随机信号分析习题Word格式.docx
- 文档编号:21139811
- 上传时间:2023-01-27
- 格式:DOCX
- 页数:24
- 大小:256.87KB
随机信号分析习题Word格式.docx
《随机信号分析习题Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《随机信号分析习题Word格式.docx(24页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
14.证明若Xn依均方收敛,即l.i.mXnX,则Xn必依概率收敛于X。
n
机变量。
若l.i.mXn
X,l.i.mYnY,求证limE{XmXn}E{XY}。
nm
随机信号分析习题二
1.设正弦波随机过程为
X(t)Acosw0t
fA(a)1,°
a1
(1)试求t
0,,,时,
4w04w0w0
X(t)的一维概率密度;
0,others
(2)试求t时,X(t)的一维概率密度。
2w°
2.若随机过程X(t)为
X(t)At,t
式中,A为在区间[0,1]上均匀分布的随机变量,求E[X(t)]及RX(t1,t2)。
3.设随机振幅信号为
X(t)Vsinw0t
其中w。
为常数;
V是标准正态随机变量。
求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。
4.设随机相位信号
X(t)acos(w0t)
式中a、w。
皆为常数,为均匀分布在[0,2]上的随机变量。
求该随机信号的均值、方差、
相关函数和协方差函数。
5.设X(t)Asin(wt),t,Y(t)Bsin(wt),t,其中
A,B,w,为实常数,~U[0,2],试求RxY(s,t)。
2
6.数学期望为mx(t)5sint、相关函数为RX(t1,t2)3e0.5(t2⑺的随机信号X(t)输入
g
微分电路,该电路输出随机信号Y(t)X(t)。
求Y(t)的均值和相关函数。
7.设随机信号X(t)Ve3tcos2t,其中V是均值为5、方差为1的随机变量。
现设新的
t
随机信号Y(t)qX()d。
试求Y(t)的均值、相关函数、协方差函数和方差。
8.利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程
COSt,出现正面
X(t)…一
2t,出现反面
设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。
(1)求X(t)的一维分布函数Fx(x,1/2)和Fx(x,1);
(2)求X(t)的二维分布函数Fx(X1,X2;
1/2,1)。
9.给定一个随机过程X(t)和任一实数x,定义另一个随机过程
Y(t)
1,X(t)x
0,X(t)x
证明Y(t)的均值函数和自相关函数分别为
X(t)的一维和二维分布函数。
10.定义随机过程
X(t)
1,第n次投掷均匀硬币出现正面
1,第n次投掷均匀硬币出现反面
n0,1,2,L,(n1)StnS,S为正常数,设:
U[0,S],且与X(t)相互独立,
令Y(t)X(t),试求Rx(s,t)与RY(s,t)。
11.考虑一维随机游动过程Yn,n0,1,2,L,其中Y00,YnXi,Xi为一取值1
i1
和1的随机变量,已知P(Xi1)q,P(Xi1)p,0p,q1,pq1,且Xi,
i1,2丄相互独立,试求:
1)P(Ynm);
2)EYn和DYn。
12.考虑随机过程X(t),其样本函数是周期性锯齿波。
两个典型的样本函数如图所示。
每
个样本函数都具有相同的形状,
将t0时刻以后出现的第一个零值时刻记为T0,假设T0是
一个均匀分布的随机变量
1/T,0tT
PT0⑴0th
0,others
求X(t)的一维概率密度Px(X)
其中To的定义和上题相同。
假设不同脉冲的幅度A之间统计独立,并均与To统计独立,求
14.
Y(t)的一维概率密度pv(y)。
为一个随机过程
X(t)Asin(t)
其中振幅A、角频率和相位是相互独立的随机变量,并且已知:
~2,0aA
PA(a)A
P(w)
0,
w350
others
*,°
求X(t)的一维概率密度。
随机信号分析习题三
1.设有零均值的平稳过程X(t),t0,其相关函数为Rx(),令
Y(t)0X(s)dst0
求Y(t),t0的方差函数和协方差函数。
2•设X(t),t是平稳过程,且EX(t)1,Rx()1e2,求随机变量
1
S0X(t)dt
的数学期望和方差。
3.设随机过程
Z(t)VX(t)Y(t)t
其中平稳过程X(t)和Y(t)及随机变量V三者相互独立,且mXmY0,X(t)的相关函
数为Rx()2e2cos,Y(t)的相关函数为FY()9e3,又EV2,DV9。
求Z(t)的数学期望,方差和相关函数。
4.设平稳过程X(t),
t,其相关函数为Rx(),且Rx(T)Rx(0),T0是
常数。
证明:
(1)P(X(tT)
X(t))
⑵Rx(T)
Rx()
5•设X(t)Acoswt,
t,其中
w是常数,A是随机变量,具有概率密度函数
0x1
fA(X)c
讨论X(t),
的严平稳性。
6.设A是任意的随机变量,
是与A相互独立的,且在[0,2]上服从均匀分布的随机变
量,令X(t)Asin(wt),
t,w0是常数,证明X(t),t
严平稳过程。
9.(上节习题课的例题12)考虑随机过程X(t),其样本函数是周期性锯齿波。
两个典型的样
本函数如图所示。
每个样本函数都具有相同的形状,将t0时刻以后出现的第一个零值时
刻记为T。
,假设T。
是一个均匀分布的随机变量
(t)1/「0tT
"
0,others
判断X(t)平稳性。
10.(上节习题课的例题14)考虑一个正弦振荡器,由于器件的热噪声和分布参数的影响,振荡器的输出正弦波可视为一个随机过程
X(t)Asint
其中振幅A、角频率
和相位是相互独立的随机变量,并且已知
PA(a)
2a
aF
0aA0
p(w)100
250w350
02
(1)求X(t)的一维概率密度;
⑵X(t)是一-阶平稳过程吗?
讨论过程Z(t)的遍历性。
随机信号分析习题四
1.已知平稳过程X(t)的相关函数如下,试求它的功率谱密度
aII
(1)Rx()ecoswo,a0
T0
2.设X(t)为一个随机电报波过程,它的一个样本函数如图所示。
已知在任一时刻波形取
A和A的概率相同,在时间间隔内波形变号的次数n服从参数为的泊松分布
P(n,)
()n
n!
3.
已知平稳过程
⑴求X(t)的自相关函数;
⑵求X(t)的功率谱密度函数。
SY(w)
4c2c
w3w2
求X(t)和Y(t)的自相关函数和均方值。
4.若X(t)是平稳随机过程,如图所示证明过程Y(t)的功率谱密度为
SY(w)2SX(w)(1coswT)
*延时T
5.设S(w)是一个平稳过程的功率谱密度函数,证明d2S(w)「dw2不可能是平稳过程的功
率谱密度函数。
6.设随机过程X(t)acos(t),其中a为常量,和为相互独立的随机变量,
且均匀分布于(0,2),的一维概率密度为偶函数,即fa(w)fa(w),求证X(t)
的功率谱密度为
Sx(w)afa(w)
7.设X(t)和Y(t)是联合平稳的。
试证明
ReSXY(w)ReSX(w)
ImSxy(w)ImSyx(w)
8.给定一个随机过程
X(t)Acos(w0t)
式中,A和w。
为常数,为均匀分布于(0,2)的随机变量
(1)求X(t)的平均功率;
(2)求X(t)的功率谱密度。
9.若平稳过程X(t)的功率谱密度为Sx(w),又有
Y(t)aX(t)cosw0t
10.
式中,a为常数,求功率谱密度SY(w)。
设X(t)和Y(t)是两个相互独立的平稳过程,均值函数mx和mY都不为零,已知mx和
mY,以及X(t)和Y(t)的功率谱密度Sx(w)和Sy(w),令Z(t)X(t)Y(t),试计算
Sxy(w)和Sxz(w)。
其中
cosx,
g(x)0,
C(t,s)
求在时刻t10,t21,t32抽样的三维概率密度。
X(t)UcoswtVsinwt
其中w为常数,U和V是两个相互独立的高斯随机变量,已知
E(U)E(V)0
22
E(U)E(V)
r()eI,求随机变量
求X(t)的一维概率密度函数。
14.设X(t)为平稳高斯过程,其均值为零,自相关函数为
Y°
X(t)dt的概率密度函数pY(y)。
15.设X(t)为一个零均值高斯过程,其功率谱密度Sx(f)如图所示,若每-^W秒对X(t)取
样一次,得到样本集合X(0),X(),L,求前N个样本的联合概率密度。
W
SX(f)」
P
2W
0W了
随机信号分析习题五
1.非周期平稳过程X(t)的自相关函数为
Rx()a2be11
式中,a和b是正实常数,系统的冲激响应为
h(t)etU(t)
其中为正实常数,求该系统输出过程的均值。
2.假设低通滤波器的传输函数与冲激响应如下
11
H(w),h(t)e
1jwRCRC
输入为白噪声,其功率谱密度为GX(w)N0.;
2,求
(1)滤波器输出功率谱密度;
(2)滤波器输出自相关函数;
(3)证明
RY(t3切
RY(t3t2)R<
(t2切
t3
tl
3.设有冲激响应为h(t)的线性系统,系统输入X(t)为零均值、平稳过程,该过程的自相
关函数为
Rx()()
问:
h(t)具备什么条件,可使输入过程X(t)与输出过程Y(t)在时刻tt,的随机变量
不相关。
的自相关函数与功率谱密度。
WnXnXm
乙Xn2Xn1Xn2
5.线性系统H(j)的输入为平稳过程x(t),其功率谱为Sx(),设y(t)为输出。
(1)求误差过程e(t)y(t)x(t)的功率谱密度函数Se();
(2)考虑RC电路,设输入为一个二元波过程,求Se()。
R
C—
X(t)Y(t)
6.一个平均电路如下图所示
(1)证明系统的冲激响应函数为
VT,0tTh(t)
⑵设输入过程X(t)的功率谱密度为Sx(),求输出过程Y(t)的功率谱密度。
7.设输入为白噪声过程X(t),其自相关函数为Rx()S0()。
求
(1)系统的冲激响应函数;
⑵输出过程Y(t)的均方值。
8.证明均值为零、自相关函数为Rx()()的白噪声X(t)通过一个理想积分器后输
出方程Y(t);
X(u)du的均方值为2to
9.在习题5所示的RC电路中,设输入过程X(t)的自相关函数为
Rx()2e"
0
求输出过程Y(t)的功率谱密度函数Sy(),自相关函数FY()和均方值yo
10.假设某线性系统如图所示,试用频域分析方法求出:
(1)系统的传输函数;
(2)
(提示:
利用积分
sin2ax
0x2
ai)
当输入是谱密度为So的白噪声时。
输出Z(t)的均方值。
11.随机过程Y(t)满足微分方程
Y(t)3Y(t)2Y(t)X(t)
RX()K()。
证明Y(t)的自相
其中对于任意t,X(t)都为白噪声,其自相关函数
关函数Ry()满足方程
Ry()3Ry()2Ry()0,0
其中,初始条件为Ry(0)K..12,RJ0)0o
12.如下图所示系统中输入X(t)同时作用于两个系统
⑴求输出第⑴和Y2(t)的互谱密度SyiY2();
(2)设X(t)是零均值的具有单位谱高的白噪声,若要使Y(t)和Y^(t)为不相关过程,
h()和h2()应满足什么条件?
13.如下图所示系统中,若已知
at
hi(t)eU(t),a0
并已知输入W(t)是均值为零,谱密度为N。
;
2的高斯白噪声,求输出过程Y(t)的一维
概率密度pY(y)。
随机信号分析习题六
1.分别求下列信号的希尔伯特变换
(1)Si(t)sinot。
(2)s2(t)cosot°
2.试求下列信号的解析信号及复数包络:
(1)指数衰落正弦波
X(t)Aecos[ot(t)]
(2)调幅波
X(t)(1Acost)cosot,=
(3)线性调制波
3.设低频信号a(t)的频谱为
证明当02时,有
H[a(t)cos0t]a(t)sin0t
H[a(t)sin0t]a(t)cos0t
4.试证:
(1)偶函数的希尔伯特变换为奇函数;
(2)奇函数的希尔伯特变换为偶函数。
5.试证:
(1)H[ej0t]jej0t;
⑵H[(t)]〒;
6.设:
?
(t)为x(t)的希尔伯特变换,证明:
(1)x(t)和X\t)在范围t内的功率相等,即
lim—Tx2(t)dtlim-?
^(t)dt
T2TT2TT
(2)在范围t内,x(t)和X(t)是正交的,即
1T
limx(t)X(t)dt0。
T2TT
7.证明下式成立,其中X(t)为平稳随机过程,X%t)为X(t)的解析信号:
(1))2[Rx()jF?
X()];
(2)E[X%t)X%t)]0
8.
X(t)的希
X(t)的解析
一个线性系统输入为X(t)时,相应的输出为Y(t)。
证明若该系统的输入为
尔伯特变换)?
(t),则相应的输出Y(t)的希尔伯特变换为Y?
(t)。
9.证明若加到系统H(j)2U()的输入为X(t),则相应的输出为对应于信号,即
Z(t)X(t)j^(t)
10.设谱密度为No的零均值高斯白噪声通过一个理想带通滤波器,此滤波器的增益为1,
中心频率为fc,带宽为2B。
试求滤波器输出端的窄带过程X(t)及其同相和正交分量
的自相关函数Rx()、Rc()、Rs()。
11.设窄带过程X(t)的功率谱Sx()如图所示,试求:
(1)X(t)的同相和正交分量的功率谱密度。
(2)互谱密度Ssc()。
12.设如图所示系统的输入是谱密度为No的零均值高斯白噪声X(t),在(0,2)上服从
均匀分布,且与X(t)统计独立。
其中两个滤波器的通带分别为(B,B)和
(fo,fo2B),(fo2B,fo)。
(1)求输出过程Y(t)的功率谱密度&
(f)。
(2)求Y(t)的方差。
cos(2fot)
13.零均值平稳窄带噪声Y(t)具有对称功率谱,其相关函数为FY()A()coso,求正
交和同相分量的相关函数民()、Rs()和方差c、s,并求互相关函数Rsc()、
Fcs()。
14.对于零均值,方差为2的窄带平稳高斯过程
Z(t)B(t)cos[ot(t)]
Ac(t)cosotAs(t)sinot
求证:
包络在任意时刻所给出的随机变量Bt其数学期望值与方差分别为
E[Bt]..2,D[B]222。
15.试证:
均值为零、方差为1的窄带平稳高斯过程,其任意时刻的包络平方的数学期望为
2,方差为4。
随机信号分析习题七
1.设{X(t),-t}是均值为零的实正态平稳过程,相关函数为RX(),
(1)证明Y(t)是平稳过程
(2)求相关系数「丫()
2.设{X(t),-t}是均值为零的实正态平稳过程,相关函数为Rx(),
Y(t)X(t),求Y(t)的均值和自相关函数.
3.设{X(t),-t}是均值为零的实正态平稳过程,相关函数为Rx(),功率谱密
度为Sx(),Y(t)X2(t),
(1)求Y(t)的一维概率密度分布.
(2)求Y(t)的二维概率密度分布•
(3)证明Y(t)X(t)也是一个平稳过程.
(4)求Y(t)的功率谱密度.
4.系统输入X(t)是均值为零的实正态平稳随机信号,通过系统输出Z(t)功率谱密度为
()2
2222
1()
(1)
试求X(t)、Y(t)各自的自相关函数
5.信号和噪声X(t)S(t)N(t)同时作用于平方律检波器yf(x)bx2,信号
S(t)acos(ot),其中a和。
为常数,为[02]均匀分布的随机变量,噪声
为零均值的高斯随机过程,相关函数为Rn(),信号和噪声是不相关的,求输出信号的
均值、方差、自相关函数和功率谱•
6.设一非线性系统的传输特性为
x
yaa0
其输入X(t)为零均值的平稳高斯噪声,方差为X,相关函数为RX(),用多项式变换的
矩函数法求输出的自相关函数(多项式展开只取前3项).
7.系统输入X(t)是均值为零,方差为1的高斯白噪声,用特征函数法求非线性系统输出端的自相关函数函数.
yf(x)
bx
系统输入X(t)是均值为零,方差为1的高斯白噪声,通过一线性检波器
用特征函数法求系统输出Y(t)的自相关函数
9.窄带正态随机过程X(t)Atcost,通过平方律检波器
yf(x)bx2
求检波器输出端的均值和方差.
随机信号分析习题八
1.设有三个状态{0,1,2}的马氏链,其一步转移概率矩阵为
3
求foo
(1),foo
(2),foo(3),foi
(1),foi
(2),foi(3).
2.设有三个状态{1,2,3}的马氏链,其一步转移概率矩阵为
pqo
P°
Pqop1,pq1
poq
对n1,2,3,求f12(n)和f13(n).
3•设有三个状态{1,2,3}的马氏链,其一步转移概率矩阵为
44
33
24
求
(1)何时此链具有遍历性
(2)极限分布的各个概率
4.设有三个状态{1,2,3}的马氏链,其一步转移概率矩阵为
o1o
Pqopo1o
判断此链是否具有遍历性.
5.设有两个状态{1,2}的马氏链,其一步转移概率矩阵为
1o
PI
o1
叮叮小文库讨论此链的遍历性和平稳分布•
6.已知独立随机变量序列X1,X2,L,Xn,序列中的各个随机变量分别具有概率密度函数
fx,Xi),fx2(X2),L,fXn(Xn),设
YX1,Y2X1X2,L,YnX1X2LXn,于是构成了一个新的随机
变量序列丫1,丫2丄,Yn,证明序列是一个马尔可夫序列.
7.—积分器的输入为N(t),输出为X(t),
X(t)0N(t)dt
若N(t)是零均值的平稳正态白噪声,功率谱密度为No/2,证明X(t)为一维纳过程.
8.设{X(t),t0}为一个独立增量过程,且X(0)0,若用F(t)表示X(t)的方差函
数
F(t)E{[X(t)E{X(t)}]}
(1)证明X(t)的协方差函数C(t,s)满足
C(t,s)E{[X(t)E{X(t)}][X(s)E{X(s)}]}F[min(s,t)]
⑵对应于泊松过程和维纳过程分别求相应的F(t)和C(t,s).
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 随机 信号 分析 习题