高考数学理科一轮复习函数yasinωx+φ的图象及性质学案Word文档下载推荐.docx
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函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为____________.y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为________.
自我检测
1.(2011•池州月考)要得到函数y=sin2x-π4的图象,可以把函数y=sin2x的图象()
A.向左平移π8个单位
B.向右平移π8个单位
C.向左平移π4个单位
D.向右平移π4个单位
2.已知函数f(x)=sinωx+π4(x∈R,ω>
0)的最小正周期为π.将y=f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的一个值是()
A.π2B.3π8C.π4D.π8
3.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R,ω>
0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象()
A.向左平移π8个单位长度
B.向右平移π8个单位长度
C.向左平移π4个单位长度
D.向右平移π4个单位长度
4.(2011•太原高三调研)函数y=sin2x-π3的一条对称轴方程是()
A.x=π6B.x=π3
C.x=π12D.x=5π12
5.(2011•六安月考)若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M、N两点,则|MN|的最大值为()
A.1B.2C.3D.2
探究点一三角函数的图象及变换
例1已知函数y=2sin2x+π3.
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;
(3)说明y=2sin2x+π3的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.
变式迁移1设f(x)=12cos2x+3sinxcosx+32sin2x(x∈R).
(1)画出f(x)在-π2,π2上的图象;
(2)求函数的单调增减区间;
(3)如何由y=sinx的图象变换得到f(x)的图象?
探究点二求y=Asin(ωx+φ)的解析式
例2已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>
0,|φ|变式迁移2(2011•宁波模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>
0,|φ|
(1)求f(x)的解析式及x0的值;
(2)若锐角θ满足cosθ=13,求f(4θ)的值.
探究点三三角函数模型的简单应用
例3已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:
小时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时刻记录的浪高数据:
t03691215182124
y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5
经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b.
(1)根据以上数据,求函数y=Acosωt+b的最小正周期T,振幅A及函数表达式;
(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据
(1)的结论,判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?
变式迁移3交流电的电压E(单位:
伏)与时间t(单位:
秒)的关系可用E=2203sin100πt+π6表示,求:
(1)开始时的电压;
(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔;
(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间.
数形结合思想的应用
例(12分)设关于θ的方程3cosθ+sinθ+a=0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求α+β的值.
【答题模板】
解
(1)原方程可化为sin(θ+π3)=-a2,
作出函数y=sin(x+π3)(x∈(0,2π))的图象.
3分]
由图知,方程在(0,2π)内有相异实根α,β的充要条件是-1即-2
(2)由图知:
当-3∴α+β=7π3.8分]
当-2由对称性知,α+β2=π6,∴α+β=π3.11分]
综上所述,α+β=π3或α+β=73π.12分]
【突破思维障碍】
在解决三角函数的有关问题时,若把三角函数的性质融于函数的图象之中,将数(量)与图形结合起来进行分析、研究,可使抽象复杂的数理关系通过几何图形直观地表现出来,这是解决三角函数问题的一种有效的解题策略.
图象的应用主要有以下几个方面:
①比较大小;
②求单调区间;
③解不等式;
④确定方程根的个数.如判断方程sinx=x的实根个数;
⑤对称问题等.
【易错点剖析】
此题若不用数形结合法,用三角函数有界性求a的范围,不仅过程繁琐,而且很容易漏掉a≠-3的限制,而从图象中可以清楚地看出当a=-3时,方程只有一解.
1.从“整体换元”的思想认识、理解、运用“五点法作图”,尤其在求y=Asin(ωx+φ)的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数y=sinx的作用.
2.三角函数自身综合问题:
要以课本为主,充分掌握公式之间的内在联系,从函数名称、角度、式子结构等方面观察,寻找联系,结合单位圆或函数图象等分析解决问题.
3.三角函数模型应用的解题步骤:
(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象.
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
(3)利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型.
(满分:
75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.将函数y=sinx-π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移π3个单位,得到的图象对应的解析式是()
A.y=sin12xB.y=sin12x-π2
C.y=sin12x-π6D.y=sin2x-π6
2.(2011•银川调研)如图所示的是某函数图象的一部分,则此函数是()
A.y=sinx+π6
B.y=sin2x-π6
C.y=cos4x-π3
D.y=cos2x-π6
3.为得到函数y=cos2x+π3的图象,只需将函数y=sin2x的图象()
A.向左平移5π12个单位长度
B.向右平移5π12个单位长度
C.向左平移5π6个单位长度
D.向右平移5π6个单位长度
4.(2009•辽宁)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>
0)的图象如图所示,f(π2)=-23,则f(0)等于()
A.-23B.-12
C.23D.12
5.(2011•烟台月考)若函数y=Asin(ωx+φ)+m(A>
0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为π2,直线x=π3是其图象的一条对称轴,则它的解析式是()
A.y=4sin4x+π6B.y=2sin2x+π3+2
C.y=2sin4x+π3+2D.y=2sin4x+π6+2
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>
0,-π≤φ7.(2010•潍坊五校联考)函数f(x)=cos2x的图象向左平移π4个单位长度后得到g(x)的图象,则g(x)=______.
8.(2010•福建)已知函数f(x)=3sinωx-π6(ω>
0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同.若x∈0,π2,则f(x)的取值范围是____________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>
0,|φ|
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈-6,-23]时,求函数y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的x的值.
10.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>
0,011.(14分)(2010•山东)已知函数f(x)=sin(π-ωx)•cosωx+cos2ωx(ω>
0)的最小正周期为π,
(1)求ω的值;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间0,π16上的最小值.
答案自主梳理
1.0-φωπ2-φωπ-φω3π2-φω2π-φω0π2π3π22π2.
(1)左右|φ|
(2)伸长缩短1ω(3)伸长缩短A3.A2πω1Tωx+φφ2π|ω|π|ω|
1.B2.D3.A4.D5.B
课堂活动区
例1解题导引
(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法,此法注意在作出一个周期上的简图后,应向两边伸展一下,以示整个定义域上的图象;
(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用ωx+φ=ωx+φω来确定平移单位.
解
(1)y=2sin2x+π3的振幅A=2,周期T=2π2=π,初相φ=π3.
(2)令X=2x+π3,则y=2sin2x+π3=2sinX.
列表:
X-π6
π12
π3
7π12
5π6
X0π2
π3π2
2π
y=sinX010-10
y=2sin2x+π3
020-20
描点连线,得图象如图所示:
(3)将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的12倍(纵坐标不变),得到y=sin2x的图象;
再将y=sin2x的图象向左平移π6个单位,得到y=sin2x+π6=sin2x+π3的图象;
再将y=sin2x+π3的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的2倍,得到y=2sin2x+π3的图象.
变式迁移1解y=12•1+cos2x2+32sin2x+32•1-cos2x2
=1+32sin2x-12cos2x=1+sin2x-π6.
(1)(五点法)设X=2x-π6,
则x=12X+π12,令X=0,π2,π,3π2,2π,
于是五点分别为π12,1,π3,2,7π12,1,5π6,0,13π12,1,描点连线即可得图象,如下图.
(2)由-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ,k∈Z,
得单调增区间为-π6+kπ,kπ+π3,k∈Z.
由π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ,k∈Z,
得单调减区间为π3+kπ,kπ+5π6,k∈Z.
(3)把y=sinx的图象向右平移π6个单位;
再把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变);
最后把所得图象向上平移1个单位即得y=sin2x-π6+1的图象.
例2解题导引确定y=Asin(ωx+φ)+b的解析式的步骤:
(1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则A=M-m2,b=M+m2.
(2)求ω.确定函数的周期T,则ω=2πT.(3)求参数φ是本题的关键,由特殊点求φ时,一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.
解由图象可知A=2,T=8.
∴ω=2πT=2π8=π4.
方法一由图象过点(1,2),
得2sinπ4×
1+φ=2,
∴sinπ4+φ=1.∵|φ|∴f(x)=2sinπ4x+π4.
方法二∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点.
∴π4×
1+φ=π2,∴φ=π4,
∴f(x)=2sinπ4x+π4.
变式迁移2解
(1)由题意可得:
A=2,T2=2π,即2πω=4π,∴ω=12,
f(x)=2sin12x+φ,f(0)=2sinφ=1,
由|φ|f(x0)=2sin12x0+π6=2,
所以12x0+π6=2kπ+π2,x0=4kπ+2π3(k∈Z),
又∵x0是最小的正数,∴x0=2π3.
(2)f(4θ)=2sin2θ+π6
=3sin2θ+cos2θ,
∵θ∈0,π2,cosθ=13,∴sinθ=223,
∴cos2θ=2cos2θ-1=-79,
sin2θ=2sinθcosθ=429,
∴f(4θ)=3×
429-79=46-79.
例3解题导引
(1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面,一是已知函数模型,如本例,关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则,二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.
(2)如何从表格中得到A、ω、b的值是解题的关键也是易错点,同时第二问中解三角不等式也是易错点.(3)对于三角函数模型y=Asin(ωx+φ)+k(A>
0)中参数的确定有如下结论:
①A=ymax-ymin2;
②k=ymax+ymin2;
③ω=2πT;
④φ由特殊点确定.
解
(1)由表中数据,知周期T=12,
∴ω=2πT=2π12=π6,
由t=0,y=1.5,得A+b=1.5;
由t=3,y=1.0,得b=1.0,
∴A=0.5,b=1,∴y=12cosπ6t+1.
(2)由题知,当y>
1时才可对冲浪者开放,
∴12cosπ6t+1>
1,∴cosπ6t>
0,
∴2kπ-π2即12k-3∵0≤t≤24,故可令①中的k分别为0,1,2,
得0≤t∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间,有6个小时的时间可供冲浪者运动,即上午9∶00至下午3∶00.
变式迁移3解
(1)t=0时,E=2203sinπ6=1103(伏).
(2)T=2π100π=0.02(秒).
(3)当100πt+π6=π2,t=1300秒时,第一次取得最大值,电压的最大值为2203伏.
课后练习区
1.C2.D3.A4.C5.D
6.9π10
7.-sin2x
8.-32,3
9.解
(1)由图象知A=2,
∵T=2πω=8,∴ω=π4.……………………………………………………………………(2分)
又图象经过点(-1,0),∴2sin(-π4+φ)=0.
∵|φ|∴f(x)=2sin(π4x+π4).………………………………………………………………………(5分)
(2)y=f(x)+f(x+2)
=2sin(π4x+π4)+2sin(π4x+π2+π4)
=22sin(π4x+π2)=22cosπ4x.……………………………………………………………(8分)
∵x∈-6,-23],∴-3π2≤π4x≤-π6.
∴当π4x=-π6,即x=-23时,y=f(x)+f(x+2)取得最大值6;
当π4x=-π,即x=-4时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-22.………………………(12分)
10.解根据f(x)是R上的偶函数,图象过点M(0,2),可得f(-x)=f(x)且A=2,
则有2sin(-ωx+φ)=2sin(ωx+φ),
即sinωxcosφ=0,
∴cosφ=0,即φ=kπ+π2(k∈Z).
而0≤φ≤π,∴φ=π2.………………………………………………………………………(4分)
再由f(x)=2sin(-ωx+π2)=2cosωx的图象关于点N3π4,0对称,f(3π4)=2cos(3ω4π)=0
∴cos3ω4π=0,……………………………………………………………………………(8分)
即3ω4π=kπ+π2(k∈Z),ω=43k+12(k∈Z).
又0最后根据f(x)在区间0,π]上是减函数,
可知只有ω=23满足条件.
所以f(x)=2cos23x.………………………………………………………………………(12分)
11.解
(1)f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx
=sinωxcosωx+1+cos2ωx2
=12sin2ωx+12cos2ωx+12
=22sin2ωx+π4+12.……………………………………………………………………(6分)
由于ω>
0,依题意得2π2ω=π,所以ω=1.………………………………………………(8分)
(2)由
(1)知f(x)=22sin2x+π4+12,
所以g(x)=f(2x)
=22sin4x+π4+12.……………………………………………………………………(10分)
当0≤x≤π16时,π4≤4x+π4≤π2.
所以22≤sin4x+π4≤1.
因此1≤g(x)≤1+22,…………………………………………………………………(13分)
所以g(x)在此区间内的最小值为1.…………………………………………………(14分)
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