第十二讲初二教师讲义平面向量Word格式文档下载.docx
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方向
4m处。
例4:
如图,△ABC中,D,E,F分别是边BC,AB,CA的中点,在以A、B、C、D、E、F为端
点的有向线段中所表示的向量中,
A
(1)与向量FE平行的有
.
(2)与向量DF的模相等的有
F
E
(3)与向量ED相等的有
B
D
C
1.向量的加法
求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法。
向量的加法满足交换律和结合律。
如图,AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作a+b.
即a+b=AB+BC=AC.
2.向量加法法则
a+b
(1)向量加法的三角形法则:
b
特点:
首尾顺次连接。
a
运用这一法则时要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第
一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.
(2)向量加法的平行四边形法则:
起点相同
如图,在平面内过同一点A作AB=a,AD=b,则以AB、AD为邻边构造平行四边形ABCD,
则以A为起点的对角线向量AC即a与b的和,这种方法即为向量加法的平行四边形法则.
说明:
上述两种方法实质相同,但应用各有特色,三角形法则适合于
首尾相接的两向量求和,而平
行四边形法则适合于
同起点的两向量求和
.
(3)向量加法的多边形法则:
AB
首尾顺次连接,以第一个向量的起点为起点,最后一个向量的终点为终点。
3.零向量
一般地,我们把长度为零的向量叫做零向量,记作O。
规定零向量的方向可以是任意的(或
者说不确定)。
a+(-
a)=
a+
=
已知
O是平行四边形
ABCD对角线的交点,则下面结论中不正确的是
(
)
A.AB
CB
AC
B.
AB
AD
ACC.
CD
BD
D.
AO
CO
OB
OD
看图填空:
在四边形中,
BA
;
BC
_____;
DA
______
已知向量
a、b
,求作:
a+b.
变式练习:
如图,已知向量a,b,用两种方法求作向量a+b.
总结:
此题可以应用三角形法则也可应用平行四边形法则求解,但应注意两种法则的适用前提
不同,若用三角形法则,则应平移为两向量首尾相接;
若用平行四边形法则,则应平移为两向量同
起点.
一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为2km/h,
求船实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
分析与提示:
速度是一个既有大小又有方向的量,所以可以用向量表示,速度的合成也就是向
量的加法.
如图,设AD表示船向垂直于对岸行驶的速度,AB表示水流的速度,以AD、AB作邻边作平行
四边形ABCD,则AC就是船实际航行的速度.
22.9平面向量的减法
【知识点】
1.向量的减法
已知两个向量的和及其中一个向量,求另一个向量的运算叫做向量的减法。
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量,用式子表示为:
2.向量减法法则
向量减法的三角形法则:
共起点,指向被减向量。
我们知道,向量加法的三角形法则是:
若a=AB,b=BC,
则a+b=AB+BC=AC(如图
(1)所示)
向量减法的三角形法则是:
若a=OA,b=OB,
则a-b=OA-OB=BA(如图
(2)所示)
注意:
上述两个法则的图示内容是显然可见的,同学们一般都较为注意,而对于两个法则的式子即
(1)、
(2)两式的内容,一些同学却不太注意,实际上,吃透这两个法则的式子内容也是非常重要的.
向量加法的三角形法则的式子内容是:
两个向量(均指用两个字母表示的向量)相加,则表示第
一个向量终点的字母与表示第二个向量起点的字母必须相同(否则无法相加),这样两个向量的和向
量是以第一个向量的起点的字母为起点,以第二个向量的终点的字母为终点.
试自己说出向量减法的三角形法则的式子内容是:
(1)下列各式结果是AB的是()
A.AMMNMBB.ACBFCFC.ABDCCBD.ABFCBC
(2)在正六边形ABCDEF中,不与向量相等的是()
A.+B.-C.+D.+
(1)化简:
(ABCDBE)(BCBDEF)AF________
→→→→
(2)化简:
(AD+MB)+(BC+CM)=
已知正方形ABCD边长为1,ABBCAC模等于_______
已知:
如图a、b是两个非零向量,求作向量ca-b.
如图,已知四边形ABCD是平行四边形,指出图中向量:
ABAD,ABAD。
DC
问:
(1)平行四边形ABCD满足什么条件时,这两个向量所在的直线互相垂直?
(2)平行四边形ABCD满足什么条件时,这两个向量的长度相等?
(3)这两个向量可能是相等向量吗?
为什么?
如图在正六边形ABCDEF中,已知:
=a,=b,试用a、b表示向量,,,
例5:
用向量方法证明:
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
如图,四边形ABCD是,对角线AC与BD交于点O,且AO
OC,DO
OB。
求证:
四边形ABCD是平行四边形。
证明:
课后作业
1、在四边形ABCD
中,向量
AB、BC、
的和向量是.
、已知在平行四边形
ABCD
中,设
,那么用向量
a、b表示向量CA
,
3、已知菱形ABCD的边长都是
2,求向量AB
CBCD的模是
4、已知a,b,c的模分别为
1、2、3,则|a
c|的最大值为
5、在四边形ABCD中,若AB
a,AD
b,且|ab||a
b|,则四边形ABCD
的形状
是
6、下列各量中是向量的是
A.质量
B.距离
C.速度
D.电流强度
7、下列说法正确的是
A.方向相同或相反的向量是平行向量
B.零向量的长度为0
C.长度相等的向量叫相等向量
D.互为相反向量的两个向量一定是平行向量
8、在
ABCD中,设ABa,AD
b,ACc,BD
d,则下列等式中不正确的是(
A.a
c
B.a
d
C.b
D.c
9、如图,已知向量a、b.求作:
向量
(1)ab;
(2)ab.
10、如图,OAa,ABb,BCc请用符号语言表示OB,OC和AC:
bC
11、已知:
矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O.
(1)利用图中的向量表示:
_____________;
(2)利用图中的向量表示:
_____________;
O
(3)如果AB5,BC
12,则BO
___________.
12、如图,点E、F在平行四边形ABCD的对角线BD上,且EB=DF.
(1)填空:
BCBA=________;
BAAF=_________;
BCAF_______.
(2)求作:
BCAF.
AD
BC
三、精讲精练:
例
梯形
1.如图,在等腰梯形
ABCD的面积为
中,AB∥CD,对角线
平分∠
BAD,∠B
60
,CD=2cm,则
A.33cm2
B.6cm2
C.63cm2
D.12cm2
分析:
作CE⊥AB于E,由∠B=60
,AC平分∠BAD
易知∠1=∠2=30
又AB∥CD,∴∠1=∠3=30,∴∠2=∠3
∴AD=DC=BC=2cm,∠ACB=90故AB=2BC=4cm
又∠4=30
,则BE=1BC=1cm
∴CE=BC2
BE2
3cm
∴S梯ABCD
1AB
CDCE
1
423
33cm2
故选A
例2.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,点E是AD延长线上一点,DE=BC,
(1)求证:
∠E=∠DBC
(2)判断△ACE的形状
(1)由DEBC,得BCED是平行四边形
E=DBC
(2)由ABCD是等腰梯形,可得△ABC△DBC,得∠DBC=∠ACB
又∠EAC=∠ACB,故∠DBC=∠EAC,由
(1)得∠E=∠EAC
所以△ACE是等腰三角形。
(1)证明:
∵AD∥BC,DE=BC∴四边形BCED是平行四边形
∴∠DBC=∠E
(2)解:
四边形ABCD是等腰梯形∴BD=AC,AB=CD
又BC=CB∴△ABC△DBC∴∠DBC=∠ACB
又AD∥BC∴∠EAC=∠ACB∴∠EAC=∠DBC
由
(1)知∠E=∠DBC,∴∠E=∠EAC
∴△ACE是等腰三角形
例3.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=4,AC=3,BD=4,求S梯形ABCD。
本题采用平移一条对角线的方法,把已知线段都归结到一个三角形中去延长BC至E点,使CE=AD,则ACED是平行四边形,∴AC=DE
又AD∥BC,∴S△ADB
1AD
DF,S△DCE
1CEDF
∴S△ADBS△DCE,∴S梯形ABCD
S△DBE
而BD=4,DE=AC=3,BE=BC+CE=5,∴△DBE是Rt△,
∴S△DBE
1BDDE
436
解:
延长BC至E点,使CE=AD,连DE
∵AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形,∴AC=DE=3
过D作DF⊥BC于F点,∵AD∥BC
∴S△ADB
DFS△DCE
CEDF
S△DCE,又S梯形ABCD
S△ADBS△BDC
∴S梯形
S△BDC
S△DCE
S△BDE
在△BDE中,∵BD=4,DE=3,BE=BC+CE=5
∴BD2
DE2
BE2,∴△BDE是直角三角形
∴S△BDE
4
6
DE
∴S梯形ABCD6
例4.如图,已知:
AD是△ABC边BC上的高线,E、F、G分别是BC、AB、AC的中点,求证:
四边形EDGF是等腰梯形。
在证明梯形时,不仅需要证明一组对边平行,而且需证明另一组对边不平行。
在△ABC中,∵F、G、E分别是AB、AC、BC的中点
∴FG∥BC,即FG∥ED,EF=1AC
在Rt△ADC中,∵G是斜边AC的中点,
∴DG=1AC,∴DG=EF
∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥AC
DG与AC相交,故在同一平面内,EF与DG所在直线相交即EF与DG不平行,∴四边形EDGF是梯形又EF=DG(已证)∴四边形EDGF是等腰梯形
例5.有一块梯形形状的土地,现要平均分给两个农民种植(即将梯形面积两等分),在图1和图
2中,试设计两种方案,并说明理由。
图1图2
本题是充分利用梯形的面积公式和梯形的性质
设梯形的上、下底的长分别为a、b,高为h,根据梯形的图形特征,现提供如下两种设计方案。
方案1:
如图3,连上、下底的中点
E、F
则S梯ABFES梯形EFCD
·
h
abh
图3
图4
方案2:
如图4,分别量出梯形上,下底
a,b的长,在下底
BC上截取BE=a
b,连AE,则
1a
ab
S△ABE
h
S梯形AECD
h,∴S△ABE
例6如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E为BC中点,BC=2AD,EA=ED=2,AC与ED交于点F.
(1)求证:
梯形ABCD是等腰梯形;
(2)当AB与AC具有什么位置关系时,四边形AECD是菱形?
请说明理由,并求出此时菱形AECD的面积.
解答:
∵AD∥BC,
∴∠DEC=∠EDA,∠BEA=∠EAD,
又∵EA=ED,
∴∠EAD=∠EDA,
∴∠DEC=∠AEB,
又∵EB=EC,
∴△DEC≌△AEB,
∴AB=CD,
∴梯形ABCD是等腰梯形.
(2)当AB⊥AC时,四边形AECD是菱形.证明:
∵AD∥BC,BE=EC=AD,
∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形.
∴AB=ED,∵AB⊥AC,
∴AE=BE=EC,
∴四边形AECD是菱形.过A作AG⊥BE于点G,
∵AE=BE=AB=2,
∴△ABE是等边三角形,∴∠AEB=60°
,
∴AG=3,
∴S菱形AECD=EC?
AG=2×
3=23。
点评:
此题考查了等腰梯形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及菱形的判定与性质.此题综合性较强,难度适中,注意数形结合思想的应用.
四、堂后测:
一、选择题
1.等腰梯形上、下底差等于一腰的长,那么腰长与下底的夹角是().
A.5
°
B.60°
C.45°
D.30°
2.等腰梯形的高是腰长的一半
则底角为(
).
A.30
B.45°
C.60°
D.90°
3.下列命题中,真命题是().
A.有一组对边平行,另一组对边相等的梯形是等腰梯形
B.有一组对角互补的梯形是等腰梯形
D.有两组邻角分别相等的四边形是等腰梯形
4.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD=6cm,BD=9cm,AB=8cm,E
的中点,那么四边形EFGH的周长是().
、F、G、H
分别是
AD、BD、BC、AC
A.14cm
B.15cm
C.16cm
D.17cm
图1
图2
5.如图2,等腰梯形
ABCD,周长为40,∠BAD=60°
BD平分∠ABC,则CD的长为(
A.4
B.5
C.8
D.10
6.下列四边形中,两条对角线一定不相等
的是(
...
A.正方形
B.矩形
C.等腰梯形
D.直角梯形
7.如图3,等腰梯形
ABCD中,AB∥DC,AD=BC=8,AB=10,CD=6,则梯形ABCD的面积是(
).
A.16
15
B.165
C.3215
D.1617
8.在下列图形中,沿着虚线将长方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形,又能拼成
三角形和梯形的是
9.在梯形
中,AB∥CD,AB>
,如果∠
D>
∠C,
那么
和BC
的关系是(
A.AD>
B.AD=BC
C.AD<
D.不能确定
10.腰梯形两底之差的一半等于它的高,那么此梯形的一个底角是()
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
二、填空题
11.直角梯形两底之差等于高,则其最大角等于_______.
12.如图4,四边形ABCD是等腰梯形,AD//BC,AB=CD,则AC=_______,
∠BAD=_____,∠BCD=_____,等腰梯形这个性质用文字语言可表述为_______.
13.
等腰梯形ABCD
中,对角线AC、BD相交
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