线面角求法总结文档格式.docx
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•CH即为SC在面ABC内的射影。
/SCH为SC与平面ABC所成的角。
sin/SCH=SH/SC
•SC与平面ABC所成的角的正弦值为V7/7
(“垂线”是相对的,SC是面SAB的垂线,又是面ABC的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理,其思路是:
先找出与已知平面垂直的平面,然后一面内找出或作出交线的垂线,则得面的垂线。
)
二利用公式sine=h/I
其中e是斜线与平面所成的角,h是垂线段的长,I是斜线段的长,其中求出垂线段的长(即斜线上的点到面的距离)既是关键又是难点,为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2(如图2)长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=3,BC=2,A1A=4,求AB与面AB1C1D所成的角。
设点B到AB1C1D的距离为h,
-VB-AB1C1=Va-BB1C1•1/3S^AB1C1h=1/3S^BB1C1AB,易得h=12/5
设AB与面AB1C1D所成的角为0,则sin0=h/AB=4/5
1图2
•••AB与面ABQiD所成的角为arcsin4/5
禾U用公式cosB=cos0icos02
(如图3)若OA为平面的一条斜线,0为斜足,0B为OA在面a内的射影,0C为面a
0i为0A与0B所成的角,
学们可自己证明),它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角(常称为最小角定理)
例3(如图4)已知直线0A,0B,0C两两所成的角为60°
求直线0A与面0BC所成的角的余弦值。
•••/A0B=/A0C•0A在面0BC内的射影在/B0C的平分线0D上,则
/A0D即为0A与面0BC所成的角,可知
/D0C=30,cosZA0C=cos/A0Dcos/D0C
•cos60°
=cos/A0Dcos30°
cos/A0D=V3/3•0A与面0BC所成的角的余弦值为V3/3。
一•课题:
直线和平面所成的角与二面角
(1)――线面角
2.教学目标:
1.掌握直线和平面所成角的概念;
2.理解并且掌握公式:
COS^-COS^iCOSl。
3.教学重点、难点:
直线和平面所成角的概念及COS)-COS^COSl的应用。
四•教学过程:
(一)复习:
1.直线和平面的位置关系;
(平行、相交和直线在平面内)
2•思考:
当直线a与平面〉的关系是=A时,如何反映直线与平面的相对位置关系呢?
(可以用实物来演示,显然不能用直线和平面的距离来衡量)
(二)新课讲解:
1.平面的斜线和平面所成的角:
已知,如图,AO是平面〉的斜线,A是斜足,OB垂直于平面:
-,B为垂足,则直线AB是
斜线在平面:
内的射影。
设AC是平面〉内的任意一条直线,且BC_AC,垂足为C,又设AO与AB所成角为哥,AB与AC所成角为*,AO与AC所成角为二,则易知:
|AB|=|A0|cos可,|AC|=|AB|cosr2AO|cos哥cosr又•••|AC|=|AO|cosr,
可以得到:
cost-cosycosv2,
、、亠宀Ji-n
注意:
二2,(0,)(若屯,则由三垂线定理可知,
22
Ji
0A_AC,即;
与“AC是平面:
内的任意一条直线,且
2
不相符)。
易得:
cosh:
:
:
cos弓又二,R•(0,5)即可得:
弓:
-
则可以得到:
(1)平面的斜线和它在平面内的射影所成角,是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角;
(2)斜线和平面所成角:
一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角,叫做斜线和平面所成角(或叫斜线和平面的夹角)。
说明:
1.若a,则规定a与〉所成的角是直角;
2•若all】或a:
•,则规定a与〉所成的角为0;
3•直线和平面所成角的范围为:
0-90;
4.直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值(COS:
-cos4COS)2)。
2.例题分析:
例1.如图,已知AB是平面〉的一条斜线,B为斜足,AO_:
0为垂足,BC为〉内
的一条直线,•ABC=60,•OBC=45,求斜线AB和平面〉所成角。
解:
•••AO_:
•,由斜线和平面所成角的定义可知,
又•••COS:
-COS^1cos^,
...cos.ABO=coSC
cos^CBO
BB1D1D所成的角。
例2•如图,在正方体AC1中,求面对角线AB与对角面〖解〗(法一)连结A1C1与B1D1交于O,连结OB,
DD1—A|C1,B1D1—AC1,.AO—平面BBD1D,
.A,BO是A,B与对角面BB1D1D所成的角,
1
在RtABO中,A1OA,BABO=30.
(法二)由法一得NABO是AB与对角面BBiDiD所成的角,
五•课堂练习:
课本第45页练习第1,2,3题;
第47页习题9.7的第1题。
六.小结:
1•线面角的概念;
2•COST-COS弓COSJ2及应用步骤:
亠弓门2在图形中所表示的角。
空间中的角主要包括两条异面直线所成的角;
直线和平面所成的角;
二俞角等.线面角:
平面的一条斜线和它在平面上的射影所咸的锐角叫做这条斜线和这个平面所履朗角*
恃别地,一直裁垂直于平酝,所成刖角是直角,一直线平行于平面或在平面內,所
、._,,「—.…7F
成角为0。
角.因此,直线和平面所成甬范围’[0,-]>
本文举例探讨线面角的两种求解策略+
线面角的常规解法是先找到直线在平酝內的射影』直线与其在这个平面內的射彭所成的角就是鮭面角•此时,犬多需宴过直绘上一点作平蔚的垂銭.
例1.正方体ABCD^EFGH的棱长为弘点P在AC上,Q在BG上且AP=BQ^ap求直线PQ与平面ABCD所成的角的正切值;
分析:
先作出FQ在面ABCD内的射駭由于面BFGC±
面ABCD,作QM±
眈于同则MP就是QP在面ABCD内的射影,ZQPM就是要求的角
作QM丄BC于M,连MP,JJ'
JZQMP就是直线PQ与平面ABCD所成的角则易得:
QM=』^a,MP=(jtanZQPM==>
/2+1.
22"
MP
解后反思:
求线面帝的常规解法是«
—作、二证、三求巴“作静是解题的关
二向量法
空间中的角大多那能用向墾方法求解•凡可建立坐标系的利甲向量求解更为简捷.直线和平面所成角的向章;
公式*直线a的方向向量和平面□的法向臺分别为牌和叽当m与用的夹角不大于时,直线a与平面u所成的角等于加与用夬角的余:
当冊与阵的夹甫大于92时,直线a与平面口所成的角等于稱2閤夹甫的互补的余角,所
QA直线赳的方向向重和平面口所履朗角日衙足:
Sin0=^-^.
k1-1^1
例2.如图,已知长方体ABCD^^BlC1I\,AB=2,A^=1,直线BD^平面A^B
的角.
解;
在长方体
\>
XAB所在的直线为忑轴,UZQ所在的直线为尹轴,曲]所在的直线为玄轴建立如图示空间直角坐标系,由已知AB=2iAAx=\t
可得妙ag⑵阿血iqi)
y.AD丄平面AA^B>从而8D与平面AA^B所履的莆为ZDEA二弓0J又
AB=2,4应丄月D,
・.m(o,迹・i)*二卫z);
=(a迹j),刃・Q=eJIii是平面edf的一33
个法向壘!
二泗<玄忑>=』以岂二壬®
L二<H,ADi>为锐角,二直线血与平面I^IxMAI35
BDF所成的註面第为arcsm(或兰-arccos"
W).
35235
解后反思:
求线面角的常规解法般一作、二证、三求耳很多同学感到棘手,难在不易找到所求的角,利用向量解袪可以避免"
■作和证匕只乘q下单纯的向量计算,而且有了固定的解题模式,复杂的空间角求解问题就可以非常简便地得到解决了.直线与平面所成的角0王要可以通过貢线的方向向壘与平面的法向壘的夹角禺求得』即sin9=|cos3|或cosB二乞in召.
例3在正四面体ABCD中,E为AD的中点,求CE与平面BUD咸的角.分析:
求线面角的关键在于找出斜线在平面內的射臺,即找垂面,肓了垂面即可在
垂面內作交线的垂线,即可作出,沸后转化到三角形中求解.
解法一取BC的中点F,连结AF、DF-丁正四面体ABCD,二BC丄AF.BC丄DF-\BC丄面AFD,
而HU0平面ECD,二面AFD丄面ECD过E作EH丄DF于H,
而DF0平面BCD,则EH丄面BCD则三ECH为CE与面BCD所感的角.
&
在RtACEH中,sinZECH=—.
3
即CE与平面BCD成的角?
iarcsin—.
解法二如图建立以三甬腿BCD的中心0为原点「ODQ直依氏为y轴,轴平行于BC.
设正四面郎ABCD册棱长为口j
则込密阳专0"
学还字
又因沟平蔚BCD的法向童为n=(0,C0)・
二即CE与平面BCD成的角&
满足:
sin&
=cos
烤||科3
本题利用两种育法求线面角.
线面角的求解有两种方法一种是几何法,另一种是向童法.
1.几何法一股要有三个歩骤.
(1)作图:
如上例中作出二面甬的平面珀及題中涉圧的有关图形等;
(2)证明:
证明所绪图形是符合题设要求的:
口)计算;
在证明的基础上计算得出结果.
2.向量法是把求角的间题转化为求两向量的夹第.遠里平蔚的法向量常用待定系数法求解,平酝的法向量是关键.
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