现代控制理论实验报告文档格式.docx

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000

DEN=

120

[NUM,DEN]=ss2tf（A,B,C,D,2）

001

010

给出的结果是正确的，是没有约分过的形式

P5129-6

[A,B,C,D]=tf2ss（[168],[143]）

A=

-4-3

10

B=

1

0

C=

25

D=

2、状态方程求解

单位阶跃输入作用下的状态响应：

G=ss（A,B,C,D）;

[y,t,x]=step（G）;

plot（t,x）.

零输入响应

[y,t,x]=initial（G,x0）其中，x0为状态初值。

验证P435的例9-4，P437的例9-5。

9-4

A=[01;

-2-3];

B=[0;

0];

C=[00];

D=[0];

[y,t,x]=initial（G,[1;

2]）;

plot（t,x）

（设初始状态为[1;

2]）

9-5

1];

零状态响应，阶跃信号激励下

G=ss（A,B,C,D）;

总响应

[y1,t1,x1]=step（G）;

[y2,t2,x2]=initial（G,[1;

x=x1+x2;

plot（t1,x）

3、系统可控性和可观测性

可控性判断：

首先求可控性矩阵：

co=ctrb（A，B）。

然后求rank（co）并比较与A的行数n的大小，若小于n则不可控，等于为可控。

也可以求co的绝对值，不等于0，系统可控，否则不可控。

验证P456例9-14。

-1-2];

B=[1;

-1];

C=[10];

co=ctrb（A,B）

co=

1-1

-11

rank（co）

ans=

系统不可控

可观测性判断：

首先求可观测性矩阵ob=obsv（A，C）,或者ob=ctrb（A'

，C'

）;

然后求rank（ob）并比较与A的行数大小，若小于，为不可观测，等于则为可观测。

验证P458例9-15。

1

A=[-20;

0-1];

B=[3;

C=[10];

ob=obsv（A,C）

ob=

-20

rank（ob）

不可观测

2、

A=[1-1;

11];

B=[2-1;

10];

C=[10;

-11];

02

2

可观测

4、线性变换

一个系统可以选用不同的状态变量，所以状态方程是不唯一的。

但是这些方程之间是可以相互转换的。

[At，Bt，Ct，Dt]=ss2ss（A，B，C，D，T）

变换矩阵T不同，可得到不同的状态方程表示形式，如可控型，可观测型，Jordan标准型表示。

matlab变换与控制书上讲的变换略有差别。

这里是

，其中x是原来的变量，z是现在的变量。

书上则是

。

因此线性变换时，首先要对给定的变换矩阵进行逆变换，然后将其代入上面指令的T中。

求对角阵（或约当阵）：

MATLAB提供指令：

[At，Bt，Ct，Dt，T]=canon（A，B，C，D，'

modal'

）

它可将系统完全对角化，不会出现经典控制中的约当块。

A=[-4-3;

C=[25];

[At,Bt,Ct,Dt,T]=canon（A,B,C,D,'

At=

-30

0-1

Bt=

-3.6056

-2.2361

Ct=

-0.1387-0.6708

Dt=

T=

-3.6056-3.6056

-2.2361-6.7082

inv（T）

-0.41600.2236

0.1387-0.2236

求可观测标准型：

companion'

0-3

1-4

2-3

14

01

求可控标准型：

首先需要求可观测标准型，然后根据对偶关系求[At'

，Ct'

，Bt'

，Dt'

]

At'

-3-4

Ct'

-3

Bt'

验证P512的9-6习题。

5、线性定常系统的结构分解

当系统是不可控的，可以进行可控性规分解。

使用

[a1,b1,c1,t,k]=ctrbf（A,B,C）命令。

验证P473例题9-19。

当系统是不可观测的，可以进行可观测性规分解。

使用[a2,b2,c2,t,k]=obsvf（A,B,C）命令。

验证P475例题9-20。

A=[12-1;

010;

1-43];

0;

C=[1-11];

0-1-4

138

[a1,b1,c1,t,k]=ctrbf（A,B,C）

a1=

100

-211

-4-13

b1=

c1=

-1-11

t=

-100

k=

110

1-11

2-32

4-74

系统不可观测

[a2,b2,c2,t,k]=obsvf（A,B,C）

a2=

2.00002.30944.0825

-0.00000.6667-0.9428

-0.00000.47142.3333

b2=

0.7071

-0.4082

0.5774

c2=

-0.0000-0.00001.7321

-0.7071-0.00000.7071

-0.4082-0.8165-0.4082

0.5774-0.57740.5774

6、极点配置算法

调用命令格式为K=place（A,B,P）。

A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。

验证P484例9-21。

A=[000;

1-60;

01-12];

P=[-2-1+j-1-j];

K=place（A,B,P）

K=

1.0e+003*

-0.01400.1860-1.2200

用下列编码对状态反馈前后的输出响应进行比较（附带文件control.m）。

t=0:

0.01:

5;

U=0.025*ones（size（t））;

%幅值为0.025输入阶跃信号

[Y1,X1]=lsim（A,B,C,D,U,t）;

[Y2,X2]=lsim（A-B*K,B,C,D,U,t）;

figure

（1）

plot（t,Y1）;

grid;

title（'

反馈前'

figure

（2）

plot（t,Y2）;

反馈后'

C=[100];

K=1.0e+003*[-0.01400.1860-1.2200];

t=0:

7、线性定常系统稳定判据

函数lyap（A,Q）求如下式的氏方程：

AP+PAT=-Q

注意与教材的区别，应将给定A矩阵转置后再代入lyap函数。

验证P495的例9-25。

A=[02;

1-1];

Q=[10;

lyap（A,Q）

-0.7500-0.2500

-0.25000.2500

实验二：

单级倒立摆的LQR状态调节器设计

有一个倒立摆小车系统如图一所示。

它由质量为M的小车，长为2L的倒立摆构成，倒立摆的质量为m，铰链在小车上，小车在控制函数u的作用下，沿滑轨在x方向运动，使倒立摆在垂直平面稳定。

为了简单起见，设倒立摆为均匀细杆，执行机构和轴无摩擦，此时系统的动力学非线性微分方程为：

其中，M=1kg，m=0.1kg，L=1m，g=9.81m/s2，f=50N/s。

现设计LQR控制器，使系统倒立摆在初始条件[x（0）,dx（0）,（0）,d（0）]T=[0.05,0,0.08,0]T下稳定。

注：

倒立摆偏角可以通过同轴旋转电位计送出正比的电信号。

思路：

先建立状态空间模型A、B、C和D矩阵，当摆杆角度很小时，可令

，四个状态为[x（0）,dx（0）,（0）,d（0）]T。

采用LQR命令求最优K矩阵，定义Q和R阵，用对角阵，人工定义对角线上的加权系数，由此决定对每个状态分量的影响。

如对角度侧重，则对应系数加大。

A=[0100;

0-4.972500;

0001;

03.729400]

B=[0;

0.9756;

-0.7317];

C=[1000;

0010];

D=[0;

Q=[100000;

0000;

00100;

0000];

R=1;

[K,P]=lqr（A,B,Q,R）

9.8312369.6931-0.5786490.5742

P=

1.0e+012*

0.00000.00010.00000.0001

0.00010.73370.00020.9783

0.00000.00020.00000.0002

0.00010.97830.00021.3044

实验总结

通过本次实验的学习，我学习了系统状态空间表达式的建立方法、了解了系统状态空间表达式与传递函数相互转换的方法；

系统齐次、非齐次状态方程求解的方法，计算矩阵指数，求状态响应;

掌握利用MATLAB导出连续状态空间模型的离散化模型的方法;

学习系统状态能控性、能观测性的定义及判别方法；

学习了系统稳定性的定义及雅普诺夫稳定性定理；

学习闭环系统极点配置定理及算法，学习全维状态观测器设计方法；

并用MATLAB实现了上述功能，对上课的理论有了更深入地理解。