新北师大版九年级数学上册《应用一元二次方程》学案Word格式.docx
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5.已知小明与小亮两人在同一地点,若小明向北直走160m,再向东直走80m,可到购物中心,则小亮向西直走__220__m后,他与购物中心的距离为340m.
6.(2014·
牡丹江)现有一块长80cm,宽60cm的矩形钢片,将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形,做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子,根据题意列方程,化简可得__x2-70x+825=0__.
7.(教材习题改编)如图,Rt△ABC中,∠B=90°
,AB=6cm,BC=8cm,点P从A点开始沿AB边向点B以1cm的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,则点P,Q分别从点A,B同时出发,经过__2或4__秒钟,使△PBQ的面积等于8cm2.
8.如图,用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形,其中正五边形的边长为(x2+17)cm,正六边形的边长为(x2+2x)cm(其中x>
0).求这两段铁丝的总长.
解:
∵用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形,∴5(x2+17)=6(x2+2x),整理,得x2+12x-85=0,(x+6)2=121,解得x1=5,x2=-17(不合题意,舍去).5×
(52+17)×
2=420(cm).答:
这两段铁丝的总长为420cm
9.为响应市委市政府提出的建设“绿色城市”的号召,我市某单位准备将院内一块长30m,宽20m的长方形空地,建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为532m2,那么小道进出口的宽度应为多少米?
(注:
所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形)
设小道进出口的宽度为x米,依题意得(30-2x)(20-x)=532.整理,得x2-35x+34=0.解得,x1=1,x2=34.∴34>30(不合题意,舍去),∴x=1.答:
小道进出口的宽度应为1米
10.如图,两艘船同时从A点出发,一艘船以15海里/时的速度向东北方向航行,另一艘船以20海里/时的速度向东南方向航行,几小时后两船正好相距100海里?
设x小时后两船相距100海里,根据题意,得(15x)2+(20x)2=1002,解得x1=4,x2=-4(舍去).答:
4小时后两船相距100海里
11.如图,要建造一个四边形花圃ABCD,要求AD边靠墙,CD⊥AD,AD∥BC,AB∶CD=5∶4,且三边的总长为20m.设AB的长为5xm.
(1)请求AD的长;
(用含字母x的式子表示)
(2)若该花圃的面积为50m2,且周长不大于30m,求AB的长.
(1)作BH⊥AD于点H,则AH=3x,由BC=DH=20-9x得AD=20-6x
(2)由2(20-9x)+3x+9x≤30得x≥
,由
[(20-9x)+(20-6x)]×
4x=50得3x2-8x+5=0,∴x1=
,x2=1(舍去),∴5x=
.答:
AB的长为
米
12.小明和同桌小聪在课后复习时,对练习册“目标与评定”中的一道思考题,进行了认真地探索.
【思考题】如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙C的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么点B将向外移动多少米?
(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整:
解:
设点B将向外移动x米,即BB1=x,
则A1B1=2.5,在Rt△A1B1C中,由B1C2+A1C2=A1B12,
得方程__(x+0.7)2+22=2.52__,解方程,得x1=__0.8__,x2=__-2.2(舍去)__,∴点B将向外移动__0.8__米.
(2)解完“思考题”后,小聪提出了如下两个问题:
【问题一】在“思考题”中,将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”,那么该题的答案会是0.9米吗?
为什么?
【问题二】在“思考题”中,梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离,有可能相等吗?
请你解答小聪提出的这两个问题.
【问题一】不会是0.9米.若AA1=BB1=0.9,则A1C=2.4-0.9=1.5,B1C=0.7+0.9=1.6,1.52+1.62=4.81,2.52=6.25,∵A1C2+B1C2≠A1B12,∴该题的答案不会是0.9米.【问题二】有可能.设梯子顶端从A处下滑x米,点B向外也移动x米,则有(x+0.7)2+(2.4-x)2=2.52,解得:
x=1.7或x=0(舍去).∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时,点B向外也移动1.7米,即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等
第2课时 利用一元二次方程解决营销问题
1.商品利润=__售价__-__进价__.利润率=__
__×
100%.
2.平均增长率公式为b=__a(1+x)n__,其中a为起始量,b为终止量,x为平均增长率,n为增长次数.平均降低率公式为b=__a(1-x)n__,其中a为起始量,b为终止量,x为平均降低率,n为降低次数.
知识点一:
利润问题
1.(2014·
泰安)某种花卉每盆盈利与每盆株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元;
若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元.要使每盆盈利达到15元,每盆应多植多少株?
设每盆多植x株,则可以列出的方程是( A )
A.(3+x)(4-0.5x)=15
B.(x+3)(4+0.5x)=15
C.(x+4)(3-0.5x)=15
D.(x+1)(4-0.5x)=15
2.某种T恤衫,平均每天销售40件,每件盈利20元.若每件降价1元,则每天可多售出10件.如果每天盈利1400元,每件应降价__6或10__元.
3.小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件,如果一次性购买不超过10件,单价为80元;
如果一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元,按此优惠条件,小丽一次性购买这种服装付了1200元,请问她购买了多少件这种服装?
∵80×
10=800(元)<
1200元,∴小丽买的服装数大于10件.设她购买了x件这种服装,根据题意,得x[80-2(x-10)]=1200.解得x1=20,x2=30.∵1200÷
30=40<
50,∴x2=30不合题意,舍去.答:
她购买了20件这种服装
知识点二:
增降率问题
4.目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发给每个经济困难学生389元,今年上半年发放了438元,设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是( B )
A.438(1+x)2=389
B.389(1+x)2=438
C.389(1+2x)=438
D.438(1+2x)=389
5.(2014·
海南)某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元.已知两次降价的百分率都为x,那么x满足的方程是( B )
A.100(1+x)2=81 B.100(1-x)2=81
C.100(1-x%)2=81D.100x2=81
随州)某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米,计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米.如果每年屋顶绿化面积的增长率相同,那么这个增长率是__20%__.
7.(2014·
宜宾)某企业五月份的利润是25万元,预计七月份利润将增加11万元,则六、七月份的平均增长率是__20%__.
8.某汽车配件公司4月份产值1000万元,到6月份总产值到达了3640万元,则平均每月产值的增长率是__20%__.
9.某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.
设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x,根据题意,得400(1+10%)(1+x)2=633.6,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).答:
3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%
10.某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个,如果每月的增长率x相同,则( C )
A.50(1+x2)=196
B.50+50(1+x2)=196
C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196
D.50+50(1+x)+50(1+2x)=196
11.有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.
(1)求两轮传染中平均一个人传染了几个人?
(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?
(1)设每轮传染中平均每人传染了x个,1+x+x(x+1)=64,x=7或x=-9(舍去).答:
每轮传染中平均一个人传染了7个人
(2)64×
7=448(人).答:
第三轮将又有448人被传染
12.某商店购进600个旅游纪念品,进价为每个6元,第一周以每个10元的价格售出200个;
第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个,但商店为了适当增加销售,决定降价销售(根据市场调查,单价每降价1元,可多售出50个,但售价不得低于进价),单价降低x元销售一周后,商店对剩余旅游纪念品清仓处理,以每个4元的价格全部售出,如果销售这批旅游纪念品共获利1250元,问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元?
由题意得200×
(10-6)+(10-x-6)(200+50x)+(4-6)[600-200-(200+50x)]=1250,整理,得50x2-100x+50=0,即x2-2x+1=0.解得x=1.∴10-1=9(元).答:
第二周每个纪念品的销售价格为9元
13.某商场以每件280元的价格购进一批商品,当每件商品售价为360元时,每月可售出60件,为了扩大销售,商场决定采取适当降价的方式促销,经调查发现,如果每件商品降价1元,那么商场每月就可以多售出5件.
(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元?
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价多少元?
(1)(360-280)×
60=4800(元)
(2)设每件商品应降x元,根据题意,得(360-280-x)(60+5x)=7200,解得x1=8,x2=60,为减少库存,则x=60,答:
每件商品应降价60元
14.某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车,在一定范围内,每辆汽车的进价与销售量有如下关系,若当月仅售出1辆汽车,则该汽车的进价为27万元;
每多售出1辆,所有售出的汽车的进价均降价0.1万元/辆,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10辆以内(含10辆),每辆返利0.5万元,销售量在10辆以上,每辆返利1万.
(1)若该公司当月售出3辆汽车,则每辆汽车的进价为__26.8__万元;
(2)如果汽车的售价为28万元/辆,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少辆汽车?
(盈利=销售利润+返利)
设销售汽车x辆,则汽车的进价为27-(x-1)×
0.1=27.1-0.1x(万元).若x≤10,则(28-27.1+0.1x)x+0.5x=12,解得x1=6,x2=-20(不合题意,舍去);
若x>
10,则(28-27.1+0.1x)x+x=12,解得x3=5(∵x>
10,舍去),x4=-24(不合题意,舍去),∴公司计划当月盈利12万元,需要售出6辆汽车
专题(六) 一元二次方程的应用
一、传播问题
天津)要组织一场排球邀请赛,参赛的每两个队员之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,设比赛组织应邀请x个队参赛,则x满足的关系式为( B )
A.
x(x+1)=28 B.
x(x-1)=28
C.x(x+1)=28D.x(x-1)=28
2.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后会有81台电脑被感染,请你用学过的一元二次方程模型分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?
若病毒得不到有效地控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?
设平均一台电脑会感染x台电脑,根据题意得1+x+(1+x)x=81,解得x1=8,x2=-10(舍去),即平均一台电脑会感染8台电脑,3轮感染后,被感染电脑台数为81+81×
8=729>
700,即3轮感染后,被感染的电脑会超过700台
二、增长率与利润问题
3.据报道,某省农作物秸秆的资源巨大,但合理利用量十分有限,去年的利用率只有30%,大部分秸秆被直接焚烧了.假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变,且合理利用量的增长率相同,要使明年的利用率提高到60%,求每年的增长率.(取
≈1.41)
设每年的增长率为x,秸杆总量为a,则有30%a(1+x)2=60%a,解得x1≈0.41=41%,x2≈-2.41(不合题意,舍去).答:
每年的增长率为41%
南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均为4万元,可变成本逐年增长,已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元,设可变成本平均每年增长的百分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为__2.6(1+x)2__万元;
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元,求可变成本平均每年增长的百分率x.
由题意,得4+2.6(1+x)2=7.146,解得:
x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去).答:
可变成本平均每年增长的百分率为10%
5.山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获得2240元的利润,请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?
(1)设每千克核桃应降价x元,根据题意得(60-x-40)(100+
×
20)=2240.化简得x2-10x+24=0,解得x1=4,x2=6,则每千克核桃应降价4元或6元
(2)∵要尽可能让利于顾客,∴每千克核桃应降价6元,此时,售价为60-6=54(元),
100%=90%,则该店应按原售价的九折出售
随州)楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车,当月该型号汽车的进价为30万元/辆,若当月销售量超过5辆时,每多售出1辆,所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆.根据市场调查,月销售量不会突破30台.
(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30,且x为正整数),实际进价为y万元/辆,求y与x的函数关系式;
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆,公司计划当月销售利润25万元,那么需售出多少辆汽车?
销售利润=销售价-进价)
(1)由题意,得当0<
x≤5时,y=30,当5<
x≤30时,y=30-0.1(x-5)=-0.1x+30.5,∴y=
(2)当0<
x≤5时,(32-30)×
5=10<
25,不符合题意,当5<
x≤30时,[32-(-0.1x+30.5)]x=25,解得x1=-25(舍去),x2=10.答:
该月需售出10辆汽车
三、面积问题
7.已知菱形的周长为40,两对角线之比为3∶4,则两对角线的长分别为__12和16__.
8.如图,若要建一个长方形鸡场,鸡场一边靠墙,墙对面有一个2米宽的门,另三边用竹篱笆围成,篱笆总长33米.围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求:
(1)若墙长为18米,要围成鸡场的面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米?
(2)围成鸡场的面积可能达到200平方米吗?
(3)若墙长为a米,对建150平方米面积的鸡场有何影响?
(1)设鸡场的宽为xm,根据题意得:
x(33+2-2x)=150,解得x1=
,x2=10,当x=
时,长为33+2-2×
=20>
18(舍去),当x=10时,33+2-2×
10=15,即鸡场的长和宽分别为15m,10m
(2)令x(35-2x)=200,Δ<
0,即鸡场的面积不可能达到200m2 (3)起限制作用,当a≥20时,有两解,当15≤a<
20有一解,当0<
a<
15时无解
9.要在一块长52m,宽48m的矩形绿地上,修建同样宽的两条互相垂直的甬路,下面分别是小亮和小颖的设计方案.
小亮设计的方案如图①所示,甬路宽度均为xm,剩余的四块绿地面积共2300平方米.
小颖设计的方案如图②所示,BC=HE=x,AB∥CD,HG∥EF,AB⊥EF,∠1=60°
.
(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x;
(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积.(友情提示:
小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同)
(1)根据小亮的设计方案列方程得(52-x)(48-x)=2300,解得x1=2,x2=98(舍去),∴小亮设计方案中甬路的宽度为2m
(2)易证四边形ADCB为平行四边形,由
(1)得x=2,∴BC=HE=2=AD,过点A作AI⊥CD于点I,则ID=
AD=1,∴AI=
,∴小颖设计方案中四块绿地的总面积=52×
48-52×
2-48×
2+(
)2=2299(m2)
10.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面如图所示).由于地形限制,三级污水处理池的长、宽都不能超过16米.如果池的外围墙的建造单价为每米400元,中间两条隔墙的建造单价为每米300元,池底的建造单价为每平方米80元(池墙的厚度忽略不计).当三级污水处理池的总造价为47200元时,求池长x.
(2x+
2)·
400+
2×
300+200×
80=47200,整理得x2-39x+350=0,解得x1=25(舍去),x2=14
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