第十三讲 统筹优化问题Word格式.docx
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返回原地的小强与小红过桥后再返回,共用了2+1=3(分钟);
第三步:
最后小强与小蓉一起过桥用了2.5分钟;
所以,4个人都通过小木桥,最少用2.5+3+2.5=8(分钟).
【例2】(2000年小数报数学邀请赛)(难度系数:
★★)烙饼需要烙它的正、反面,如果烙熟一块饼的正、反面,各用去3分钟,那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼,至少需要多少分钟?
【前铺】
(奥数网备选题库)(难度系数:
★★)用一只平底锅煎饼,每次能同时放两个饼.如果煎1个饼需要2分钟(假定正、反面各需1分钟),问煎1993个饼至少需要几分钟?
问煎1994个饼至少需要几分钟?
如果只煎1个饼,显然需要2分钟;
如果煎2个饼,仍然需要2分钟;
如果煎3个饼,初学者看来认为至少需要4分钟:
因为先煎2个饼要2分钟;
再单独煎第3个饼,又需要2分,所以一共需要4分钟.但是,这不是最佳方案.最优方法应该是:
首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟;
其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟;
最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟;
这样总共只用3分钟就煎好了3个饼.
我们归纳出煎1、2、3个饼分别需要2、2、3分钟,我们可以继续往下分析,煎4个饼最少需要4分钟,煎5个饼需要3+2=5分钟,煎6个饼需要6÷
2×
2=6分钟,煎7个饼需要3+4÷
2=7分钟,那么煎1993个饼至少需要1993分钟,煎1994个饼至少需要1994分钟.
原题解答;
先将两块饼同时放人锅内一起烙,3分钟后两块饼都熟了一面,这时取出一块,第二块翻个身,再放人第三块,又烙了3分钟,第二块已烙熟取出,第三块翻个身,再将第一块放入烙另一面,再烙3分钟,锅内的两块饼均已烙熟.这样烙3块饼,用去9分钟,烙后21-3=18块饼,至少用去18÷
6=54(分钟),所以一共需要54+9=63分钟.如果烙22块饼,我们就无需考虑的那么复杂了,所用时间就是22÷
6=66分钟.
【例3】(06年国家公务员二类考卷)(难度系数:
★★★)某商店汽水做促销活动,规定每5个空瓶能换1瓶汽水.小强家买了80瓶汽水,喝完后再按规定用空瓶去换汽水,那么他们家前后最多能喝到多少瓶汽水?
(此题主要是让学生有兴趣把这个答案试出来,并明白可以借瓶的概念.)(03年国家公务员考试)(难度系数:
★★)小新和他的五个朋友去喝汽水,他们身上有12元,每瓶汽水3元,每三个空汽水瓶可以换一瓶汽水,请问怎样才能每人喝到一瓶汽水?
12元可以买4瓶汽水,用其中3个空瓶换1瓶汽水,加上剩下的1个空瓶,再向卖汽水的借一个空瓶,用这3个空瓶再换一瓶.喝完后再把这个空瓶还了!
4+1+1=6瓶.
原题解答:
(法1)我们按照实际换汽水过程分析:
喝掉80瓶汽水,用80个空瓶换回16瓶汽水;
喝掉16瓶汽水,用16个空瓶换回3瓶汽水余1个空瓶;
喝掉3瓶汽水,连上次余下的1个空瓶还剩4个空瓶.此时,再借1个空瓶,与剩下的4个空瓶一起又可换回1瓶汽水,喝完后将空瓶还了.
所以,他们家前后最多能喝到汽水:
80+16+3+1=100(瓶).
以上方法正确运用“5个空瓶可换1瓶汽水”这个条件,特别是最后一次换瓶的技巧,你不充分利用可就“吃亏了”!
但如果一开始瓶数很多,那么这个换的过程就会很长.有没有简便的算法呢?
(法2)注意到“每5个空瓶可换一瓶汽水”(连汽水带瓶)这个条件,可知每4个空瓶就能换到一瓶汽水(不带瓶),那么喝剩的80个空瓶共能换到20瓶汽水,所以小强家前后共能喝到80+20=100(瓶)汽水.综合式是80+80÷
(5-1)=100(瓶)。
(法3)每4个空瓶就能换到1瓶汽水(不带瓶),即1个空瓶能换
瓶汽水,那么买1瓶汽水实际能喝到(1+
)瓶汽水,因此他家前后共能喝到80×
(1+
)=100瓶汽水.
【例4】(07年希望六年级杯培训试题改编)(难度系数:
★★★)学校师生1140人外出参观,计划每人发2瓶汽水,商店规定每6个空汽水瓶可以换1瓶汽水,老师最少买多少瓶汽水,合理筹划,回收空瓶换汽水后,可以保证每人按计划喝到汽水?
每6个空瓶就能换到1瓶汽水,即每5个空瓶就能换到1瓶汽水(不带瓶),即1个空瓶能换
瓶汽水,那么买一瓶汽水实际能喝到(1+
)瓶汽水,因此需要买1140×
2÷
)=1900(瓶)汽水.
【例5】
(奥数网习题库)(难度系数:
★★★)有十个村庄,座落在从县城出发的一条公路上,现要安装水管,从县城供各村自来水.可以用粗、细两种水管,粗管每千米7000元,细管每千米2000元.粗管足够供应所有各村用水,细管只能供应一个村用水,各村与县城间距离如右图所示(图中单位是千米),现要求按最节约的方法铺设,总费用是多少?
由于细管相对于粗管来讲,价钱要少一些,因此先假设都用细管.那么从县城到A1村要铺设10根细管,A1村到A2村要铺设9根细管,依次下去,我们用图表示铺细管的情况.
因为粗管每千米7000元,细管每千米2000元,所以4根细管的价钱将大于1根粗管的价钱.这样一来,凡是超过3根细管的路段,都应改铺粗管.
因此,从县城到A7村铺1根粗管,A7村到A8村铺3根细管,A8村到A9村铺2根细管,A9村到A10村铺1根细管.总费用为:
7000×
(30+5+2+4+2+3+2)+2000×
(2×
3+2×
2+5×
1)=366000(元).
类型Ⅱ:
沙漠探险
【例6】
★★★★)有5位探险家计划横穿沙漠.他们每人驾驶一辆吉普车,每辆车最多能携带可供一辆车行驶315千米的汽油。
显然,5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠。
于是,他们计划在保证其余车安全返回出发点的前提下,让一辆车穿越沙漠。
当然,实现这一计划需要几辆车相互借用汽油。
问:
穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠?
如右图所示,5辆车从A点一起出发,到B点时第1辆车留下够自己返回A点的汽油,剩下的汽油全部转给其余4辆车,注意,B点的最佳选择应满足刚好使这4辆车全部加满汽油;
剩下的4辆车继续前进,到C点时第2辆车留下够自己返回A点的汽油,剩下的汽油全部转给其余3辆车,使它们刚好加满汽油;
剩下的3辆车继续前进……到E点时,第4辆车留下返回A点的汽油,剩下的汽油转给第5辆车.此时,第5辆车是加满汽油的,还能向前行驶315千米.
以这种方式,第5辆车能走多远呢?
我们来算算.
5辆车到达B点时,第1辆车要把另外4辆车消耗掉的汽油补上,加上自己往返AB的汽油,所以应把行驶315千米的汽油分成6份,2份供自己往返AB,4份给另外4辆车每辆加l份,刚好使这4辆车都加满汽油.AB长为:
315÷
6=52.5(千米);
4辆车从B点继续前进,到达C点时,4辆车共消耗掉4份(BC)汽油,再加上第2辆车从C经B返回A,所以第2辆车是把汽油分成:
5份BC+1份AB=315(千米),由上可知6份AB=315(千米),所以AB=BC,也就是说第2辆车仍是把汽油分成6份,3份供自己从B到C,再从C返回A,3份给另外3辆车加满汽油,由此知BC长也是52.5千米.
同理,CD=DE=52.5(千米).
所以第5辆车最远能行驶52.5×
4+315=525(千米).
一般地,如果有n(n>
1)辆相同的汽车,每辆车带的油都恰好够行驶s千米的路程,其它条件不变,那么第1辆车行驶
千米返回,在最后一辆车“冲刺”之前,最后一辆车已行驶了(n-1)个
千米,所以最后一辆车能行驶:
这个问题解决的很完美.但是,这是基于汽油只能由汽车携带,不能留在途中供返回的汽车使用这个前提.如果允许将汽油留在途中供返回的汽车使用,情况就大不相同了.可参看附加2.
【例7】(奥数网习题库)(难度系数:
★★★★)甲乙两个人要到沙漠中探险,他们每天向沙漠深处走20千米,已知每人最多可带一个人24天的食物和水,如不允许将部分食物放于途中,那么其中一个人最多可以深入沙漠多少千米?
(要求最后两人都回到出发点)
(法一):
利用上例思路解答,所以可以往前行走16天的路程.
(法二):
可以设走了x天后,乙把食物补给甲,此时乙还需预留x天的食物,所以乙还能补给甲(24-2x)天的食物。
而甲此时也已消耗掉了x天的食物,为了给甲补满,所以需要:
24-2x=x,可得x=8,剩下的24天食物,B只能再向前走8天,留下16天的食物供返回时用.故B可以向沙漠深处走16天.
类型Ⅲ:
排队问题
【例8】(07年希望杯六年级培训试题)(难度系数:
★★★)理发室里有甲、乙两位理发师,同时来了五位顾客,根据他们所要理的发型,分别需要10,12,15,20和24分钟.怎样安排他们的理发顺序,才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少?
最少要用多少时间?
★★)5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水,他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟.如果只有一个水龙头,试问怎样适当安排他们的打水顺序,才能使每个人排队和打水时间的总和最小?
并求出最小值.
5个人排队一共有5×
4×
3×
1=120种顺序,把所有情形的时间总和都计算出来,就太繁琐了.我们不妨先来看一个简单的例子:
小新理发用10分钟,妈妈烫发用240分钟,只有一个理发师,那么怎样使两个人等待的时间总和最少?
很容易我们就知道,要让用时较短的人先理发比较合理.同样对于本例题,把打水需1分钟的人排在第一位置所费总时间最省.其次,再将打水需2分钟的人调整到第二位置;
将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到第三、四、五位.所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队,所费时间最省.这样得出5人排队和打水时间总和的最小值是:
1×
5+2×
4+3×
3+4×
1=35(分钟).教师在此刻多多举例联系,让学生在充分理解的基础上准确计算出时间总和的最小值.
一人理发时,其他人需等待,为使总的等待时间尽量短,应让理发所需时间少的人先理.甲先给需10分钟的人理发,然后15分钟的,最后24分钟的;
乙先给需12分钟的人理发,然后20分钟的.甲给需10分钟的人理发时,有2人等待,占用三人的时间和为(10×
3)分;
然后,甲给需15分钟的人理发,有1人等待,占用两人的时间和为(15×
2)分;
最后,甲给需24分钟的人理发,无人等待.甲理发的三个人,共用(10×
3+15×
2+24)分,乙理发的两个人,共用(12×
2+20)分。
总的占用时间为(10×
2+24)+(12×
2+20)=128(分).
按照上面的安排,从第一人开始理发到五个人全部理完,用了10+15+24=49(分).如果题目中再要求从第一人开始理发到五人全部理完的时间最短,那么做个调整,甲依次给需10,12,20分钟的人理发,乙依次给需15,24分钟的人理发,总的占用时间仍是128分钟,而五人全部理完所用时间为10+12+20=42(分).
【例9】(101培训试题)(难度系数:
★★★★)车间里有五台车床同时出现故障,已知第一台到第五台修复时间依次为18,30,17,25,20分钟,每台车床停产一分钟造成经济损失5元.现有两名工作效率相同的修理工,
(1)怎样安排才能使得经济损失最少?
(2)怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短?
(1)一人修17、20、30,另一人修18、25;
最少的经济损失为:
5×
(17×
3+20×
2+30+18×
2+25)=910(元).
(2)因为(18+30+17+25+20)÷
2=55(分),经过组合,一人修需18,17和20分钟的三台,另一人修需30和25分钟的两台,修复时间最短,为55分钟.
类型Ⅳ:
场地设置问题
【例10】(奥数网习题库)(难度系数:
★★★)有2005名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规,问完成任务后应该在公路的什么地点集合,可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小?
【前铺1】
(首师附中培训测试题)(难度系数:
★★)如右图,在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼,现在设立一个邮筒,为使五栋楼的居民到邮筒的距离之和最短,邮局应立于何处?
条件中只有五个楼的名字和排列顺序,楼与楼的距离也不确定.那么我们先来分析一下A、E两个点,不论这个邮筒放在AE之间的那一点,A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度.也就是说邮筒放在哪儿不会影响这两个点到邮筒的距离之和.那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短,再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和小,应把邮筒放在BD之间.同理,只要是在BD之间,B、D到邮筒的距离之和也是不变的,等于BD.最后,只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了.那么当然也就是把邮筒放在C点了.这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”.
【前铺2】
(交大附中培训试题)(难度系数:
★★)如右图,道路上有8个幼儿园,现在要在道路上建造一个送奶站,为使送奶站到8个幼儿园的距离和最短,送奶站应建在哪个幼儿园?
找最中间的那个幼儿园,可这时最中间的幼儿园有两个,这该怎么办呢?
其实经过研究发现,建在这两个幼儿园都一样,路程和最短,所以可以建在D或E.如果我们只要求建在这条道路上的一点即可,那么DE之间及点D、E均可.
向中心靠拢的思想,当有偶数(2n)个人时,集合地点应选在中间一段AnAn+1之间的任何地点(包括An和An+1点);
当有奇数(2n+1)个人时,集合地点应选在正中间岗位An+1点.本题有2005=2×
1002+1(奇数)个人,因此集合地点应选在从某一端数起第1003个岗位处.
【例11】
(人大附中分班考试题)(难度系数:
★★★)在一条公路上,每隔10千米有一座仓库(如右图),共有五座,图中数字表示各仓库库存货物的重量.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里,如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元,那么集中到哪个仓库运费最少?
这道题可以用“小往大处靠”的原则来解决.E点60吨,存的货物最多,那么先处理小势力,A往E那个方向集中,集中到B,B变成40吨,判断仍是E的势力最大,所以继续向E方向集中,B点集中到C点,C点变成60吨.此时C点和E点都是60吨,那么C、E谁看成大势力都可以.例如把E点集中到D点,D点是70吨.所以C点也要集中到D点.确定了集中地点,运输费用也就容易求了.运费最少为:
(10×
30+30×
20+20×
10+60×
10)×
0.9=1530(元).
我们从中可以发现:
对于集中货物的问题,集中到何处起决定作用的是货物的重量,而至于距离,仅仅只是为了计算.
【巩固】
(04年我爱数学夏令营试题)(难度系数:
★★)一条直街上有5栋楼,从左到右编号为1,2,3,4,5,相邻两楼的距离都是50米.第1号楼有1名职工在A厂上班,第2号楼有2名职工在A厂上班……,第5号楼有5名职工在A厂上班.A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班,为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小,车站应建在距1号楼多少米处?
如图所示,“小往大处靠”的原则来解决,故应建在4号楼的位置,距1号楼150米处.
【例12】
(三帆中学分班考试)(难度系数:
★★★)有七个村庄A1,A2,…,A7分布在公路两侧(见右图),由一些小路与公路相连,要在公路上设一个汽车站,要使汽车站到各村庄的距离和最小,车站应设在哪里?
本题可简化为“B,C,D,E,F处分别站着1,1,2,2,1个人(见右图),求一点,使所有人走到这一点的距离和最小”.显然D、E最大,靠拢完的结果变成了D=4,E=3,所以车站设在D点.
附加题目
.
【附1】
(01年小数报数学邀请赛)(难度系数:
★★)青少年科技活动中心工地上,有一批废旧建筑材料和垃圾需要清理并运离现场,由两位货车司机小王和小李负责清理、运输.两人同时清理废旧建筑材料需2小时;
两人同时清理垃圾需0.5小时;
货车将垃圾运送郊区,往返需3小时,货车将废旧建筑材料运送收购站,往返需1小时.小王和小李完成这项清理、运输工作返回工地最少需几小时?
请你设计出一个最佳方案(垃圾与建材均不超过1车,装车时间不计).
两人先同时清理垃圾,用0.5小时;
然后两人同时清理废旧建筑材料1小时;
最后,一人运送垃圾用3小时,另一人继续清理废旧建筑材料2小时,再用1小时运送废旧建筑材料.这样共用:
0.5+1+3=4.5(小时).
【附2】如果允许将汽油留在途中供返回的汽车使用,【例5】中其他条件都不变,那穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠?
如右图所示,5辆车从A点一起出发,到B点时,第l辆车给其它车辆加满汽油,并且在B处留下供3辆车从B返回A的汽油,然后自己返回A.注意,此时后4辆车都已加满了汽油,并且无“后顾之忧”,即有了从B返回A的汽油,所以后面的问题相当于有4辆车,让一辆车走的尽量远,另3辆车返回B.同理,
到C点时变成3辆车的情况,到D点时变成2辆车的情形,到E点时变成1辆车的情形.
【附3】
(06年希望杯一试)(难度系数:
★★★)有一位探险家,计划用6天的时间徒步横穿沙漠,如果搬运工人和探险家每人最多只能携带1个人四天所需的食物和水,那么这个探险家至少要雇用多少名工人?
利用公式:
,其中s=4,
=6,解得n=3,所以要雇佣3-1=2(名)工人.当然这道题目对于孩子们最简单的办法是试着分析出答案,这里主要强调学生对规律总结的理解应用,但同时请注意条件的变化.
【附4】
★★)甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件,各零件加工所需要的时间分别为4,5,6,6,8,9,9分钟,三人同时开始工作.问:
加工完七个零件最少需要多长时间?
按照需要加工的时间,我们可以把七个零件大体分成3组,因为4+5+6+6+8+9+9=47.
那么可知不论怎么组合,都必然出现有一组的时间是17.例如:
(4+5+6),(6+9),(8+9)
或(4+6+6),(5+9),(8+9)或(4+5+8),(6+9),(6+9).所以加工完最少需要17分钟.
【附5】
★★★★)某乡共有六块麦地,每块麦地的产量如右图.试问麦场设在何处最好?
(运输总量的千克千米数越小越好.)
依据“小往大靠”,“支往干靠”.我们不妨以F-E-C-D为干,,显然麦场设在C点.当然你以其他路经为干,都会的到同样结果.譬如:
若以F-E-C-A为干,那么依据“支往干靠”,D就靠到C,B移到G,当作“干”上一成员.
练习十三
1.1元钱一瓶汽水,喝完后6个空瓶换一瓶汽水,问:
你有20元钱,最多可以喝到几瓶汽水?
24瓶.
2.有一个水塔要供应某条公路旁的A~F六个居民点用水(见右图,单位:
千米),要安装水管,有粗细两种水管,粗管足够供应6个居民点用水,细管只能供应1个居民点用水,粗管每千米要7000元,细管每千米要2000元,粗细管怎样互相搭配,才能使费用最省?
费用应是多少?
从水塔到C点铺粗管,最后三个居民点铺细管,总费用为297000元。
提示:
当长度相同时,四根细管的费用超过一根粗管,所以最后三个居民点用细管.
3.有一位探险家,徒步横穿沙漠,如果搬运工人和探险家每人最多只能携带1个人四天所需的食物和水,这个探险家雇用了2名工人,那么他最远可以走几天?
6天.
4.右图是A,B,C,D,E五个村之间的道路示意图,○中数字是各村要上学的学生人数,道路上的数表示两村之间的距离(单位:
千米)。
现在要在五村之中选一个村建立一所小学。
为使所有学生到学校的总距离最短,试确定最合理的方案.
“小往大处靠”的原则来解决,A点向C点集中,因为根据“小往大处靠”的原则,虽然A点40人比C点20人多,但是人最多的点是E点,所以大方向是向E点的方向靠拢。
那么B点当然也要向C点靠拢。
C点就有80人了.此时人数最多的点变成了C点了.D、E又变成小势力了,因此还是“小往大处靠”的原则,看大方向,E点要向D点靠拢.此时D点变成85人了。
那么D点比此时C点的80人多了.C点又变成小势力了.所以最终要集中在D点.也就是学校要设在D点.
5.车间里有5台车床同时出现故障。
已知第一台至第五台修复的时间依次为15,8,29,7,10分钟,每台车床停产一分钟造成经济损失5元。
(1)如果只有一名修理工,那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少?
(2)如果有两名修理工,那么修复时间最少需多少分钟?
(1)780元;
(2)36分。
(1)按修复时间需7,8,10,15,29分的顺序修理;
(2)一人修需7分和29分的,另一人修需8,10,15分的.
6.设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水,设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟,注满第二个人的桶需要2分钟,…….如此下去,当只有两个水龙头时,巧妙安排这十个人打水,使他们总的费时时间最少.这时间等于多少分钟?
最短时间为(1+2)×
5+(3+4)×
4+(5+6)×
3+(7+8)×
2+(9+10)×
1=125分钟.
7.在一条公路上每隔100千米,有一个仓库(如图)共有5个仓库,一号仓库存有10吨货物,二号仓库有20吨货物,五号仓库存有40吨货物,其余两个仓库是空的。
现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里,如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费,那么最少要多少运费才行?
做此类问题时我们都可以根据“小往大处靠”的原则进行判断,观察可知五
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- 第十三讲 统筹优化问题 第十 三讲 统筹 优化 问题
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