第1章 12 121 第1课时立体几何Word文档格式.docx
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M∈平面AC
点A1不在平面AC内
A1∉平面AC
直线AB与直线BC交于点B
AB∩BC=B
直线AB在平面AC内
AB⊂平面AC
直线AA1不在平面AC内
AA1⊄平面AC
知识点三 平面的基本性质
公理(推论)
文字语言
图形语言
符号语言
作用
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内
⇒AB⊂α
(1)判定直线在平面内;
(2)证明点在平面内
公理2
如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线
⇒α∩β=l且P∈l
(1)判断两个平面是否相交;
(2)判定点是否在直线上;
(3)证明点共线问题
公理3
经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
A,B,C不共线⇒A,B,C确定一个平面α
(1)确定一个平面的依据;
(2)证明平面重合;
(3)证明点、线共面
推论1
经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面
A∉l⇒A和l确定一个平面α
推论2
经过两条相交直线,有且只有一个平面
a∩b=A⇒a,b确定一个平面α
推论3
经过两条平行直线,有且只有一个平面
a∥b⇒a,b确定一个平面α
一、点、直线、平面之间的位置关系的符号表示
例1 如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
解 在
(1)中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,A∉l,B∉l.
在
(2)中,α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P,a∩b=P.
反思感悟 三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.
提醒:
根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
跟踪训练1 用符号语言表示下列语句,并画出图形:
(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.
解
(1)符号语言表示:
α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,图形表示:
如图①.
(2)符号语言表示:
平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC,图形表示:
如图②.
二、点线共面
例2 如图,已知a⊂α,b⊂α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:
PQ⊂α.
证明 因为PQ∥a,所以PQ与a确定一个平面β,所以直线a⊂β,点P∈β.因为P∈b,b⊂α,所以P∈α.又因为a⊂α,P∉a,所以点P与a确定一个平面α,所以α与β重合,所以PQ⊂α.
延伸探究
将本例中的两条平行线改为三条,即求证:
和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.
证明 已知:
a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.
求证:
a,b,c和l共面.
证明:
如图,∵a∥b,
∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α.
又∵A∈l,B∈l,∴l⊂α.
∵b∥c,∴b与c确定一个平面β,同理l⊂β.
∵平面α与β都包含l和b,且b∩l=B,
由推论2知:
经过两条相交直线有且只有一个平面,
∴平面α与平面β重合,
∴a,b,c和l共面.
反思感悟 证明多线共面的两种方法
(1)纳入法:
先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.
(2)重合法:
先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.
跟踪训练2 如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:
直线l1,l2,l3在同一平面内.
证明 方法一 (纳入平面法)
∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3=B,∴B∈l2.
又∵l2⊂α,∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α.
∴直线l1,l2,l3在同一平面内.
方法二 (辅助平面法)
∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β.
∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内,
∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
三、截面问题
例3 如图,在直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>
CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线.
解 由题意得,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上.
由于AB>
CD,则分别延长AC和BD交于点E,
如图所示,
∵E∈AC,AC⊂平面SAC,∴E∈平面SAC.
同理可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上,则连结SE,直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.
反思感悟 作平面与多面体的交线,先确定多面体的一个面与此平面的两个公共点,然后说明这两点的连线即为多面体的这个面与平面的交线.
跟踪训练3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=
DD1,NB=
BB1,那么正方体的过点M,N,C1的截面图形是( )
A.三角形B.四边形
C.五边形D.六边形
答案 C
解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=
BB1.
如图,分别延长C1M交CD交于点P,分别延长C1N和CB交于点Q,连结PQ交AD于点E,交AB于点F,连结NF,ME,则正方体的过点M,N,C1的截面图形是五边形C1M∈FN.故选C.
1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关,即实现这三种语言的相互转换,正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义,恰当地用符号语言描述图形语言,将图形语言用文字语言描述出来,再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候,要注意符号语言所代表的含义,作直观图时,要注意线的实虚.
2.在处理点线共面问题时初步体会三个公理的作用,突出先部分再整体的思想.
1.点P在直线a上,直线a在平面α内可记为( )
A.P∈a,a⊂αB.P⊂a,a⊂α
C.P⊂a,a∈αD.P∈a,a∈α
答案 A
解析 依题意知,P∈a,a⊂α,选A.
2.下图中图形的画法正确的是________.(填序号)
答案 ①③④⑤
3.已知直线a∥b,直线l与a,b都相交,求证:
过a,b,l有且只有一个平面.
证明 如图所示,
由已知a∥b,所以过a,b有且只有一个平面α.设a∩l=A,b∩l=B,∴A∈α,B∈α,且A∈l,B∈l,∴l⊂α.即过a,b,l有且只有一个平面.
一、选择题
1.下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是( )
答案 D
解析 画两个相交平面时,被遮住的部分用虚线表示.
2.空间不共线的四点可以确定平面的个数为( )
A.1 B.4 C.5 D.1或4
解析 若四点共面,则可确定1个平面;
若四点不共面,则可确定4个平面.
3.下列命题正确的是( )
A.两个平面如果有公共点,那么一定相交
B.两个平面的公共点一定共线
C.两个平面有3个公共点一定重合
D.过空间任意三点,一定有一个平面
解析 如果两个平面重合,则排除A,B;
两个平面相交,则有一条交线,交线上任取3个点都是两个平面的公共点,故排除C;
而D中的三点不论共线还是不共线,则一定能找到一个平面过这3个点.
二、填空题
4.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.
(1)A∉α,a⊂α________;
(2)α∩β=a,P∉α且P∉β________;
(3)a⊄α,a∩α=A________;
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O________.
答案
(1)C
(2)D (3)A (4)B
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的是________.(填序号)
(1)直线AC1在平面CC1B1B内.
(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O,O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.
(3)由A,C1,B1确定的平面是ADC1B1.
(4)由A,C1,B1确定的平面与由A,C1,D确定的平面是同一个平面.
答案
(2)(3)(4)
解析
(1)错误.如图
(1)所示,点A∉平面CC1B1B,所以直线AC1⊄平面CC1B1B.
(2)正确.如图
(2)所示.
因为O∈直线AC,AC⊂平面AA1C1C,O∈直线BD,BD⊂平面BB1D1D,O1∈直线A1C1,A1C1⊂平面AA1C1C,O1∈直线B1D1,B1D1⊂平面BB1D1D,所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.
(3)(4)都正确,因为AD∥B1C1且AD=B1C1,所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以A,B1,C1,D共面.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么正方体的过P,Q,R的截面图形是________.
答案 正六边形
解析 如图所示,作RG∥B1D1交C1D1于点G,
则RG=PQ,连结QP并延长与CB的延长线交于点M,连结MR交BB1于点E,易知E为BB1中点,连结PE,PE为截面与正方体的交线则QP=PE=ER=RG,,同理,连结并延长PQ交CD的延长线于点N,连结NG交DD1于点F,连结QF,可知QP=QF=FG=GR,所以截面PQFGRE为正六边形.
三、解答题
7.用符号表示图中点、直线、平面之间的位置关系.
解 直线l1,l2与平面α,β之间的位置关系为l1∩α=Q,l2∩β=R;
直线l1,l2之间的位置关系为l1∩l2=P;
平面α,β之间的位置关系为α∩β=a;
点P,Q,R与直线l1,l2之间的位置关系为P∈l1,Q∈l1,R∈l2,P∈l2,Q∉l2,R∉l1;
点P,Q,R与平面α,β之间的位置关系为P∉α,P∉β,Q∈α,Q∉β,R∉α,R∈β.
8.求证:
两两相交且不共点的四条直线a,b,c,d共面.
证明
(1)无三线共点情况,如图
(1).
设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.
因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α,
因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,
所以NQ⊂α,即b⊂α.
同理c⊂α,所以a,b,c,d共面.
(2)有三线共点的情况,如图
(2).
设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且K∉a,
因为K∉a,所以K和a确定一个平面,设为β.
因为N∈a,a⊂β,所以N∈β.
所以NK⊂β,即b⊂β.
同理c⊂β,d⊂β.
所以a,b,c,d共面.
由
(1)
(2)知,a,b,c,d共面.
9.如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.
E,F,G,H四点必定共线.
证明 ∵AB∥CD,
∴AB,CD确定一个平面β,
∵AB∩α=E,E∈AB,E∈α,
∴E∈β,
∴E在α与β的交线l上.
同理,F,G,H也在α与β的交线l上,
∴E,F,G,H四点必定共线.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,M,N,P分别是A1B1,AD,BB1的中点.
(1)画出过M,N,P三点的平面与平面ABCD,平面BB1C1C的交线;
(2)设过M,N,P三点的平面与BC交于点Q,求PQ的长.
解
(1)如图,连结MP并延长交AB的延长线于R,连结NR交BC于点Q,则NQ就是过M,N,P三点的平面与平面ABCD的交线,连结PQ,则过M,N,P三点的平面与平面BB1C1C的交线是PQ.
(2)易知Rt△MPB1≌Rt△RPB,
所以MB1=RB=1.
因为BQ∥AN,所以△BQR∽△ANR,
所以
=
,可得BQ=
.
在Rt△PBQ中,PQ=
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