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若存在,求出此抛物线的解析式;
若不存在,请说明理由.
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5.(2016辽宁省铁岭市).如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,点B
坐标为(6,0),点C坐标为(0,6),点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,垂足为E,连接BD.
(3)若点M是抛物线上的动点,过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上,点Q在平面内,
以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请直接写出点Q的坐标.
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6.(2016广东省茂名市).如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于
点C,点D是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DE交x轴于点E,连接BD.
(1)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式;
(2)点P是线段BD上一点,当PE=PC时,求点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,过点P作PF⊥x轴于点F,G为抛物线上一动点,M为x轴上一动点,N为直线
PF上一动点,当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时,请求出点M的坐标.
6
二次函数专题训练(正方形的存在性问题)参考答案
1.如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(l,0),B(﹣3,0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,对称轴与x轴相交于点E,连接BD.
【解答】解:
(1)∵抛物线
y=x2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(﹣3,0),
∴
,∴
,∴抛物线的解析式为
y=x2+2x﹣3;
(2)由
(1)知,抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3;
∴C(0,﹣3),抛物线的顶点D(﹣1,﹣4),
∴E(﹣1,0),
设直线BD的解析式为y=mx+n,
∴,∴,∴直线BD的解析式为y=﹣2x﹣6,
设点P(a,﹣2a﹣6),
∵C(0,﹣3),E(﹣1,0),
根据勾股定理得,PE2=(a+1)2+(﹣2a﹣6)2,
222
PC=a+(﹣2a﹣6+3),
∵PC=PE,
∴(a+1)2+(﹣2a﹣6)2=a2+(﹣2a﹣6+3)2,
∴a=﹣2,∴y=﹣2×
(﹣2)﹣6=﹣2,
∴P(﹣2,﹣2),
(3)如图,作PF⊥x轴于F,∴F(﹣2,0),
设M(d,0),
∴G(d,d2+2d﹣3),N(﹣2,d2+2d﹣3),
∵以点F,N,G,M四点为顶点的四边形为正方形,必有FM=MG,
∴|d+2|=|d2+2d﹣3|,
∴d=
或d=
,
∴点M的坐标为(
,0),(
,0).
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(2)点F是抛物线上的动点,当∠FBA=∠BDE时,求点F的坐
标;
(3)若点M是抛物线上的动点,过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上,点Q在坐
标平面内,以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请写出点Q的坐标.
(1)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6,
∵y=﹣x2+2x+6=﹣(x﹣2)2+8,∴D(2,8);
(2)如图1,过F作FG⊥x轴于点G,
设F(x,﹣x2+2x+6),则FG=|﹣x2+2x+6|,
∵∠FBA=∠BDE,∠FGB=∠BED=90°
,
∴△FBG∽△BDE,∴=,∵B(6,0),D(2,8),
∴E(2,0),BE=4,DE=8,OB=6,∴BG=6﹣x,∴=,
当点F在x轴上方时,有=,解得x=﹣1或x=6(舍去),此时F点的坐标为(﹣1,);
当点F在x轴下方时,有=﹣,解得x=﹣3或x=6(舍去),此时
F点坐标为(﹣3,﹣);
综上可知F点的坐标为(﹣1,)或(﹣3,﹣);
(3)如图2,设对角线MN、PQ交于点O′,
∵点M、N关于抛物线对称轴对称,且四边形MPNQ为正方形,
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点,点Q在抛物线的对称轴上,
设Q(2,2n),则M坐标为(2﹣n,n),∵点M在抛物线y=﹣x2+2x+6的图象上,
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∴n=﹣(2﹣n)2+2(2﹣n)+6,解得n=﹣1+或n=﹣1﹣,
∴满足条件的点Q有两个,其坐标分别为(2,﹣2+2)或(2,﹣2﹣2).
(1)把A(﹣1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx﹣3,
得:
,解得,故该抛物线解析式为:
y=x2﹣2x﹣3;
(2)由
(1)知,抛物线解析式为:
y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴该抛物线的对称轴是x=1,顶点坐标为(1,﹣4).
如图,设点M坐标为(m,m2﹣2m﹣3),其中m>1,
∴ME=|﹣m2+2m+3|,
∵M、N关于x=1对称,且点M在对称轴右侧,∴点N的横坐标为2﹣m,
∴MN=2m﹣2,
∵四边形MNFE为正方形,
∴ME=MN,
∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2,
分两种情况:
①当﹣m2+2m+3=2m﹣2时,解得:
m1=
、m2=﹣
(不符合题意,舍去),
当m=
时,正方形的面积为(
﹣2)2=24﹣8
;
②当﹣m2
=2﹣
+2m+3=2﹣2m时,解得:
m=2+
,m
当m=2+
时,正方形的面积为
[2(2+
)﹣2]2=24+8
综上所述,正方形的面积为
24+8
或24﹣8.
(3)设BC所在直线解析式为
y=px+q,
把点B(3,0)、C(0,﹣3)代入表达式,
,解得:
∴直线BC的函数表达式为
y=x﹣3,
设点M的坐标为(t,t2﹣2t﹣3),其中t<1,
则点N(2﹣t,t2﹣2t﹣3),点D(t,t﹣3),
∴MN=2﹣t﹣t=2﹣2t,MD=|t2﹣2t﹣3﹣t+3|=|t2﹣3t|.∵MD=MN,∴|t2﹣3t|=2﹣2t,
①当t2﹣3t=2﹣2t时,解得t1=﹣1,t2=2(不符合题意,舍去).
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②当3t﹣t2
=2﹣2t时,解得
(不符合题意,舍去).
t=
,t=
综上所述,点M的横坐标为﹣
1或
.
4.(2015贵州省毕节地区)
如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,顶点
M关
(2)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C,求△CAB的面积;
分析:
(1)根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据轴对称,可得M′的坐标,根据待定系数法,可得AM′的解析式,根据解方程组,可得B点坐标,
根据三角形的面积公式,可得答案;
(3)根据正方形的性质,可得P、Q点坐标,根据待定系数法,可得函数解析式.
解答:
解:
(1)将A、B点坐标代入函数解析式,得,解得,
抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3;
(2)将抛物线的解析式化为顶点式,得y=(x﹣1)2﹣4,M点的坐标为(1,﹣4),M′点的坐标为(1,4),
设AM′的解析式为y=kx+b,
将A、M′点的坐标代入,得,解得,AM′的解析式为y=2x+2,
联立AM′与抛物线,得
,解得,
C点坐标为(5,12).S△ABC=×
4×
12=24;
(3)存在过A,B两点的抛物线,其顶点P关于x轴的对称点为Q,使得四边形APBQ为正方形,
由ABPQ是正方形,A(﹣1,0)B(3,0),得
P(1,﹣2),Q(1,2),或P(1,2),Q(1,﹣2),
①当顶点P(1,﹣2)时,设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2﹣2,
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将A点坐标代入函数解析式,得a(﹣1﹣1)2﹣2=0,解得a=,
抛物线的解析式为y=(x﹣1)2﹣2,
②当P(1,2)时,设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2+2,将A点坐标代入函数解析式,得a(﹣1﹣1)2+2=0,
解得a=﹣,抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+2,
综上所述:
y=(x﹣1)2﹣2或y=﹣(x﹣1)2+2,使得四边形APBQ为正方形.
(2)点F是抛物线上的动点,当∠FBA=∠BDE时,求点F的坐标;
分析
(1)由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式,再利用配方法将抛物线解析式变形成顶点式即可得出结论;
(2)设线段BF与y轴交点为点F′,设点F′的坐标为(0,m),由相似三角形的判定及性质可得出点
F′
的坐标,根据点
B、F′的坐标利用待定系数法可求出直线
BF的解析式,联立直线
BF和抛物线的解析式成
方程组,解方程组即可求出点
F的坐标;
(3)设对角线MN、PQ交于点O′,如图2所示.根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点
P、Q
的位置,设出点
Q的坐标为(2,2n),由正方形的性质可得出点
M的坐标为(
2﹣n,n).由点M在抛物
线图象上,即可得出关于n的一元二次方程,解方程可求出n值,代入点Q的坐标即可得出结论.
解答解:
(1)将点B(6,0)、C(0,6)代入y=﹣x2+bx+c中,
,解得:
,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+6.
∵y=﹣x2+2x+6=﹣(x﹣2)2+8,
∴点D的坐标为(2,8).
(2)设线段BF与y轴交点为点F′,设点F′的坐标为(0,m),如图1所示.∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE,∠F′OB=∠BED=90°
∴△F′BO∽△BDE,∴.
∵点B(6,0),点D(2,8),
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∴点E(2,0),BE=6﹣4=4,DE=8﹣0=8,OB=6,∴OF′=?
OB=3,∴点F′(0,3)或(0,﹣3).
设直线BF的解析式为y=kx±
3,则有0=6k+3或0=6k﹣3,解得:
k=﹣或k=,
∴直线BF的解析式为y=﹣x+3或y=x﹣3.
联立直线BF与抛物线的解析式得:
①或②,
解方程组①得:
或(舍去),∴点F的坐标为(﹣1,);
解方程组②得:
或(舍去),∴点F的坐标为(﹣3,﹣).
综上可知:
点
F的坐标为(﹣1,)或(﹣3,﹣).
(3)设对角线MN、PQ交于点O′,如图2
所示.
∵点M、N关于抛物线对称轴对称,且四边形
MPNQ为正方形,
∴点P为抛物线对称轴与
x轴的交点,点Q在抛物线对称轴上,
设点Q的坐标为(
2,2n),则点M的坐标为(2
﹣n,n).
∵点M在抛物线y=﹣
x2+2x+6的图象上,
∴n=﹣
+2(2﹣n)+6,即n2+2n
﹣16=0,
解得:
n1=
﹣1
,n2=﹣﹣1.
∴点Q的坐标为(
2,
﹣1)或(2,﹣
﹣1).
6.(2016广东省茂名市)
】.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,且与y轴交
于点C,点D是抛物线的顶点,抛物线的对称轴
DE交x轴于点E,连接BD.
分析
(1)利用待定系数法求出过A,B,C三点的抛物线的函数表达式;
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(2)连接PC、PE,利用公式求出顶点D的坐标,利用待定系数法求出直线BD的解析式,设出点P的坐
标为(x,﹣2x+6),利用勾股定理表示出PC2和PE2,根据题意列出方程,解方程求出x的值,计算求出
点P的坐标;
(3)设点M的坐标为(a,0),表示出点G的坐标,根据正方形的性质列出方程,解方程即可.解答解:
(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,
∴,解得,,∴经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式为y=﹣x2+2x+3;
(2)如图1,连接PC、PE,x=﹣=﹣
=1,
当x=1时,y=4,∴点D的坐标为(1,4),设直线BD的解析式为:
y=mx+n,
则,解得,,∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6,
设点P的坐标为(x,﹣2x+6),
则PC2=x2+(3+2x﹣6)2,PE2=(x﹣1)2+(﹣2x+6)2,∵PC=PE,∴x2+(3+2x﹣6)2=(x﹣1)2+(﹣2x+6)2,解得,x=2,则y=﹣2×
2+6=2,
∴点P的坐标为(2,2);
(3)设点M的坐标为(a,0),则点G的坐标为(a,﹣a2+2a+3),∵以F、M、G为顶点的四边形是正方形,
∴FM=MG,即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|,
当2﹣a=﹣a2+2a+3时,整理得,a2﹣3a﹣1=0,解得,a=,
当2﹣a=﹣(﹣a2+2a+3)时,整理得,a2﹣a﹣5=0,
解得,a=
∴当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时,
点M的坐标为(
,0),(
0),(
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