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x;
两个函
2
数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线
8.几个函数方程的周期(约定a>
0)
x对称.
(1)f(x)f(xa),则f(x)的周期T=a;
1
(2),(()0)
f(xa)fx,或
f(x)
9.分数指数幂
f(xa)
(f(x)0),则f(x)的周期T=2a;
m
n
nm
a
(a0,m,nN,且n1).
(2)a
(1)a(a0,m,nN,且n1).
10.根式的性质
naa.
(2)当n为奇数时,nana;
当n为偶数时,
(1)()
11.有理指数幂的运算性质
nna,a0
a|a|
a,a0
.
rsrsrsrsrrr
(1)(0,,)
aaaarsQ.
(2)(a)a(a0,r,sQ).(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).
12.指数式与对数式的互化式log
b
aNbaN(a0,a1,N0)
①.负数和零没有对数,②.1的对数等于0:
loga10,③.底的对数等于1:
logaa1,
M
④.积的对数:
MNMN
loga()loglog,商的对数:
logalogMlogN,
aaaa
N
nnn
幂的对数:
MnM
logalog;
b
logba
amlog
13.对数的换底公式
logN
log
(a0,且a1,m0,且m1,N0).
推论loglog
bb
(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).
15.
s,n1
ss,n2
nn1
(数列{}
a的前n项的和为sna1a2an).
16.等差数列的通项公式
*
aa1(n1)ddna1d(nN);
其前n项和公式为
(1)
naan(n1)
sna1d
22
d1
n(ad)n.
17.等比数列的通项公式
n11n*
aa1qq(nN)
q
;
其前n项的和公式为
a(1q)
s1q
q1
或
s
aaq
1n
1q
q1
na,q1
18.同角三角函数的基本关系式
sincos1,tan=
sin
cos
19正弦、余弦的诱导公式
sin()
2
(1)sin,
n1
(1)cos,
(n为偶数)
(n为奇数)
20和角与差角公式sin()sincoscossin;
cos()coscossinsin;
tan()
tantan
1tantan
asinbcos=
22sin()
ab(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tan
).
21、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴sin22sincos.
⑵
2222
cos2cossin2cos112sin(
21cos2
,
).
⑶tan2
2tan
1tan
.
22.三角函数的周期公式
函数ysin(x),x∈R及函数ycos(x),x∈R(A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期
T;
函数ytan(x),xk,kZ(A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期T.
223.正弦定理
abc
sinAsinBsinC
24.余弦定理
2R
2222cos
abcbcA;
bcacaB;
cababC.
25.面积定理
111
SabsinCbcsinAcasinB
(2).
222
26.三角形内角和定理
在△ABC中,有ABCC(AB)
27.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么
CAB
2C22(AB).
(1)结合律:
λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:
(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律:
λ(a+b)=λa+λb.
28.向量的数量积的运算律:
(1)a·
b=b·
a(交换律);
(2)(a)·
b=(a·
b)=a·
b=a·
(b);
(3)(a+b)·
c=a·
c+b·
c.
30.向量平行的坐标表示
设a=(x,y),b=(x2,y2),且b0,则ab(b0)x1y2x2y10.
11
31.a与b的数量积(或内积)a·
b=|a||b|cosθ.
32.数量积a·
b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
33.平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x,y),b=(x2,y2),则a+b=(x1x2,y1y2).
(2)设a=
(x,y),b=(x2,y2),则a-b=(x1x2,y1y2).
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1).
(4)设a=(x,y),R,则a=(x,y).
(5)设a=
(x,y),b=(x2,y2),则a·
b=(x1x2y1y2).
xxyy
34.两向量的夹角公式1212
xyxy
1122
(a=
(x,y),b=(x2,y2)).
35.平面两点间的距离公式dA,B=|AB|ABAB
(xx)(yy)(A(x1,y1),B(x2,y2)).
2121
36.向量的平行与垂直
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b0,则
A||bb=λax1y2x2y10.
ab(a0)a·
b=0
x1x2y1y20.
37.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是
xxxyyy
123123
G(,).
33
设O为ABC所在平面上一点,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则
(1)O为ABC的外心
OAOBOC.
(2)O为ABC的重心OAOBOC0.
(3)O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.38.常用不等式:
(1)a,bRa2b22ab(当且仅当a=b时取“=”号).
(2)a,bR
ab(当且仅当a=b时取“=”号).
(3)ababab.
39已知x,y都是正数,则有
(1)若积xy是定值p,则当xy时和xy有最小值2p;
(2)若和xy是定值s,则当xy时积xy有最大值
4
s.
40.含有绝对值的不等式当a>
0时,有
xaxaaxa.
xaxaxa或xa.
41.斜率公式
k
yy
21
(
P1(x1,y1)、P2(x2,y2)).
42.直线的五种方程
(1)点斜式
yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k).
(2)斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).
yyxx
(3)两点式11
(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).
xy
(4)截距式1(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b0)
(5)一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).
43.两条直线的平行和垂直
(1)若l1:
yk1xb1,l2:
yk2xb2①l1||l2k1k2,b1b2;
②l1l2k1k21.
(2)若l1:
A1xB1yC10,l2:
A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,
ABC
①111
l||l
②
l1l2A1A2B1B20;
(l1:
A1xB1yC10,l2:
A2xB2yC20,A1A2B1B20).
直线
ll时,直线l1与l2的夹角是
45.点到直线的距离
d
|AxByC|
00
AB
(点P(x0,y0),直线l:
AxByC0).
46.圆的四种方程
(1)圆的标准方程
(xa)(yb)r.
(2)圆的一般方程
220
xyDxEyF(
224
DEF>0).
47.直线与圆的位置关系
直线AxByC0与圆
2()22
(xa)ybr的位置关系有三种:
dr0;
dr相切0;
相离
dr0.其中
相交
AaBbC
d.
2B
A
48.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,O1O2d
dr1r条公切线;
dr1r2外切3条公切线;
外离42
r条公切线;
dr1r2内切1条公切线;
1rdrr相交2
0drr.
内含无公切线
49.圆的切线方程
(1)已知圆
xyDxEyF.
(2)已知圆
xyr.
①过圆上的
P0(x0,y0)点的切线方程为
xxyyr;
50.椭圆
221(0)
的参数方程是
xa
yb
51.椭圆
aa
焦半径公式PFe(x),PF2e(x).
1c
c
52.椭圆的的内外部
(1)点
P(x,y)在椭圆
221(ab0)
的内部
221
(2)点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)221
的外部.
abab
xyaa
53.双曲线221(0,0)PFex
ab1|()|PF2|e(x)|
的焦半径公式,
abcc
54.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线方程为1
渐近线方程:
yx.
(2)若渐近线方程为yx0
aab
双曲线可设为
x
y
(3)若双曲线与1
有公共渐近线,可设为
的焦半径公式
55.抛物线y2px
(0,焦点在x轴上,0,焦点在y轴上).
抛物线
p
22(0)
ypxp焦半径CFx0.
pp
过焦点弦长xxp
CDx1x212
56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB(xx)(yy)或
AB(1k)(xx)|xx|1tan|yy|1cot(弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),由方
211212
程
F(
kx
x,y)
2bxc
消去y得到ax0,0,为直线AB的倾斜角,k为直线的斜率).
57
(1)加法交换律:
a+b=b+a.
(2)加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c).(3)数乘分配律:
λ(a+b)=λa+λb.
59共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0),a∥b存在实数λ使a=λb.
P、A、B三点共线AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.60.向量的直角坐标运算
设a=
(a,a,a),b=(b1,b2,b3)则
123
(1)a+b=
(ab,ab,ab);
(2)a-b=(a1b1,a2b2,a3b3);
(3)λa=(a1,a2,a3)(λ∈R);
112233
(4)a·
b=
ababab;
61.设A
(x,y,z),B(x2,y2,z2),则ABOBOA=(x2x1,y2y1,z2z1).
62.空间的线线平行或垂直
设
a(x,y,z),
b(x,y,z),则abab0x1x2y1y2z1z20.
63.夹角公式
(a,a,a),b=(b1,b2,b3),则cos〈a,b〉=
ababab
222222
aaabbb
64.异面直线所成角cos|cosa,b|=
|ab|
|xxyyzz|
121212
|a||b|xyzxyz
111222
(其中(090)为异面直线a,b所成角,a,b分别表示异面直线a,b的方向向量)
65.直线AB与平面所成角
arcsin
ABm
|AB||m|
(m为平面的法向量).
mnmn
66.二面角l的平面角arccos或arccos
|m||n||m||n|
(m,n为平面,的法向量).
134.空间两点间的距离公式
若A
(x,y,z),B(x2,y2,z2),则dA,B=|AB|ABAB
(xx)(yy)(zz).
212121
67.球的半径是R,则
其体积
3
VR,其表面积
S4R.
(3)球与正四面体的组合体:
棱长为a的正四面体的内切球的半径为
6
12
a,外接球的半径为
a.
Sh
VSh.
68
69.分类计数原理(加法原理)Nm1m2mn.
70.排列数公式
A=n(n1)(nm1)=
n!
*,且mn).注:
规定0!
1.
.(n,m∈N
(nm)
!
71.组合数公式
C=
=
n(n
1)
(n
*,mN,且mn)
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