或等于10,故A<B,又样本B的波动范围较小,故sA>sB.
[答案]
(1)D
(2)B
(1)由于茎叶图保留了原始数据,因此根据茎叶图进行有关数据计算可以直接进行;另外,在茎叶图中,数据的分布能直观体现数据的平均水平和离散程度,因此给出茎叶图解决与平均数和方差有关的统计问题时,我们也可以直观观察来完成.
(2)折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的意义有关,一般情况下,整体分布位置较高的平均数大,波动性小的方差小.
(3)若条形统计图的横坐标是单一数据,则可通过该统计图还原真实的样本数据,进而中位数、众数、平均数均可直接计算得到.
(4)当条形统计图的横轴是区间形式,各数字特征就不能直接求出,但是可以近似估计.
①中位数:
条形统计图(直方图)中,中位数左边和右边的各矩形的面积和应该相等,由此可以估计中位数的值.
②平均数:
平均数的估计值等于条形统计图(直方图)中每个小矩形的高度(面积)乘小矩形底边中点的横坐标之积的总和.
③众数:
在条形统计图(直方图)中,众数是最高的矩形的中点的横坐
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