人教A版高中数学必修四模块综合评价.docx
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人教A版高中数学必修四模块综合评价
模块综合评价
(时间:
120分钟 满分:
150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)
1.已知平面向量a与b的夹角等于,若|a|=2,|b|=3,则|2a-3b|=( )
A. B.
C.57D.61
解析:
由题意可得a·b=|a|·|b|cos=3,所以|2a-3b|====.
答案:
B
2.已知角α的终边经过点P(4,-3),则2sinα+cosα的值等于( )
A.-B.
C.D.-
解析:
因为α的终边过点P(4,-3),
所以x=4,y=-3,r=|OP|=5,
所以sinα==,cosα=,
所以2sinα+cosα=2×+=-.
答案:
D
3.下列各向量中,与a=(3,2)垂直的是( )
A.(3,-2)B.(2,3)
C.(-4,6)D.(-3,2)
解析:
因为(3,2)·(-4,6)=3×(-4)+2×6=0.
答案:
C
4.要得到函数y=3sin的图象,只需将函数y=3sin2x的图象( )
A.向左平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向右平移个单位
解析:
因为y=3sin=3sin,所以由y=3sin2x的图象向左平移个单位可得y=3sin的图象.
答案:
C
5.已知向量a=(2cosφ,2sinφ),φ∈,b=(0,-1),则a与b的夹角为( )
A.φB.-φ
C.+φD.-φ
解析:
|a|==2,|b|=1,a·b=-2sinφ,设a与b的夹角为θ,则cosθ===-sinφ=sin(-φ)=
cos,即cosθ=cos,且-φ∈,所以θ=-φ.
答案:
D
6.(2015·广东卷)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
A.y=x+sin2xB.y=x2-cosx
C.y=2x+D.y=x2+sinx
解析:
A项,定义域为R,f(-x)=-x-sin2x=-f(x),为奇函数,故不符合题意;B项,定义域为R,f(-x)=x2-cosx=f(x),为偶函数,故不符合题意;C项,定义域为R,f(-x)=2-x+=2x+=f(x),为偶函数,故不符合题意;D项,定义域为R,f(-x)=x2-sinx,-f(x)=-x2-sinx,因为f(-x)≠-f(x),且f(-x)≠f(x),故为非奇非偶函数.
答案:
D
7.如果点P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,那么角θ所在的象限是( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析:
因为点P位于第三象限,
所以所以
所以θ在第二象限.
答案:
B
8.将函数y=sinx的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.y=f(x)是奇函数
B.y=f(x)的周期为π
C.y=f(x)的图象关于直线x=对称
D.y=f(x)的图象关于点对称
解析:
由题意得y=f(x)=sin=cosx,显然A,B,C均错误,只有D正确.
答案:
D
9.(2015·课标全国Ⅰ卷)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
解析:
由图象知,周期T=2=2,
所以=2,所以ω=π.
由π×+φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,
所以f(x)=cos.
由2kπ<πx+<2kπ+π,得2k- 所以f(x)的单调递减区间为,k∈Z. 答案: D 10.先令函数y=cosx的图象上各点纵坐标不变,横坐标变为原来的,再把图象沿x轴向左平移个单位,则所得图象对应的函数表达式为( ) A.y=sin2xB.y=-sin2x C.y=cosD.y=cos 解析: 第一步变换后所得函数表达式是y=cos2x,第二步变换后所得函数表达式是y=cos=cos=-sin2x. 答案: B 11.函数y=3sin的单调递增区间是( ) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析: 由题意可得y=-3sin,由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以原函数的单调递增区间是(k∈Z). 答案: C 12.化简cos2-cos2=( ) A.-sinxB.sinx C.-cosxD.cosx 解析: cos2-cos2= . = ·= ·= sin·sinx=sin·sinx= -sin·sinx=-sinx. 答案: A 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.设sin2α=-sinα,α∈,则tan2α的值是________. 解析: 因为sin2α=-sinα,所以2sinαcosα=-sinα. 因为α∈,sinα≠0, 所以cosα=-. 又因为α∈,所以α=π, 所以tan2α=tanπ=tan=tan=. 答案: 14.(2014·陕西卷)设0<θ<,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),若a∥b,则tanθ=________. 解析: 因为a∥b,所以sin2θ×1-cos2θ=0, 所以2sinθcosθ-cos2θ=0,因为0<θ<,所以cosθ>0,所以2sinθ=cosθ,所以tanθ=. 答案: 15.(2015·天津卷)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则·的值为________. 解析: 取,为一组基底,则=-=-,=++=-++=-+, 所以·=·= ||2-·+||2= ×4-×2×1×+=. 答案: 16.(2015·天津卷)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为________. 解析: f(x)=sinωx+cosωx=sin, 因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称, 所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z. 又ω-(-ω)≤,即ω2≤,所以ω2=,所以ω=. 答案: 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知|a|=1,|b|=,a与b的夹角为θ. (1)若a∥b,求a·b; (2)若a-b与a垂直,求θ. 解: (1)因为a∥b,所以θ=0°或180°, 所以a·b=|a||b|cosθ=±. (2)因为a-b与a垂直, 所以(a-b)·a=0,即|a|2-a·b=1-cosθ=0, 所以cosθ=. 又0°≤θ≤180°,所以θ=45°. 18.(本小题满分12分)已知角α的终边过点P. (1)求sinα的值; (2)求式子·的值. 解: (1)因为|OP|==1, 所以点P在单位圆上, 由正弦函数定义得sinα=-. (2)原式=·==, 由 (1)得sinα=-,P在单位圆上, 所以由已知条件得cosα=. 所以原式=. 19.(本小题满分12分)如图所示,在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点. (1)若A,B两点的纵坐标分别为,,求cos(β-α)的值; (2)已知点C是单位圆上的一点,且=+,求和的夹角θ. 解: (1)设A,B,则x+=1,又x1>0,所以x1=,所以A. x+=1,又x2<0,所以x2=-, 所以B. 所以sinα=,cosα=,sinβ=,cosβ=-, 所以cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα= ×+×=. (2)根据题意知||=1,||=1,||=1,又=+, 所以四边形CAOB是平行四边形. 又||=||,所以▱CAOB是菱形, 又||=||=||,所以△AOC是等边三角形, 所以∠AOC=60°,所以∠AOB=120°, 即与的夹角θ为120°. 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cosx·sin-sin2x+sinx·cosx. (1)当x∈时,求f(x)的值域; (2)用“五点法”在下图中作出y=f(x)在闭区间上的简图; (3)说明f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到? 解: f(x)=2cosx·sin-sin2x+sinxcosx= 2cosx-·sin2x+sinxcosx=sin2x+cos2x=2sin. (1)因为x∈,所以≤2x+≤, 所以-≤sin≤1,所以当x∈时,f(x)的值域为[-,2]. (2)由T=,得T=π,列表: x - 2x+ 0 π 2π 2sin 0 2 0 -2 0 图象如图. (3)法一: 由以下变换可得f(x)的图象: 先将y=sinx的图象向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标缩短到原来的,最后将纵坐标伸长为原来的2倍. 法二: 由以下变换可得f(x)的图象: 先将y=sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的,再将图象向左平移个单位,最后将纵坐标伸长为原来的2倍. 21.(本小题满分12分)(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈. (1)若m⊥n,求tanx的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值. 解: (1)若m⊥n,则m·n=0. 由向量数量积的坐标公式得sinx-cosx=0, 所以tanx=1. (2)因为m与n的夹角为,所以m·n=|m|·|n|cos, 即sinx-cosx=, 所以sin=. 又因为x∈,所以x-∈, 所以x-=,即x=. 22.(2015·重庆卷)(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最小值; (2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.当x∈时,求g(x)的值域. 解: (1)f(x)=sin2x-cos2x=sin2x-(1+cos2x)=sin2x-cos2x-=sin-, 因此f(x)的最小正周期为π,最小值为-. (2)由条件可知g(x)=sin-. 当x∈时,有x-∈, 从而y=sin的值域为, 那么y=sin-的值域为. 故g(x)在区间上的值域是.
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- 人教 高中数学 必修 模块 综合 评价