B函数与导数文科.docx
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B函数与导数文科
B函数与导数
B1 函数及其表示
14.B1[2012·天津卷]已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是________.
14.(0,1)∪(1,2) [解析]y==在同一坐标系内画出y=kx与y=的图象如图,
结合图象当直线y=kx斜率从0增到1时,与y=在x轴下方的图象有两公共点;当斜率从1增到2时,与y=的图象在x轴上、下方各有一个公共点.
11.B1[2012·陕西卷]设函数f(x)=则f(f(-4))=________.
11.4 [解析]由题目所给的是一分段函数,而f(-4)=16,所以f(16)=4,故答案为4.
3.B1[2012·山东卷]函数f(x)=+的定义域为( )
A.[-2,0)∪(0,2]B.(-1,0)∪(0,2]
C.[-2,2]D.(-1,2]
3.B [解析]本题考查函数的定义域,考查运算能力,容易题.
要使函数f(x)=+有意义,须有解之得-1 3.B1[2012·江西卷]设函数f(x)=则f(f(3))=( ) A.B.3C.D. 3.D [解析]f(x)=,f(f(3))=2+1=,故选D. 5.B1[2012·江苏卷]函数f(x)=的定义域为________. 5.(0,] [解析]本题考查函数定义域的求解.解题突破口为寻找使函数解析式有意义的限制条件.由解得0 11.B1[2012·广东卷]函数y=的定义域为________. 11.{x|x≥-1且x≠0} [解析]本题考查函数的定义域,函数有意义,满足: 解得{x|x≥-1且x≠0}. 9.B1[2012·福建卷]设f(x)=g(x)=则f(g(π))的值为( ) A.1B.0C.-1D.π 9.B [解析]解题的关键是求分段函数的值时,一定要认真分析自变量所在的区间,因为各段上的解析式是不相同的.∵π是无理数,∴g(π)=0,f(g(π))=f(0)=0,所以选择B. 13.B1[2012·四川卷]函数f(x)=的定义域是________.(用区间表示) 13. [解析]由解得x<, 即函数f(x)的定义域为. B2反函数 2.B2[2012·全国卷]函数y=(x≥-1)的反函数为( ) A.y=x2-1(x≥0) B.y=x2-1(x≥1) C.y=x2+1(x≥0) D.y=x2+1(x≥1) 2.A [解析]本小题主要考查求反函数的方法.解题的突破口为原函数与反函数定义域与值域的关系和反解x的表达式. 由y=得y2=x+1,即x=y2-1,交换x和y得y=x2-1,又原函数的值域为y≥0,所以反函数的定义域为x≥0,故选A. B3函数的单调性与最值 16.B3[2012·课标全国卷]设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=________. 16.[答案]2 [解析]因为f(x)==1+,令g(x)=,则f(x)=g(x)+1.由g(-x)==-g(x)及函数g(x)的定义域为R,得函数g(x)是奇函数,故g(x)max与g(x)min互为相反数.故g(x)max+g(x)min=0.易知M=g(x)max+1,m=g(x)min+1,所以M+m=g(x)max+1+g(x)min+1=0+2=2. 13.B3[2012·安徽卷]若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=________. 13.-6 [解析]容易作出函数f(x)的图像(图略),可知函数f(x)在上单调递减,在单调递增.又已知函数f(x)的单调递增区间是[3,+∞),所以-=3,解得a=-6. 12.B2、D2[2012·四川卷]设函数f(x)=(x-3)3+x-1,{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14,则a1+a2+…+a7=( ) A.0B.7C.14D.21 12.D [解析]记公差为d, 则f(a1)+f(a2)+…+f(a7) =(a1-3)3+(a2-3)3+…+(a7-3)3+(a1+a2+…+a7)-7 =(a4-3d-3)3+(a4-2d-3)3+…+(a4+2d-3)3+(a4+3d-3)3+7a4-7 =7(a4-3)3+7×3(a4-3)+7a4-7. 由已知,7(a4-3)3+7×3(a4-3)+7a4-7=14, 即7(a4-3)3+7×3(a4-3)+7(a4-3)=0, ∴(a4-3)3+4(a4-3)=0. 因为f(x)=x3+4x在R上为增函数,且f(0)=0, 故a4-3=0,即a4=3, ∴a1+a2+…+a7=7a4=7×3=21. 2.B3、B4[2012·陕西卷]下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A.y=x+1B.y=-x3 C.y=D.y=x|x| 2.D [解析]本小题主要考查函数的单调性、奇偶性,解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图像的对应关系.若函数为单调增函数,其图像为从左向右依次上升;若函数为奇函数,其图像关于原点对称.经分析,A选项函数的图像不关于原点对称,不是奇函数,排除;B选项函数的图像从左向右依次下降,为单调减函数,排除;C选项函数的图像从左向右依次下降,为单调减函数,排除;故选D.其实对于选项D,我们也可利用x>0、x=0、x<0讨论其解析式,然后画出图像,经判断符合要求,故选D. 8.B3、B10[2012·北京卷]某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图1-6所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,m的值为( ) 图1-6 A.5B.7 C.9D.11 8.C [解析]本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势,也就是函数增减速度的快慢. 法一: 因为随着n的增大,Sn在增大,要使取得最大值,只要让随着n的增大Sn+1-Sn的值超过(平均变化)的加入即可,Sn+1-Sn的值不超过(平均变化)的舍去,由图像可知,6,7,8,9这几年的改变量较大,所以应该加入,到第10,11年的时候,改变量明显变小,所以不应该加入,故答案为C. 法二: 假设是取的最大值,所以只要>即可,也就是>,即可以看作点Qm(m,Sm)与O(0,0)连线的斜率大于点Qm+1(m+1,Sm+1)与O(0,0)连线的斜率,所以观察可知到第Q9(9,S9)与O(0,0)连线的斜率开始大于点Q10(10,S10)与O(0,0)连线的斜率.答案为C. 14.A2、A3、B3、E3[2012·北京卷]已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是________. 14.(-4,0) [解析]本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能,考查分类讨论的数学思想、分析问题和解决问题以及综合运用知识的能力. 由已知g(x)=2x-2<0,可得x<1,要使∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,必须使x≥1时,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0恒成立, 当m=0时,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)=0不满足条件,所以二次函数f(x)必须开口向下,也就是m<0,要满足条件,必须使方程f(x)=0的两根2m,-m-3都小于1,即可得m∈(-4,0). 20.B3、D4、M4[2012·北京卷]设A是如下形式的2行3列的数表, a b c d e f 满足性质P: a,b,c,d,e,f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0. 记ri(A)为A的第i行各数之和(i=1,2),cj(A)为A的第j列各数之和(j=1,2,3); 记k(A)为|r1(A)|,|r2(A)|,|c1(A)|,|c2(A)|,|c3(A)|中的最小值. (1)对如下数表A,求k(A)的值; 1 1 -0.8 0.1 -0.3 -1 (2)设数表A形如 1 1 -1-2d d d -1 其中-1≤d≤0,求k(A)的最大值; (3)对所有满足性质P的2行3列的数表A,求k(A)的最大值. 20.解: (1)因为r1(A)=1.2,r2(A)=-1.2,c1(A)=1.1,c2(A)=0.7,c3(A)=-1.8, 所以k(A)=0.7. (2)r1(A)=1-2d,r2(A)=-1+2d, c1(A)=c2(A)=1+d,c3(A)=-2-2d. 因为-1≤d≤0, 所以|r1(A)|=|r2(A)|≥1+d≥0, |c3(A)|≥1+d≥0. 所以k(A)=1+d≤1.当d=0时,k(A)取得最大值1. (3)任给满足性质P的数表A(如下所示). a b c d e f 任意改变A的行次序或列次序,或把A中的每个数换成它的相反数,所得数表A*仍满足性质P,并且k(A)=k(A*). 因此,不妨设r1(A)≥0,c1(A)≥0,c2(A)≥0. 由k(A)的定义知, k(A)≤r1(A),k(A)≤c1(A),k(A)≤c2(A). 从而3k(A)≤r1(A)+c1(A)+c2(A) =(a+b+c)+(a+d)+(b+e) =(a+b+c+d+e+f)+(a+b-f) =a+b-f≤3. 所以k(A)≤1. 由 (2)知,存在满足性质P的数表A使k(A)=1. 故k(A)的最大值为1. 6.B3、B4[2012·天津卷]下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A.y=cos2x,x∈R B.y=log2|x|,x∈R且x≠0 C.y=,x∈R D.y=x3+1,x∈R 6.B [解析]法一: 由偶函数的定义可排除C、D,又∵y=cos2x为偶函数,但在(1,2)内不单调递增,故选B. 法二: 由偶函数定义知y=log2|x|为偶函数,以2为底的对数函数在(1,2)内单调递增. 22.B3、B9、B12[2012·福建卷]已知函数f(x)=axsinx-(a∈R),且在上的最大值为. (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明. 22.解: (1)由已知f′(x)=a(sinx+xcosx), 对于任意x∈,有sinx+xcosx>0. 当a=0时,f(x)=-,不合题意; 当a<0,x∈时,f′(x)<0,从而f(x)在内单调递减, 又f(x)在上的图象是连续不断的,故f(x)在上的最大值为f(0)=-,不合题意; 当a>0,x∈时,f′(x)>0,从而f(x)在内单调递增,又f(x)在上的图象是连续不断的,故f(x)在上的最大值为f,即a-=, 解得a=1. 综上所述,得f(x)=xsinx-. (2)f(x)在(0,π)内有且只有两个零点. 证明如下: 由 (1)知,f(x)=xsinx-,从而有f(0)=-<0. f=>0, 又f(x)在上的图象是连续不断的. 所以f(x)在内至少存在一个零点. 又由 (1)知f(x)在上单调递增,故f(x)在内有且仅有一个零点. 当x∈时,令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx. 由g=1>0,g(π)=-π<0,且g(x)在上的图象是连续不断的,故存在m∈,使得g(m)=0. 由g′(x)=2cosx-xsinx,知x∈时,有g′(x)<0, 从而g(x)在内单调递减. 当x∈时,g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0,从而f(x)在内单调递增, 故当x∈时,f(x)≥f=>0, 故f(x)在上无零点; 当x∈(m,π)时,有g(x)<g(m
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