状元堂四年级奥数教材Word格式文档下载.docx
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10+3=13或16-3=13
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
例2:
先找出下列数排列的规律,然后在括号里填上适当的数。
1,2,4,7,(),16,22
在这列数中,前4个数每相邻的两个数的差依次是1,2,3。
由此可以推算7比括号里的数少4,括号里应填:
7+4=11。
经验证,所填的数是正确的。
应填的数为:
7+4=11或16-5=11
例3:
先找出规律,然后在括号里填上适当的数。
23,4,20,6,17,8,(),(),11,12
在这列数中,第一个数减去3的差是第三个数,第二个数加上2的和是第四个数,第三个数减去3的差是第五个数,第四个数加上2的和是第六个数¡
¡
依此规律,8后面的一个数为:
17-3=14,11前面的数为:
8+2=10
2、巩固训练
1.先找出下列各列数的排列规律,然后在括号里填上适当的数。
(1)2,6,10,14,(),22,26
(2)3,6,9,12,(),18,21
(3)33,28,23,(),13,(),3
(4)55,49,43,(),31,(),19
(5)3,6,12,(),48,(),192
(6)2,6,18,(),162,()
(7)128,64,32,(),8,(),2
(8)19,3,17,3,15,3,(),(),11,3
2.先找出下列数排列的规律,然后在括号里填上适当的数。
(1)10,11,13,16,20,(),31
(2)1,4,9,16,25,(),49,64
(3)3,2,5,2,7,2,(),(),11,2
(4)53,44,36,29,(),18,(),11,9,8
(5)81,64,49,36,(),16,(),4,1,0
(6)28,1,26,1,24,1,(),(),20,1
(7)30,2,26,2,22,2,(),(),14,2
(8)1,6,4,8,7,10,(),(),13,14
3、拓展提升
先找出规律,然后在括号里填上适当的数。
(1)1,6,5,10,9,14,13,(),()
(2)13,2,15,4,17,6,(),()
(3)3,29,4,28,6,26,9,23,(),(),18,14
(4)21,2,19,5,17,8,(),()
(5)32,20,29,18,26,16,(),(),20,12
(6)2,9,6,10,18,11,54,(),(),13,486
(7)1,5,2,8,4,11,8,14,(),()
(8)320,1,160,3,80,9,40,27,(),()
Ú
图形中的规律
我们通常会碰到一些图形,它们在某一方面,比如颜色,形状,大小,结构,位置或繁难等有些共同的特征或变化规律,你能通过观察找规律,并根据规律推断出结果吗?
例1.下面哪个图形和其他几个不一样,你能找出来吗?
题中几个图形的共同特征是:
先连接各边中点,组成一个复合图形。
所不同的是,B图形是一个三角形,而其他几个图形都是四边形,这样,只有B与其他几个不一样。
例2.找出下组图形中不同的项。
题中只有D图形不是由A翻转过来的,其他图形都是在同一个平面内通过把A图形旋转而得到的。
故不同的选项应该为D
例3.在下面图形中找出一个与众不同的.
(1)
(2)(3)(4)(5)
很容易看出题目图中
(1)逆时针旋转
就是(4),但是这样一来,
(2)、(3)、(5)都与它们不同了.题目上要求找出一个.所以放弃这种想法.
图
(2)顺时针旋转
且大、小两个矩形颜色互换一下就得到(5).而图
(1)与(3)的变化规律也是这样:
顺时针旋转
大小两部分颜色互换.因此
(1)与(3)配对,
(2)与(5)配对.
解:
与众不同的是题目图中的(4).
例4.依照下面图中所给图形的变化规律,在空格中填图.
我们分花盆、花茎、花叶、花朵四个部分逐步观察.
(1)花盆:
花盆的形状每一行都是由同样的三种形状组成,所以第三行所缺的形状便是应填的图案中的花盆形状;
花盆的颜色在同一行中都是由黑、白、灰(画有斜线)三色组成,图中第三行已有白、灰二色,所以应填的花盆为黑色(如下图
(1));
(2)花茎:
如同上面一样的分析.花茎的形状为鱼钩状,方向向右(如下图
(2));
(3)花叶:
花叶数量为两朵,方向是向左、右平展(如下图(3));
(4)花朵:
形状为圆形(如下图(4)).
(1)
(2)(3)(4)
解:
依照所给图形的变化规律,空格中应填的图形如图(4).
1.按顺序观察图5—2中图形的变化,想一想,按图形的变化规律,在带¡
°
?
”的空格处应画什么样的图形?
分析观察中,注意到图5—1中每行三角形的个数依次减少,而正方形的个数依次增多,且三角形的个数按4、3、X、1的顺序变化.显然X应等于2;
图5—2中黑点的个数从左到右逐次增多,且每一格(第一格除外)比前面的一格多两个点.事实上,本题中几何图形的变化仅表现在数量关系上,是一种较为基本的、简单的变化模式。
解:
在图5—2的¡
”处应是
2.请观察右图中已有的几个图形,并按规律填出空白处的图形。
分析首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所组成的;
其次,在所给出的图形中,我们发现各行、各列均没有重复的图形,而且所给出的图形中,只有圆、三角形和正方形三种图形.由此,我们知道这个图的特点是:
¢
仅由圆、三角形、正方形组成;
各行各列中,都只有一个圆、一个三角形和一个正方形。
因此,根据不重不漏的原则,在第二行的空格中应填一个三角形,而第三行的空格中应填一个正方形。
解略。
3.按顺序观察下图中图形的变化规律,并在¡
”处填上合适的图形.
分析显然,图(a)、图(b)中都是圆,而图(c)中却不是圆;
同时,图(a)、(c)中都有3个图形,而(b)中只有两个.由此可知:
图(a)到(b)的变化规律对应于图(c)到(d)的变化规律.再注意到图(a)到图(b)中图形在繁简、多少、位置几方面的变化,就容易得到图(d)中的图形了。
在上图的¡
”处应填如下图形.
4.下图中的图形是按一定规律排列的,请仔细观察,并在¡
”处填上适当的图形.
分析本题中,首先可以注意到每个图形都由大、小两部分组成,而且,大、小图形都是由正方形、三角形和圆形组成,图中的任意两个图形均不相同.因此,我们不妨试着把大、小图形分开来考虑,再一次观察后我们可以发现:
对于大图形来说,每行每列的图形决不重复。
因此,每行每列都只有一个大正方形,一个大三角形和一个大圆,对于小图形也是如此,这样,¡
”处的图形就不难得出。
图中,(b)、(f)、(h)处的图形分别应填下面的图甲、图乙、图丙.
小结:
对于较复杂的图形来说,有时候需要把图形分开几部分来单独考虑其变化规律,从而把复杂问题简单化。
(2)数字谜
小朋友们都玩过字谜吧,就是一种文字游戏,例如¡
空中码头¡
±
(打一城市名)。
谜底你还记得吗?
记不得也没关系,想想¡
空中¡
指什么?
天¡
。
这个地名第1个字可能是天。
码头¡
指什么呢?
码头又称渡口,联系这个地名开头是¡
字,容易想到¡
天津¡
这个地名,而¡
津¡
正好又是¡
渡口¡
的意思。
这样谜底就出来了:
天津。
算式谜又被称为¡
虫食算¡
,意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认,需要运用四则运算各部分之间的关系,通过推理判定被吃掉的数字,把算式还原。
主要指横式算式谜和竖式算式谜,其中未知的数字常常用¡
õ
、¡
÷
î
等图形符号或字母表示。
文字算式谜是前两种算式谜的延伸,用文字或字母来代替未知的数字,在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字,相同的数字或字母表示同一个数字。
文字算式谜也是最难的一种算式谜。
在数学里面,文字也可以组成许许多多的数学游戏,就让我们一起来看看吧。
横式字谜
1、例题与方法指导
例1¡
,¡
8,¡
97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字,可以使得这3个数的平均数是150。
那么所填的3个数字之和是多少?
150*3-8-97-5=340
所以3个数之和为3+4+5=12。
例2在下列算式的¡
中填上适当的数字,使得等式成立:
(1)6□□4÷
56=□0□,
(2)7□□8÷
37=□1□,
(3)3□□3÷
2□=□17,
(4)8□□□÷
58=□□6。
分析:
(1)6104/56=109
(2)7548/37=204
(3)3393/29=117
(4)8468/58=146
例3在算式40796÷
□□□=□99……98的各个方框内填入适当的数字后,就可以使其成为正确的等式。
求其中的除数。
40796/102=399...98。
例4我学数学乐¡
Á
我学数学乐=数数数学数数学学数学
在上面的乘法算式中,¡
我、学、数、乐¡
分别代表的4个不同的数字。
如果¡
乐¡
代表9,那么¡
我数学¡
代表的三位数是多少?
学=1,我=8,数=6,81619*81619=6661661161
例5¡
Â
(¡
)=24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数,使左边的数比右边的数小,并且等式成立。
这样,我们可以先用字母代替数字,原等式写成:
a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b,(a<
b<
c<
d)
当a=1时,有6*8/2=24,8*9/3=24;
当a=2时,有4*9/3=12,6*8/4=12,8*9/6=12;
所以,满足要求的等式有:
1÷
(2÷
6÷
8)=24,1÷
(3÷
8÷
9)=24,2÷
4÷
(4÷
8)=24,2÷
(6÷
9)=24。
例6①¡
=5□;
12+□-¡
=□,把1至9这9个数字分别填入上面两个算式的各个方框中,使等式成立,这里有3个数字已经填好。
分析:
根据第一个等式,只有两种可能:
7*8=56,6*9=54;
如果为7*8=56,则余下的数字有:
3、4、9,显然不行;
而当6*9=54时,余下的数字有:
3、7、8,那么,12+3-7=8或12+3-8=7都能满足。
2、训练巩固
1.迎迎¡
春春=杯迎迎杯,数数¡
学学=数赛赛数,春春¡
春春=迎迎赛赛
在上面的3个算式中,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字。
如果这3个等式都成立,那么,¡
迎+春+杯+数+学+赛¡
等于多少?
考察上面三个等式,可以从最后一个等式入手:
能够满足:
春春¡
春春=迎迎赛赛的只有88*88=7744,于是,春=8,迎=7,赛=4;
这样,不难得到第一个为:
77*88=6776,第二个为:
55*99=5445;
所以,迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。
2.迎+春¡
春=迎春,(迎+杯)¡
(迎+杯)=迎杯
在上面的两个横式中,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字。
那么¡
迎+春+杯¡
同样可以从第二个算式入手,发现满足要求的只有(8+1)*(8+1)=81,于是,迎=8;
这样,第一个算式显然只有:
8+9*9=89;
所以,迎+春+杯=8+9+1=18。
1.在下列各式的¡
中分别填入相同的两位数:
(1)5×
□=2□;
(2)6×
□=3□。
2.将3~9中的数填入下列各式,使算式成立,要求各式中无重复的数字:
(1)□÷
□=□÷
□;
(2)□÷
□>¡
3.在下列各式的¡
中填入合适的数字:
(1)448÷
□□=□;
(2)2822÷
□□=□□;
(3)13×
□□=4□6。
4.在下列各式的¡
中填入合适的数:
(1)□÷
32=8……31;
(2)573÷
32=¡
29;
(3)4837÷
□=74……27。
竖式字谜
例1在图4-1所示的算式中,每一个汉字代表一个数字,不同的汉字代表不同的数字.那么¡
喜欢¡
这两个汉字所代表的两位数是多少?
首先看个位,可以得到¡
欢¡
是0或5,但是¡
是第二个数的十位,所以¡
不能是0,只能是5。
再看十位,¡
是5,加上个位有进位1,那么,加起来后得到的¡
人¡
就应该是偶数,因为结果的百位也是¡
,所以¡
只能是2;
由此可知,¡
喜¡
等于8。
所以,¡
这两个汉字所代表的两位数就是85。
例2在图4-2所示的竖式中,相同的汉字表示相同的数字,不同的汉字表示不同的数字.如果:
巧+解+数+字+谜=30,那么¡
数字谜¡
所代表的三位数是多少?
还是先看个位,5个¡
谜¡
相加的结果个位还是等于¡
必定是5(0显然可以排出);
接着看十位,四个¡
字¡
相加再加上进位2,结果尾数还是¡
,那说明¡
只能是6;
再看百位,三个¡
数¡
可能是4或9;
再看千位,
(1)如果¡
为4,两个¡
解¡
相加再加上进位1,结果尾数还是¡
只能是9;
5+6+4+9=24,30-24=6,¡
巧¡
等于6与¡
等于6重复,不能;
(2)如果¡
为9,两个¡
只能是8;
5+6+9+8=28,30-28=2,可以。
所以¡
代表的三位数是965。
例3在图4-3所示的加法算式中,相同的汉字表示相同的数字,不同的汉字表示不同的数字.请把这个竖式翻译成数字算式.
首先万位上¡
华¡
=1;
再看千位,¡
香¡
只能是8或9,那么¡
就相应的只能是0或1。
但是¡
=1,所以,¡
就是0;
再看百位,¡
=0,那么,十位上必须有进位,否则¡
港¡
+“人¡
还是¡
由此可知¡
回¡
比¡
大1,这样就说明¡
不是9,百位向千位也没有进位。
于是可以确定¡
等于9的;
+“爱¡
=“港¡
要有进位的,而¡
大1,那么¡
爱¡
就等于8;
同时,个位必须有进位;
再看个位,两数相加至少12,至多13,即只能是5+7或6+7,显然¡
=5,¡
=6,¡
归¡
=7。
这样,整个算式就是:
9567+1085=10652。
例4图4-4是一个加法竖式,其中E,F,I,N,O,RS,T,X,Y分别表示从0到9的不同数字,且F,S不等于零.那么这个算式的结果是多少?
先看个位和十位,N应为0,E应为5;
再看最高位上,S比F大1;
千位上O最少是8;
但因为N等于0,所以,I只能是1,O只能是9;
由于百位向千位进位是2,且X不能是0,因此决定了T、R只能是7、8这两个;
如果T=7,X=3,这是只剩下了2、4、6三个数,无法满足S、F是两个连续数的要求。
所以,T=8、R=7;
由此得到X=4;
那么,F=2,S=3,Y=6。
所以,得到的算式结果是31486。
1.在图4-5所示的减法算式中,每一个字母代表一个数字,不同的字母代表不同的数字.那么D+G等于多少?
先从最高位看,显然A=1,B=0,E=9;
接着看十位,因为E等于9,说明个位有借位,所以F只能是8;
由F=8可知,C=7;
这样,D、G有2、4,3、5和4、6三种可能。
所以,D+G就可以等于6,8或10。
2.王老师家的电话号码是一个七位数,把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得9063,把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529.求王老师家的电话号码.
我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话号码。
由题意知,abcd+efg=9063,abc+defg=2529;
首先从第一个算式可以看出,a=8,从第二个算式可以看出,d=1;
再回到第一个算式,g=2,掉到第二个算式,c=7;
又回到第一个算式,f=9,掉到第二个算式,b=3;
那么,e=6。
所以,王老师家的电话号码是8371692。
3.将一个四位数的各位顺序颠倒过来,得到一个新的四位数.如果新数比原数大7902,那么在所有符合这样条件的四位数中,原数最大是多少?
用abcd来表示愿四位数,那么新四位数为dcba,dcba-abcd=7902;
由最高为看起,a最大为2,则d=9;
但个位上10+a-d=2,所以,a只能是1;
接下来看百位,b最大是9,那么,c=8正好能满足要求。
所以,原四位数最大是1989。
1.已知图4-6所示的乘法竖式成立.那么ABCDE是多少?
由1/7的特点易知,ABCDE=42857。
142857*3=428571。
2.某个自然数的个位数字是4,将这个4移到左边首位数字的前面,所构成的新数恰好是原数的4倍.问原数最小是多少?
由个位起逐个递推:
4*4=16,原十位为6;
4*6+1=25,原百位为5;
4*5+2=22,原千位为2;
4*2+2=10,原万位为0;
1*4=4,正好。
所以,原数最小是102564。
3.在图4-7所示的竖式中,相同的汉字表示相同的数字,不同的汉字表示不同的数字.则符合题意的数¡
迎春杯竞赛赞¡
是多少?
同第10题一样,也是利用1/7的特点。
因为每个字母代表不同的数字,因此¡
好¡
只有3和6可选:
好=3,则:
142857*3=428571;
好=6,则:
142857*6=857142;
两个都能满足,所以,符合题意的数¡
可能是428571或857142。
(3)定义新运算
定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。
它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号,例如¡
+、-、¡
、、>
、<
”等。
表示运算意义的表达式,通常是使用四则运算符号,例如a☆b=3a-3b,新运算使用的符号是¡
,而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。
正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义,严格按照规定的法则进行运算。
如果没有给出用字母表示的规则,则应通过给出的具体的数字表达式,先求出表示定义规则的一般表达式,方可进行运算。
值得注意的是:
定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质,所以,不能盲目地运用定律和运算性质解题。
例1.设ab都表示数,规定a△b表示a的4倍减去b的3倍,即a△b=4×
a-3×
b,试计算5△6,6△5。
解5△6-5×
4-6×
3=20-18=2
6△5=6×
4-5×
3=24-15=9
说明例1定义的¡
没有交换律,计算中不得将¡
前后的数交换。
例2.对于两个数a、b,规定a☆b表示3×
a+2×
b,试计算(5☆6)¡
7,5☆(6☆7)。
先做括号内的运算。
解(5☆6)¡
7=(5×
3+6×
2)¡
7=27☆7=27×
3+7×
2=95
5☆(6☆7)=5☆(6×
2)=5☆32=5×
3+32×
2=79
说明本题定义的运算不满足结合律。
这是与常规的运算有区别的。
例3.已知2△3=2×
3×
4,4△2=4×
5,一般地,对自然数a、b,a△b表示a×
(a+1)×
…(a+b-1).
计算(6△3)-(5△2)。
原式=6×
7--5×
6
=336-30
规定:
a△=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b-1),其中a,b表示自然数。
例4.求1△100的值。
已知x△10=75,求x.
(1)原式=1+2+3+…+100=(1+100)¡
100÷
2=5050
(2)原式即x+(x+1)+(x+2)+…+(X+9)=75,
所以
10X+(1+2+3+…+9)=75
10x+45=75
10x=30
x=3
1.若对所有b,a△b=a×
x,x是一个与b无关的常数;
a☆b=(a+b)÷
2,且(1△3)¡
3=1△(3☆3)。
2.如果规定:
Û
=2×
4,¢
Ü
=3×
4×
5,¢
Ý
=4×
5×
6,¡
,¢
á
=8×
9×
10,求¢
+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。
3、能力提升
(4)鸡兔同笼
鸡兔同笼问题是指鸡与兔同在一个笼中,已知鸡与兔的总头数以及鸡与兔的总足数,求鸡和兔各是多少只的应用题。
这种类型题是古代趣题,在现实生活和生产中应用广泛,有着十分重要的使用价值。
鸡兔问题,也叫简换问题。
解答时,一般采用假设法,即假定全部的只数都是鸡或者是兔,算出假定情况下的足数和
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