高中数学课时作业25两角和与差的正弦余弦正切公式1新人教A版.docx
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高中数学课时作业25两角和与差的正弦余弦正切公式1新人教A版.docx
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高中数学课时作业25两角和与差的正弦余弦正切公式1新人教A版
2019-2020年高中数学课时作业25两角和与差的正弦余弦正切公式1新人教A版
|基础巩固|(25分钟,60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.sin105°的值为( )
A. B.
C.D.
解析:
sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=×+×=.
答案:
D
2.化简cosx+sinx等于( )
A.2cosB.2cos
C.2cosD.2cos
解析:
cosx+sinx=2=2
=2cos.
答案:
B
3.在△ABC中,若sin(B+C)=2sinBcosC,则△ABC是( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
解析:
因为sin(B+C)=2sinBcosC,
所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,
即sinBcosC-cosBsinC=0,所以sin(B-C)=0,
所以B=C.所以△ABC是等腰三角形.
答案:
D
4.函数f(x)=sinx-cos的值域为( )
A.[-2,2]B.[-,]
C.[-1,1]D.
解析:
因为f(x)=sinx-cos
=sinx-cosxcos+sinxsin
=sinx-cosx+sinx
=
=sin(x∈R),
所以f(x)的值域为[-,].
答案:
B
5.已知cos+sinα=,则sin的值为( )
A.-B.
C.-D.
解析:
因为cos+sinα=,
所以cosαcos+sinαsin+sinα=,
所以cosα+sinα=,
即cosα+sinα=.
所以sin=.
所以sin=-sin(α+)=-.
答案:
C
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.sin165°的值是________.
解析:
sin165°=sin(120°+45°)=sin120°cos45°+cos120°sin45°=·-·=.
答案:
7.已知cos=sin,则tanα=________.
解析:
cos=cosαcos-sinαsin=cosα-sinα,sin=sinαcos-cosαsin=sinα-cosα,
所以sinα=cosα,
故tanα=1.
答案:
1
8.已知sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα=,β是第三象限角,则sin=________.
解析:
sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα
=sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα
=sin[(α-β)-α]=-sinβ=,
即sinβ=-,
又β是第三象限角,
所以cosβ=-,
所以sin=sinβcos+cosβsin=×+×=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.化简下列各式:
(1)sin+2sin-cos;
(2)-2cos(α+β).
解析:
(1)原式=sinx·cos+cosxsin+2sinxcos-2cosx·sin-cos·cosx-sinsinx
=sinx+cosx+sinx-cosx+·cosx-sinx
=sinx+cosx=0.
(2)原式=
=
=
=.
10.已知α,β均为锐角,且sinα=,cosβ=,求α-β的值.
解析:
因为α,β均为锐角,且sinα=,cosβ=,
所以cosα=,sinβ=.
所以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
=×-×=-.
又因为α,β均为锐角,
所以-<α-β<.故α-β=-.
|能力提升|(20分钟,40分)
11.在△ABC中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则C的大小为( )
A.B.
C.或D.或
解析:
由已知可得(3sinA+4cosB)2+(3cosA+4sinB)2=62+12,
即9+16+24sin(A+B)=37.
所以sin(A+B)=.所以在△ABC中sinC=,所以C=或C=.又1-3cosA=4sinB>0,所以cosA<.
又<,所以A>,所以C<,
所以C=不符合题意,所以C=.
答案:
A
12.已知cos+sinα=,则sin的值是________.
解析:
∵cos+sinα=cosαcos+sinαsin+sinα
=cosα+sinα,∴cosα+sinα=,
∴cosα+sinα=,即sin=.
又sin=sin=
-sin=-.
答案:
-
13.已知α∈,β∈,且cos(α-β)=,sinβ=-,求sinα.
解析:
因为α∈,
β∈,
所以α-β∈(0,π).
因为cos(α-β)=,
所以sin(α-β)=.
因为β∈,sinβ=-,
所以cosβ=.
所以sinα=sin[(α-β)+β]
=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ
=×+×=.
14.已知sin=-,sin=,其中<α<,<β<,求角α+β的值.
解析:
因为<α<,
所以-<-α<0.
因为<β<,
所以<+β<.
由已知可得cos=,
cos=-,
则cos(α+β)=cos
=coscos+
sinsin
=×+×=-.
因为<α+β<π,
所以α+β=.
2019-2020年高中数学课时作业25二倍角的三角函数二北师大版
|基础巩固|(25分钟,60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知2sinα=1+cosα,则tan=( )
A. B.或不存在
C.2D.2或不存在
解析:
由2sinα=1+cosα,
即4sincos=2cos2,
当cos=0时,则tan不存在,
当cos≠0时,则tan=.
答案:
B
2.若sin2α=,且α∈,则cosα-sinα的值为( )
A.B.
C.-D.-
解析:
因为α∈,
所以cosα 所以cosα-sinα=-. 答案: C 3.若sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=0,则sin(α+2β)+sin(α-2β)=( ) A.1B.-1 C.0D.±1 解析: 因为sin(α+β)cosβ-cos(α+β)·sinβ=sin(α+β-β)=sinα=0, 所以sin(α+2β)+sin(α-2β)=2sinαcos2β=0. 答案: C 4.若θ∈,sin2θ=,则sinθ=( ) A.B. C.D. 解析: 因为θ∈,所以2θ∈, 所以cos2θ≤0, 所以cos2θ=- =-=-. 又cos2θ=1-2sin2θ, 所以sin2θ===, 所以sinθ=. 答案: D 5.化简2+2sin2得( ) A.2+sinαB.2+sin C.2D.2+sin 解析: 原式=1+2sincos+1-cos=2+sinα-cos=2+sinα-sinα=2. 答案: C 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.已知sin-cos=,则cos2θ=________. 解析: 因为sin-cos=, 所以1-sinθ=, 即sinθ=, 所以cos2θ=1-2sin2θ=1-=. 答案: 7.若=,则tan2α等于________. 解析: 由=, 得2(sinα+cosα)=sinα-cosα, 即tanα=-3. 又tan2α====. 答案: 8.函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为________. 解析: y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin2x+cos2x+=sin+,所以该函数的最小正周期为π. 答案: π 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.化简: (1); (2)已知π<α<,化简: +. 解析: (1)原式= ==. (2)原式=+, ∵π<α<,∴<<. ∴cos<0,sin>0. ∴原式=+ =-+ =-cos. 10.求证: -2cos(α+β)=. 证明: ∵sin(2α+β)-2cos(α+β)sinα =sin[(α+β)+α]-2cos(α+β)sinα =sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2cos(α+β)sinα =sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα =sin[(α+β)-α]=sinβ, 两边同除以sinα得-2cos(α+β)=. |能力提升|(20分钟,40分) 11.已知sinα+cosα=,则2cos2-1=( ) A.B. C.-D.- 解析: ∵sinα+cosα=,平方可得1+sin2α=,可得sin2α=-. 2cos2-1=cos=sin2α=-. 答案: C 12.已知sin2θ=,0<2θ<,则=________. 解析: = ===. 因为sin2θ=,0<2θ<, 所以cos2θ=,所以tanθ===, 所以==, 即=. 答案: 13.已知向量a=(2sinx,cosx),b=(cosx,2cosx),定义函数f(x)=a·b-1. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)的单凋递减区间. 解析: f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1 =sin2x+cos2x =2sin. (1)T==π. (2)令+2kπ≤2x+≤+2kπ, 则+kπ≤x≤+kπ(k∈Z), 即函数f(x)的单调递减区间为 (k∈Z). 14.如图,有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另两点B,C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20m,如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大? 解析: 连接OB,设∠AOB=θ,则AB=OBsinθ=20sinθ,OA=OBcosθ=20cosθ,且θ∈. ∵A,D关于原点对称, ∴AD=2OA=40cosθ. 设矩形ABCD的面积为S, 则S=AD·AB=40cosθ·20sinθ =400sin2θ.∵θ∈, ∴当sin2θ=1,即θ=时,Smax=400(m2). 此时AO=DO=10(m). 故当A、D距离圆心O为10m时,矩形ABCD的面积最大,其最大面积是400m2.
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