高考快递江苏省高考数学押题卷及答案Word下载.docx
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5.根据下列的伪代码,可知输出的结果S为________.
205 [该程序的作用是输出满足条件i=2n+1,n∈N,i=i+2≥100时,S=2i+3的值.∵i+2=101时,满足条件,∴输出的S值为S=2×
101+3=205.]
6.在三张奖券中有一、二等奖各一张,另一张无奖,甲乙两人各抽取一张(不放回),两人都中奖的概率为________.
[设一、二等奖各用A,B表示,另1张无奖用C表示,甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB,AC,BA,BC,CA,CB共6个,其中两人都中奖的有AB,BA,共2个,故所求的概率P==.]
7.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象如图1所示,则该函数的解析式是________.
图1
y=2sin [由图知A=2,y=2sin(ωx+φ),
∵点(0,1)在函数的图象上,∴2sinφ=1,解得sinφ=,∴利用五点作图法可得φ=.
∵点在函数的图象上,∴2sin=0,∴-ω+=kπ,k∈Z,
解得ω=-,k∈Z.∵ω>0,∴当k=0时,ω=,
∴y=2sin.]
8.如图2,在长方体ABCDA1B1C1D1中,对角线B1D与平面A1BC1交于E点.记四棱锥EA1B1C1D1的体积为V1,长方体ABCDA1B1C1D1的体积为V2,则的值是________.
图2
[连结B1D1,设B1D1∩A1C1=F,再连结BF,平面A1BC1∩平面BDD1B1=BF,因为E∈平面A1BC1,E∈平面BDD1B1,所以E∈BF,连结BD,因为F是A1C1的中点,所以BF是中线,又根据B1FBD,所以=,所以E是△A1BC1的重心,那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的,所以V1=SA1B1C1D1×
BB1,而V2=SA1B1C1D1×
BB1,所以=.]
9.已知实数x,y满足则的取值范围是________.
[作出不等式组对应的平面区域,的几何意义是区域内的点到定点D(0,-1)的斜率,
由图象知,AD的斜率最大,
BD的斜率最小,此时最小值为1,
由得即A,
此时AD的斜率k==,
即1≤≤,
故的取值范围是.]
10.已知{an},{bn}均为等比数列,其前n项和分别为Sn,Tn,若对任意的n∈N*,总有=,则=________.
9 [设{an},{bn}的公比分别为q,q′,
∵=,∴n=1时,a1=b1.
n=2时,=.
n=3时,=7.
∴2q-5q′=3,7q′2+7q′-q2-q+6=0,解得q=9,q′=3,
∴==9.]
11.已知平行四边形ABCD中.∠BAD=120°
,AB=1,AD=2,点P是线段BC上的一个动点,则·
的取值范围是________.
[以B为坐标原点,以BC所在的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系,作AE⊥BC,垂足为E,
∵∠BAD=120°
,AB=1,AD=2,∴∠ABC=60°
,
∴AE=,BE=,∴A,D.
∵点P是线段BC上的一个动点,设点P(x,0),0≤x≤2,
∴=,=,
∴·
=+=2-,
∴当x=时,有最小值,最小值为-,
当x=0时,有最大值,最大值为2,
则·
的取值范围为.]
12.如图3,已知椭圆+=1(a>b>0)上有一个点A,它关于原点的对称点为B,点F为椭圆的右焦点,且满足AF⊥BF,当∠ABF=时,椭圆的离心率为________.
图3
[设椭圆的左焦点为F1,连结AF1,BF1,由对称性及AF⊥BF可知,四边形AFBF1是矩形,所以
|AB|=|F1F|=2c,所以在Rt△ABF中,|AF|=2csin,
|BF|=2ccos,由椭圆定义得
2c=2a,即
e====.]
13.在斜三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若+=,则的最大值为________.
[由+=可得,+=,即=,∴=,即=,∴sin2C=sinAsinBcosC.根据正弦定理及余弦定理可得,c2=ab·
,整理得a2+b2=3c2,∴==≤=,当且仅当a=b时等号成立.]
14.对于实数a,b,定义运算“□”:
a□b=设f(x)=(x-4)□,若关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根,则实数m的取值范围是________.
(-1,1)∪(2,4) [由题意得,f(x)=(x-4)□=
画出函数f(x)的大致图象如图所示.
因为关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R),即f(x)=m±
1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根,所以两直线y=m±
1(m∈R)与曲线y=f(x)共有四个不同的交点,则或或得2<m<4或-1<m<1.]
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)设α为锐角,且cos=.
(1)求cos的值;
(2)求cos的值.
[解]
(1)∵α为锐角,∴α+∈.
又cos=,故sin=.4分
∴cos=cos=sin=.6分
(2)又sin=-sin=-cosα+=-.8分
故cos=cos
=coscos-sinα+
sin
=×
-×
=.14分
16.(本小题满分14分)在直三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB,AA1=AB,D是AB的中点.
图4
(1)求证:
BC1∥平面A1CD;
(2)若点P在线段BB1上,且BP=BB1,求证:
AP⊥平面A1CD.
[证明]
(1)连结AC1,设交A1C于点O,连结OD.2分
∵四边形AA1C1C是矩形,∴O是AC1的中点.
在△ABC1中,O,D分别是AC1,AB的中点,
∴OD∥BC1.4分
又∵OD⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,
∴BC1∥平面A1CD.6分
(2)∵CA=CB,D是AB的中点,∴CD⊥AB.
又∵在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面ABC⊥侧面AA1B1B,交线为AB,
CD⊂平面ABC,∴CD⊥平面AA1B1B.10分
∵AP⊂平面A1B1BA,∴CD⊥AP.
∵BB1=BA,BB1=AA1,BP=BB1,
∴==,∴Rt△ABP∽Rt△A1AD,12分
从而∠AA1D=∠BAP,∴∠AA1D+∠A1AP=∠BAP+∠A1AP=90°
∴AP⊥A1D.
又∵CD∩A1D=D,CD⊂平面A1CD,A1D⊂平面A1CD,
∴AP⊥平面A1CD.14分
17.(本小题满分14分)如图5,直线l是湖岸线,O是l上一点,弧AB是以O为圆心的半圆形栈桥,C为湖岸线l上一观景亭,现规划在湖中建一小岛D,同时沿线段CD和DP(点P在半圆形栈桥上且不与点A,B重合)建栈桥.考虑到美观需要,设计方案为DP=DC,∠CDP=60°
且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部,已知BC=2OB=2(km),沿湖岸BC与直线栈桥CD,DP及圆弧栈桥BP围成的区域(图中阴影部分)的面积为S(km2),∠BOP=θ.
图5
(1)求S关于θ的函数关系式;
(2)试判断S是否存在最大值,若存在,求出对应的cosθ的值,若不存在,说明理由.
[解]
(1)在△COP中,
CP2=CO2+OP2-2CO·
OPcosθ=10-6cosθ,
从而△CDP的面积S△CDP=CP2=(5-3cosθ).4分
又因为△COP的面积S△COP=OC·
OPsinθ=sinθ,
所以S=S△CDP+S△COP-S扇形OBP
=(3sinθ-3cosθ-θ)+,0<θ≤θ0<π,
cosθ0=.6分
注:
当DP所在直线与半圆相切时,设θ取得最大值θ0,此时在△COP中,OP=1,OC=3,∠CPO=30°
,CP=,由正弦定理得=6sinθ0,cosθ0=.
(2)存在.
由
(1)知,S′=(3cosθ+3sinθ-1),
令S′=0,得sin=.
当0<θ<θ0时,S′>0,
所以当θ=θ0时,S取得最大值.10分
或因为0<θ<π,所以存在唯一的θ0∈,使得sin=.当0<θ<θ0<π时,S′>0,所以当θ=θ0时,S取得最大值.
此时cos=-,cosθ0=cos=.14分
18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆+=1(a>b>0)的离心率是e,定义直线y=±
为椭圆的“类准线”,已知椭圆C的“类准线”方程为y=±
2,长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P在椭圆C的“类准线”上(但不在y轴上),过点P作圆O:
x2+y2=3的切线l,过点O且垂直于OP的直线与l交于点A,问点A是否在椭圆C上?
证明你的结论.
[解]
(1)由题意知又a2=b2+c2,解得b=,c=1,4分
所以椭圆C的方程为+=1.6分
(2)点A在椭圆C上.证明如下:
设切点为Q(x0,y0),x0≠0,则x+y=3,切线l的方程为x0x+y0y-3=0,
当yP=2时,xP=,
即P,10分
则kOP==,
所以kOA=,直线OA的方程为y=x.
联立解得
即A.13分
因为+
=
==1,
所以点A的坐标满足椭圆C的方程.
当yP=-2时,同理可得点A的坐标满足椭圆C的方程,
所以点A在椭圆C上.16分
19.(本小题满分16分)已知数列{an}满足2an+1=an+an+2+k(n∈N*,k∈R),且a1=2,a3+a5=-4.
(1)若k=0,求数列{an}的前n项和Sn;
(2)若a4=-1,求数列{an}的通项公式an.
[解]
(1)当k=0时,2an+1=an+an+2,即an+2-an+1=an+1-an,
所以数列{an}是等差数列.4分
设数列{an}的公差为d,则解得
所以Sn=na1+d=2n+×
=-n2+n.6分
(2)由题意,2a4=a3+a5+k,即-2=-4+k,所以k=2.
又a4=2a3-a2-2=3a2-2a1-6,所以a2=3.
由2an+1=an+an+2+2,
得(an+2-an+1)-(an+1-an)=-2.
所以,数列{an+1-an}是以a2-a1=1为首项,-2为公差的等差数列.
所以an+1-an=-2n+3,10分
当n≥2时,有an-an-1=-2(n-1)+3.
于是,an-1-an-2=-2(n-2)+3,
an-2-an-3=-2(n-3)+3,
…
a3-a2=-2×
2+3,
a2-a1=-2×
1+3,
叠加得,an-a1=-2(1+2+…+(n-1))+3(n-1)(n≥2),
所以an=-2×
+3(n-1)+2=-n2+4n-1(n≥2).14分
又当n=1时,a1=2也适合.
所以数列{an}的通项公式为an=-n2+4n-1,n∈N*.16分
20.(本小题满分16分)已知函数f(x)=ex(a+4)x-2a-4,其中a∈R,e为自然对数的底数.
(1)关于x的不等式f(x)<-ex在(-∞,2)上恒成立,求a的取值范围;
(2)讨论函数f(x)极值点的个数.
[解]
(1)由f(x)<-ex,得ex<-ex,
即x3-6x2+(3a+12)x-6a-8<0对任意x∈(-∞,2)恒成立,
即(6-3x)a>x3-6x2+12x-8对任意x∈(-∞,2)恒成立,4分
因为x<2,所以a>=-(x-2)2,
记g(x)=-(x-2)2,因为g(x)在(-∞,2)上单调递增,且g
(2)=0,
所以a≥0,即a的取值范围为[0,+∞).6分
(2)由题意,可得f′(x)=ex,可知f(x)只有一个极值点或有三个极值点.
令g(x)=x3-x2+ax-a,
①若f(x)有且仅有一个极值点,则函数g(x)的图象必穿过x轴且只穿过一次,
即g(x)为单调递增函数或者g(x)极值同号.
(ⅰ)当g(x)为单调递增函数时,g′(x)=x2-2x+a≥0在R上恒成立,得a≥1.
(ⅱ)当g(x)极值同号时,设x1,x2为极值点,则g(x1)·
g(x2)≥0,
由g′(x)=x2-2x+a=0有解,得a<1,且x-2x1+a=0,x-2x2+a=0,
所以x1+x2=2,x1x2=a,10分
所以g(x1)=x-x+ax1-a=x1(2x1-a)-x+ax1-a
=-(2x1-a)-ax1+ax1-a=[(a-1)x1-a],
同理,g(x2)=[(a-1)x2-a],
所以g(x1)g(x2)=[(a-1)x1-a]·
[(a-1)x2-a]≥0,
化简得(a-1)2x1x2-a(a-1)(x1+x2)+a2≥0,
所以(a-1)2a-2a(a-1)+a2≥0,即a≥0,
所以0≤a<1.
所以,当a≥0时,f(x)有且仅有一个极值点;
②若f(x)有三个极值点,则函数g(x)的图象必穿过x轴且穿过三次,同理可得a<0.
综上,当a≥0时,f(x)有且仅有一个极值点,
当a<0时,f(x)有三个极值点.16分
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