高一数学知识点复习讲义6充分条件与必要条件文档格式.docx
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=0,q:
ab=0,则卩是§
的条件.
题型探究探究重点素养提升
1%
一、充分条件的判断
例1⑴下列命题中,〃是g的充分条件的是.
1p:
(x—2)(x—3)—0,q:
x—2=0:
2p:
两个三角形面积相等,g:
两个三角形全等;
3p:
m<
—2,q:
方程x2—x—加=0无实根.
答案③
解析①V(a-2)(a-3)=0,
二2或x二3,不能推出x-2=0.
・P不是q的充分条件•
②・・•两个三角形面积相等,不能推出两个三角形全等,:
・p不是"
的充分条件.
③Tm<
-2,12+4/n<
0,方程x2-x-m=0无实木艮,•:
p是qg勺充分条彳牛.
⑵“a>
2且b>
2”是“o+b>
4,"
>
4”的条件.
解析由a>
2»
+b>
4,ab>
4,
・・・是充分条件.
反思感悟充分条件的判断方法
(1)判定"
是§
的充分条件要先分清什么是/儿什么是q.即转化成p=q问题•
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断,若〃构成的集合为A,§
构
成的集合为B,AUB,则〃是°
跟踪训练1恢>
2”是“F>
4”的条件.
解析a>
2=>
.v2>
4,故x>
2是a2>
4的充分条件.
二、必要条件的判断
例2在以下各题中,分析〃与g的关系:
(1)/?
x>
2且y>
3,q:
x+y>
5;
(2)/7:
一个四边形的四个角都相等,q:
四边形是正方形.
解
(1)由于故〃是。
的充分条件"
是p的必要条件.
⑵由于q=p,故g是〃的充分条件,p是§
的必要条件•
反思感悟
(1)判断〃是q的什么条件,主要判断若〃成立时,能否推出q成立,反过来,若q成立时,能否推出“成立;
若p=q为真,则〃是§
的充分条件,若q=p为真,则
P是q的必要条件•
(2)也可利用集合的关系判断,如条件甲,条件乙“xWB”,若A^B.则甲是乙的必要条件•
跟踪训练2分析下列各项中“与g的关系.
(1)p:
a为锐角,q:
a=45°
.
(2)/?
(x+l)(x-2)=0,?
x+l=O.
解
(1)由于贰八故〃是。
的必要条件川是〃的充分条件.
⑵由于q=p,故“是§
的必要条件,§
是〃的充分条件•
三、充分条件与必要条件的应用
例3已知卩:
实数x满足3a<
x<
a,其中a<
0:
q:
实数x满足一2WxW3.若”是g的充
分条件,求实数"
的取值范圉.
解p3a<
a,即集合A={xl3a<
xva}.
q:
-2W/W3,即集合B={aI-2WxW3}.
因为p=q,所以A^B,
“3心-2,
2
所以卜W3,=>
巧0<
0,
4VO
9
所以“的取值范围是・詐XO.
延伸探究
1•将本例中条件P改为“实数X满足d<
xv3"
其中"
X)”,若"
的必要条件,求实数"
的取值范围•
解pa<
3a,即集合A={xl«
<
v<
3«
).
-2WxW3,即集合B={aI-2WxW3}.
因为q^P,所以B^A,
3a>
3t
所以<
x-2,=>
"
丘0.
、"
2.将例题中的条件“q:
实数x满足-2WxW3”改为“q:
实数x满足-30WO”其他条件不变,求实数"
解p:
3a<
a,其中a<
0,即集合A={xl3“w}.
-3WxWO,即集合B={aI-3WxWO}.
因为卩是Q的充分条件,所以p=q,所以A^B,
3心-3,
所以vaWO,n-
、avO
所以a的取值范围是-1WxO.
反思感悟充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用:
可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤:
先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解•
随堂演练基础况固学以致用
\
1.若卩是§
的充分条件,则§
是卩的()
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.既是充分条件乂是必要条件
答案B
解析因为"
的充分条件,所以,所以§
2.下列命题中,"
是g的充分条件的是()
A./?
abHO,q:
aHO
B.p:
a'
+b'
NO,q:
且b^O
C.p:
a2>
1,q:
\
D.p:
a>
b,q:
&
书
答案A
解析根据充分条件的概念逐一判断.
3.“同位角相等”是“两直线平行”的()
C.既是充分条件,也是必要条件
D.既不充分乂不必要条件
答案C
4.若“Q1”是的充分条件,则G的取值范围是.
答案aWl
解析因为x>
l=>
x>
a,所以dW1.
5.“F=2x”是“x=0”的条件,“x=0”是“工=*‘的条件(用
“充分”“必要”填空).
答案必要充分
解析由于x=0^=2x,所以“宀"
”是恢二0”的必要条件,“x=0”是二
的充分条件•
-课堂小结
1.知识清单:
(1)充分条件、必要条件的概念•
(2)充分性、必要性的判断.
(3)充分条件与判定定理,必要条件与性质定理的关系.
⑷充分条件与必要条件的应用•
2.常见误区:
充分条件、必要条件不唯一;
求参数范围能否取到端点值•
课时对点练注重双基强化落实
9基础巩固
1•使x>
3成立的一个充分条件是()
A..v>
4B..v>
0C.x>
2D.x<
2答案A
解析只有x>
4=>
3,其他选项均不可推出x>
3.
2.使x>
l成立的一个必要条件是()
A.a>
0B.a>
3C.a>
1=>
0,其他选项均不可由x>
1推出,故选A.
3.下列"
是g的必要条件的是()
A.p:
a=l,q:
\(i\—1
B./?
—1<
a<
1q:
a<
byq:
dVb+1
D./?
b9q:
b~\~1
答案D
解析要满足"
的必要条件,即q=>
p,只有q:
U>
b+\=>
q\a-b>
/?
:
b,故
选D.
4.下列“若"
则g”形式的命题中,"
是q的充分条件的是()
A.若——贝0x=yB.若x2—1»
则x=1
Ay
C.若则S=&
D.若x<
y,则Wvy2
解析B项中,x2=1=>
x=1或x二-1;
C项中,当x二y<
0时,S,心无意义;
D项中,
当x<
y<
O=>
x2>
y2,所以B,C,D中〃不是q的充分条件.
5.下列命题中,〃是g的充分条件的是()
是无理数,q:
I”是无理数
四边形为等腰梯形,q:
四边形对角线相等
C./?
0,q-.
ac2>
bc2
6.下列说法不正确的是•(只填序号)
1「>
5”是匚>
4”的充分条件;
2“心=0”是“x=0且y=0”的充分条件;
3“一2心<
2”是“xv2”的充分条件.
答案②
解析②中由卩二0不能推出x二0且),二0,则②不正确;
①③正确.
7.条件"
5—a<
0,条件q:
X>
a,若卩是§
的充分条件,则a的取值范围是•
答案{alaW5}
解析p:
5,若p是®
的充分条件,则p=>
q,也就是说,p对应集合是q对应集合
的子集,所以泾5・
8.下列式子:
①a<
Ovb;
@b<
0;
③bvOca;
④Ovbvo・
其中能使+£
成立的充分条件有.(只填序号)
答案①②④
解析当a<
O<
b时,+<
Ov*;
当b<
0时,禺<
0;
当b<
a时,|<
0<
^;
当0<
b<
a时,O<
^<
|z
所以能使成立的充分条件有①②④.
9.指出下列各组命题中,〃是q的什么条件:
(1)在ZiABC中,p:
A>
B,q:
BC>
AC;
(2)pa=3,q:
@+2)(°
—3)=0;
(3)/7:
#vl・
解在
(1)中,由大角对大边,且A>
B知BOAC,反之也正确,所以p既是q的充分条
件,也是。
的必要条件;
在⑵中,若a二3,则(a+2)(6/-3)二0,但(a+2)(a-3)=0不一定a=3,所以〃是g的充分条件但不是必要条件;
,所以〃既
在⑶中,当d二-2,b=-1时f^=2>
1;
当a=2,b=-1时,彳二-2<
不是q的充分条件,也不是必要条件•
10.
(1)是否存在实数加,使Zv+w<
0是xv—l或x>
3的充分条件?
(2)是否存在实数m,使2a+/h<
0是a<
-1或x>
3的必要条件?
解(1儆使2x+/n<
0是x<
-1或x>
3的充分条件,
则只要卜x<
-y|?
c{xLv<
-1或x>
3},
即只需・y^-l,所以心.
故存在实数加22,使2x+m<
-1或a>
3的充分条件.
(2)欲使2x+m<
0是X-1或Q3的必要条件,则只要{xlxv-1或x>
3}C*这是不可能的•
故不存在实数m,使2t+m<
0是xv-1或a>
3的必要条件.
Y综合运用
11•对任意实数"
,"
,C,下列命题中,真命题是()
A.“aobc”是“Qb”的必要条件
B.iiac=bctf是“a=b”的必要条件
C.“Qbc”是“Qb”的充分条件
D.aac=bc9f是“d=b"
的充分条件
解析n”=>
=>
==>
uac=bcn,:
.uac=bcv是"
二
b”的必要条件•
12.已知集合A={x&
R\-\<
3],B={xWRI-l<
xV"
+l},若x^B成立的一个充分
条件是xGA,则实数加的取值范围是()
A.m^2B・加W2
C.m>
2D.—2<
m<
解析因为xEB成立的一个充分条件是xEA,
所以A^B,所以3Wm+1,即心2.
13.若A={x\a<
a+2}fB={x\x<
~\或x>
3},且人是B的充分条件,则实数d的取
值范围为•
答案{alaW—3,或“M3}
解析因为A是B的充分条件,
所以A^B,
又A二{Ak/<
«
+2},B={xlv<
-1或.v>
3}.
因此“+2W-1或心3,
所以实数“的取值范围是{屁W-3,或心3}.
14.已知条件p:
xv—1或x>
3,条件<
7:
x<
—m+1或Q”+l(〃?
0),若条件卩是条件g
的充分不必要条件,则实数加的取值范用是答案{〃”0v”v2}
解析由题意,设集合A={xlx<
-1或a>
3),B-{aI<
-m+1或x>
m+1},因为条件p是条件q的充分不必要条件,即集合A是集合B的真子集,
■加+1$-1#所以
m+1<
3
又/n>
0,所以实数m的取值范围是Osv2.
N拓广探究
15.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么()
A.丙是中的充分条件,但不是屮的必要条件
B.丙是中的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙既是中的充分条件,乂是中的必要条件
D.丙既不是中的充分条件,也不是中的必要条件
解析因为甲是乙的必要条件,所以乙=甲•
又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙=乙,但乙并丙,
如图•
综上,有丙=甲,但甲并丙,
即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件•
16.若p:
—2<
0,0<
1;
关于x的方程x2-\-ax~\-b=0有两个小于1的不等正根,则”是°
的什么条件?
解若“二-1,b=2•则』=d?
-4/?
0,关于A-的方程A-+OV+/?
二0无实根,故p*q.
若关于x的方程X1+ax+h=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根为xi,X2,且
\1<
%2<
1,贝*JXi+X2=-a,A1X2=b.
于是0<
-av2,0vbvl,
即-2<
r/<
1,故qnp.
所以〃是q的必要条件,但不是充分条件•
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