天津市高考数学试题及全解理科.docx
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天津市高考数学试题及全解理科
2018年天津市高考数学试卷(理科)
一.选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁RB)=( )
A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}
2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x+5y的最大值为( )
A.6B.19C.21D.45
3.(5分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为( )
A.1B.2C.3D.4
4.(5分)设x∈R,则“|x﹣|<”是“x3<1”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.(5分)已知a=log2e,b=ln2,c=log,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b
6.(5分)将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间[,]上单调递增B.在区间[,π]上单调递减
C.在区间[,]上单调递增D.在区间[,2π]上单调递减
7.(5分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )
A.﹣=1B.﹣=1C.﹣=1D.﹣=1
8.(5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为( )
A.B.C.D.3
二.填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.(5分)i是虚数单位,复数= .
10.(5分)在(x﹣)5的展开式中,x2的系数为 .
11.(5分)已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M﹣EFGH的体积为 .
12.(5分)已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C,直线,(t为参数)与该圆相交于A,B两点,则△ABC的面积为 .
13.(5分)已知a,b∈R,且a﹣3b+6=0,则2a+的最小值为 .
14.(5分)已知a>0,函数f(x)=.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是 .
三.解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B﹣).
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值.
16.(13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
17.(13分)如图,AD∥BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG=AD,CD∥FG且CD=2FG,DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2.
(Ⅰ)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:
MN∥平面CDE;
(Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣F的正弦值;
(Ⅲ)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.
18.(13分)设{an}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*),
(i)求Tn;
(ii)证明=﹣2(n∈N*).
19.(14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|•|AB|=6.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l:
y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.
20.(14分)已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,其中a>1.
(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)﹣xlna的单调区间;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)=;
(Ⅲ)证明当a≥e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.
2018年天津市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一.选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁RB)=( )
A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}
【解答】解:
∵A={x|0<x<2},B={x|x≥1},
∴∁RB={x|x<1},
∴A∩(∁RB)={x|0<x<1}.
故选:
B.
2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x+5y的最大值为( )
A.6B.19C.21D.45
【解答】解:
由变量x,y满足约束条件,
得如图所示的可行域,由解得A(2,3).
当目标函数z=3x+5y经过A时,直线的截距最大,
z取得最大值.
将其代入得z的值为21,
故选:
C.
3.(5分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为( )
A.1B.2C.3D.4
【解答】解:
若输入N=20,
则i=2,T=0,==10是整数,满足条件.T=0+1=1,i=2+1=3,i≥5不成立,
循环,=不是整数,不满足条件.,i=3+1=4,i≥5不成立,
循环,==5是整数,满足条件,T=1+1=2,i=4+1=5,i≥5成立,
输出T=2,
故选:
B.
4.(5分)设x∈R,则“|x﹣|<”是“x3<1”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解答】解:
由|x﹣|<可得﹣<x﹣<,解得0<x<1,
由x3<1,解得x<1,
故“|x﹣|<”是“x3<1”的充分不必要条件,
故选:
A.
5.(5分)已知a=log2e,b=ln2,c=log,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b
【解答】解:
a=log2e>1,0<b=ln2<1,c=log=log23>log2e=a,
则a,b,c的大小关系c>a>b,
故选:
D.
6.(5分)将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间[,]上单调递增B.在区间[,π]上单调递减
C.在区间[,]上单调递增D.在区间[,2π]上单调递减
【解答】解:
将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,
得到的函数为:
y=sin2x,
增区间满足:
﹣+2kπ≤2x≤,k∈Z,
减区间满足:
≤2x≤,k∈Z,
∴增区间为[﹣+kπ,+kπ],k∈Z,
减区间为[+kπ,+kπ],k∈Z,
∴将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,
所得图象对应的函数在区间[,]上单调递增.
故选:
A.
7.(5分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )
A.﹣=1B.﹣=1C.﹣=1D.﹣=1
【解答】解:
由题意可得图象如图,CD是双曲线的一条渐近线
y=,即bx﹣ay=0,F(c,0),
AC⊥CD,BD⊥CD,FE⊥CD,ACDB是梯形,
F是AB的中点,EF==3,
EF==b,
所以b=3,双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,可得,
可得:
,解得a=.
则双曲线的方程为:
﹣=1.
故选:
C.
8.(5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为( )
A.B.C.D.3
【解答】解:
如图所示,以D为原点,以DA所在的直线为x轴,
以DC所在的直线为y轴,
过点B做BN⊥x轴,过点B做BM⊥y轴,
∵AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1,
∴AN=ABcos60°=,BN=ABsin60°=,
∴DN=1+=,
∴BM=,
∴CM=MBtan30°=,
∴DC=DM+MC=,
∴A(1,0),B(,),C(0,),
设E(0,m),
∴=(﹣1,m),=(﹣,m﹣),0≤m≤,
∴=+m2﹣m=(m﹣)2+﹣=(m﹣)2+,
当m=时,取得最小值为.
故选:
A.
二.填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.(5分)i是虚数单位,复数= 4﹣i .
【解答】解:
====4﹣i,
故答案为:
4﹣i
10.(5分)在(x﹣)5的展开式中,x2的系数为 .
【解答】解:
(x﹣)5的二项展开式的通项为=.
由,得r=2.
∴x2的系数为.
故答案为:
.
11.(5分)已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M﹣EFGH的体积为 .
【解答】解:
正方体的棱长为1,M﹣EFGH的底面是正方形的边长为:
,
四棱锥是正四棱锥,棱锥的高为,
四棱锥M﹣EFGH的体积:
=.
故答案为:
.
12.(5分)已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C,直线,(t为参数)与该圆相交于A,B两点,则△ABC的面积为 .
【解答】解:
圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是(x﹣1)2+y2=1,圆心为C(1,0),半径r=1;
直线化为普通方程是x+y﹣2=0,
则圆心C到该直线的距离为d==,
弦长|AB|=2=2=2×=,
∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=.
故答案为:
.
13.(5分)已知a,b∈R,且a﹣3b+6=0,则2a+的最小值为 .
【解答】解:
a,b∈R,且a﹣3b+6=0,
可得:
3b=a+6,
则2a+==≥2=,
当且仅当2a=.即a=﹣3时取等号.
函数的最小值为:
.
故答案为:
.
14.(5分)已知a>0,函数f(x)=.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是 (4,8) .
【解答】解:
当x≤0时,由f(x)=ax得x2+2ax+a=ax,
得x2+ax+a=0,
得a(x+1)=﹣x2,
得a=﹣,
设g(x)=﹣,则g′(x)=﹣=﹣,
由g(x)>0得﹣2<x<﹣1或﹣1<x<0,此时递增,
由g(x)<0得x<﹣2,此时递减,即当x=﹣2时,g(x)取得极小值为g(﹣2)=4,
当x>0时,由f
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