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1)VR的4个重要特征:
multi-sensory多传感器;
immersion(presenee)临场感;
interaction
交互;
autonomy自主性。
2)VR的5个研究内容及关键技术:
动态环境建模技术;
实时3D图形生成技术,最好30帧/s
以上;
立体显示和传感器技术;
VR环境的开发平台(VRT,WTK);
系统集成技术,包括信
息同步技术、模型标定技术等。
7.2仿真理论
要在数字计算机上进行连续系统的仿真,必须先将连续模型变换为离散化的模型,然后迭代递推出要仿真的变量结果。
系统的离散化方法主要分为两大类,即数值积分方法和直
接离散化方法。
7.2.1数值积分法
常用的数值积分方法按递推时所需数据步数分为单步法、多步法和预估衣正方法3种。
(1)单步法
属于单步法的主要有欧拉(Euler)法和龙格—库塔(Runge-Kutta)法。
其中欧拉法最简单,但由于它有明显的几何意义,可以比较清楚地看出其数值解是如何逼近微分方程精确解的。
1)欧拉法
设有一微分方程
y(t)=f(t,y(t)),且y(0)=y°
(7-2-1)
若把式(7-2-1)在某一区间(tn,tn1)上积分,则可得
yni—yn二tnn1f(t,y(t))dt
上式右端积分若以一近似公式代之,即
tnn1f(t,y(t))dt=hfn
其中,h=tn1-tn,即步长。
令fn二f(tn,y(tn)),Yn1二y(tn1),Yn二y(tn),只要h取值比较小,就可以认为:
在该
步长内的导数近似保持前一时刻tn时的导数值fn。
这样用欧拉法离散式(7-2-1)后的递推
公式为
yn1=ynhfn(7-2-2)
因已知y(O)=y°
所以由式(7-2-2)可以求出力,然后求出y,以此类推。
其一般规律即是:
由前—点tn上的数值yn就可以求得后一点tn1上的数值yn1。
这种方法称为单步法。
由
于它可以直接由微分方程已知的初始值y0作为它递推计算时的初值,而不需其他信息,
因此它是一种自启动的算式。
下面用一简单例子说明欧拉法的应用及其数值解与精确解的误差。
【例7.2.1】设一微分方程为y•y2=0,y(0)=1,试用欧拉法求其数值解。
解:
因欧拉法递推公式为yn=ynhfn,现y=-y2,所以f(y^-y2。
若取步长h=0.1,由t=0开始积分,则可得
2
y1=1+(0.1)(-1)=0.9
y2=0.9+(0.1)[-(0.9)2]=0.819
y3=0.819+(0.1)[_(0.819)2]=0.752
yio=0.482
该例的精确解为:
y=1/(1t)。
以上结果与精确解比较如下:
由本例已可看出欧拉法的误差是比较大的
其误差的数量级在10工左右。
t
0.1
0.2
0.3
1.0
精确解
y(t)
1
0.9090909
0.8333333
0.7692307
0.5
数值解
yn
0.9
0.819
0.752
0.482
欧拉法的几何意义为:
对微分方程求解的几何意义为求微分函数曲线下面的面积,
而欧拉离散法是用采样区间的矩形面积代替其实际的曲线下的面积,然后把所有矩形面
积相加得到微分方程的近似解。
见图7.2.1所示。
欧拉法的代数意义为:
微分函数的泰勒级数在tn处展开并保留到一阶。
欧拉法可由给定的初值一直递推,而不需其他信息,直到递推出满足精度要求的结
果为止。
其缺点是精度较低,其误差的数量级在
10°
左右。
2)龙格-库塔法
为得到精度较高的数值积分方法,龙格和库塔两人先后提出了用函数值
f的线性组
合来代替f的高阶导数项,则既可避免计算高阶导数,又可提高数值积分的精度。
其方法如下:
先将精确解
y(t)在
y(tn
tn附近用泰勒级数展开成
-h2••h3-
h)=y(tn)hy(tn)y(tn)y(tn)23!
(7-2-3)
y(tn)
y(tn)二fn-fynfn
yn1二ynhfn(h2/2)(fnfynfn)•
(7-2-4)
为避免计算fn,fyn等导数项,可以令yn出由以下算式表示:
(725)
id
其中r即阶数,bi是待定系数,ki二f(tn•Cjh,yn•hljkjhs=0。
j=i
|_ki=f(tn,yn)=fn
k2二f(tnC2h,yn8我山)
当r=1时,yn+=yn+hfn即欧拉法。
当r=2
(7-2-6)
即2阶龙格一库塔法。
将f(tnC2h,yn-aikih)在(tn,yn)点附近用泰勒级数展开可得
f(tn+C2h,yn+aikih)~f(tn,yn^C2hfn+fynh
(7-2-7)
将式(7-2-6)和式(7-2-7)代入式(7-2-5)则得
yn#=yn+bihki+b2hk2=yn+bihfn+b2h(fn+C2hfn+aifnfynh)
(7-2-8)
式(7-2-4)与式(7-2-8)右端对应项系数相等,则可得到以下关系式:
b|b2=1
b2c2=1/2
b2a1=1/2
因上述方程组中有4个未知数a1,b1,b2,c2,为求解方程组,可先设定一未知数,常用的有
以下几种:
设a1=1/2,则c2=1/2,6=0,b2=1;
设a1=2/3,则c2=2/3,d=1/4,b2=3/4;
设a1=1,则c2=1,切=1/2,b2=1/2。
相应地,2阶龙格-库法有3个常用的递推公式,在实际应用时可取其中任意一个,即
yn^ynhf(tnh/2,ynhfn/2)
yni二yn(h/4)[fn3f(tn2h/3,yn2hfn/3)](7-2-9)
yni二yn(h/2)[fnf(tn-hyhfn)]
2阶龙格-库塔法的几何意义为:
在采样区间内插一个值,然后用插值处的函数值
为高的小矩形面积或在插值处分开的2个小矩形的面积代替其实际的曲线下的面积,然
后把所有矩形面积相加得到微分方程的近似解,如图7.2.2所示。
O
tnhtni
图722龙格佯塔法几何意义示意图
4
阶:
(7-2-11)
其中:
k1=f(tn,yn)
yn1二yn(h/6)(ki2k22k3k4)
2阶龙格-库塔法的代数意义为:
微分函数的泰勒级数在tn处展开并保留到2阶。
下面给出3阶和4阶龙格弄塔法的递推公式,其中
高且编程实现容易而使用最为广泛。
4阶龙格—库塔法由于其精度较
3阶:
yn1二yn(h/4)(k13k3)
(7-2-10)
&
二f(tn,yn)
k2=f(tnh/3,ynk1h/3)k3=f(tn2h/3,yn2k2h/3)
k2=f(tnh/2,ynkih/2)k^f(tnh/2,ynk2h/2)k4=f(tnh,ynhk3)
对于大部分实际问题,4阶龙格-库塔法已可满足精度要求,它的截断误差正比于h5。
龙格-库塔法也可由给定的初值一直递推,而不需其他信息,直到递推出满足精度要求的结果为止。
欧拉法和龙格-库塔法在递推时只需要前一步的y和f值,故称单步法。
在控制系统中,根据实际经验,一般选取采样时间步长为
h=1/(5■■c)
(7-2-12)
「c为系统开环频率特性的剪切频率。
(2)多步法
用多步法求解y「i时,可能需要y及f(t,y)在tn,tn4,t^2,t^^各时刻的值。
1)亚当斯-巴什福思(Adams-Bashforth)显式公式
其递推计算公式如下:
h2f_f
yn^yn(h/2)(3fn-fz)hfn^)
2h
(7-2-13)
它是由泰勒级数向前展开式推导得到的。
y值,需
由于yn1可由yn,fn,fn4等确定,因此是显式解。
但是为了求解一个新的
要f的两个值fn及fnj,因此这一递推式不能从t=0自起步。
一般常用同阶的龙格一库
塔法来启动。
2)亚当斯-莫尔顿(Adams-Moulton)隐式公式和梯形积分法
Adams-Moulton隐式公式的递推公式如下:
yn1=ynhfn1(7-2-14)
它是由向后展开的泰勒级数公式推导得到的。
由于yn1式中包含fn1,而fn1计算时又要用到Yn1,因此,要解出Yn1就要用迭代法。
其步骤是先估算一个yn1,计算fn1,而后用上式求得Yn・1的新估值,重复迭代,
直到前后两次yn1值之间的误差在要求范围内为止。
由于进行多次迭代运算,因此解的精度较高,但费时多。
梯形积分法的递推公式为
yn1二yn(h/2)(fnfn1)
(7-2-15)
这种方法的几何意义比较清楚,它是以梯形面积(h/2)(fn•fn1)来近似原f(t,y)在
tn到tn1之间曲线下的面积。
由于积分公式中需有fn-1项,因此与亚当斯隐式公式类似,
需用迭代运算方法来求解yn1值。
⑶预估我正法
隐式公式一般精度较高,但因其右端包含未知项,所以需要先用另一显式公式估计
一个初值,然后再用隐式公式进行迭代运算(或者说,进行校正),这种方法就称为预估-
校正法。
应用此法时需注意:
显式和隐式公式的阶数要一致。
常用的预估-校正法有:
1)采用欧拉法“预估”,梯形法“校正”。
2)用2阶亚当斯显式和隐式公式组成预估-校正法。
722直接离散化法
直接离散化方法有Z变换法、带有零阶保持器的Z变换法、差分反演法及双线性
变换法等。
数值积分方法把微分方程离散化成不同的迭代算式,其缺点是由于迭代算式中的系数每一步都要重新计算,因此一般计算量比较大,但适于非线性系统的离散化。
而直接用离散化模型代替连续系统数学模型的方法,实质上,就是以常系数差分方程近似“等效”原来的常系数微分方程。
由于差分方程可以直接用迭代方法在计算机上求解,
因此非常方便。
连续系统离散化的含义是:
假设有一连续系统,其输入为u(t),输出为y(t)。
现若
用一周期为h的采样开关将输入、输出分别离散化,要求输出y*(t)在采样时刻的值等于
原输出y(t)在同一时刻的值。
(1)Z变换法
Z变换是现代控制理论中所用到的一种变换,它是把脉冲序列f*(t)的拉氏变换式
F*(s)中的ehs换成Z而后得到的F(Z),我们称之为f*(t)的Z变换。
例如,f*(t)是函数f(t)经采样后的脉冲序列,即
f*(t)二厂f(kh)、(t-kh)
f*(t)的拉氏变换为
*-_khs
F(s)二'
、f(kh)e
令ehs=z,则
匚k
F(Z)二'
f(kh)Z上k=0,1,2,,(7-2-16)
k=0
观察式(7-2-16)可知,ZJ在时域内相当于、;
(t-h),而在采样时刻t=kh则相当于
、:
((k-1)h),所以任何一个函数乘以ZJ,则在时域内相当于将该函数提前一个采样周
期。
例如Z」U在时域内相当于U(k-1)或Uk「注意这里的k-1为(k_1)h的简写。
(2)带有零阶保持器的Z变换
在数字采样系统中,为了使系统在非采样周期也能保持稳定,常常在系统的前面增
加一个保持器,以便使离散型控制信号转换为连续信号。
零阶保持器是一个按常数关系外延的装置,也就是说,零阶保持器使信号在一周期
(h)内保持不变,即使ih时刻的输出值保持到(i+1)h时刻。
其传函为(1-e—sh)/s。
设被控对象为D(s),则
D(Z)
Z[((1-
e^h
)/s)D(s)]
(7-2-17)
【例7.2.2】已知D(s)=a/(s+a),求D(s)带零阶保持器的Z变换。
D(Z)=Z[((1-e^h)/s)D(s)]=
z(!
-sh44
—eash11
)=Z[(1—e)•(——二^)]=
ss+a
(1_ZJ1-1--)=1匸^-
八1_Z^1-e^hZ^1-e^hZ
ah1ah1、
(1—e)Z/(1—eZ)
递推公式:
yn=e3yn4(1-e」h)Xnv(设D(s)=y(s)/x(s))。
(3)差分反演法
设U(s)/E(s)=D(s),用一阶差分近似值来代替所有的导数,用d/dt代替s后再换成
差分表达式:
dE/dt〜[E(k)_E(k_1)]/h;
dU/dt〜[U(k)_U(k_1)]/h
E(k),U(k)分别表示其kh时刻的值。
因E(k-1)=Z二E(k),故可以求得s=(1—ZJ)/h。
于是,差分反演法变换公式为
D(Z)=D(s)|卩丄
s-
h
(7-2-18)
差分反演变换的特点是:
使用比较容易,且不需要将传递函数进行因式分解;
D(s)
稳定则D(Z)也稳定。
【例7.2.3】已知传递函数D(s)=U(s)/e(s)=(1+25s)/(1+62.5s),且h=1s,试用差分
反演法求出数字脉冲传递函数并写出其输出递推公式。
1+25(1—Z」)/h26—25Z」0.40—0.39Z」
D(Z)J1—
1+62.5(1-Z」)/h63.5-62.5Z」1—0.98Z」
其输出递推公式为
U(k)=0.98U(k-1)0.40e(k)-0.39e(k-1)
通过以上两例可以看出,在求Z变换时分子分母都要化成跟Z有关的多项式,因
为ZJ在写递推公式时有实际的物理意义。
如果分子分母都通分成含有Z的多项式,则在写
递推公式时还需重新变成含有z,的多项式形式,多走了一步,较麻烦。
(4)双线性变换法(Tustin变换法)
根据Z变换的定义:
z=ehs=ehs/2/e」s/2
将此展成Taylor级数,并取前两项:
hs/2hs/2
e=1+hs/2;
e=1-hs/2
于是可得
f
1-Z
11+Z
双线性变换公式为
D(Z)二D(s)|2
s二
(7-2-19)
【例7.2.4】已知某连续控制器的传递函数D(s)=(s0.5)/(s-1)2,试用双线性变
解:
勺_Z
(1+Z
5(1_Z」)(1ZJ)0.5(1ZJ)2
*1—Z
112
[5(1-Z)(1Z)]
5.5ZJ-4.5Z2
36-48Z116Z'
=0.1528
_1
10.1818Z
1-1.3333Z」
—0.8182Z,
0.4444Z/
7.3控制系统建模与数字仿真过程
(1)控制系统仿真方法选择策略
在上节介绍的两类控制系统仿真方法中,数值积分类仿真方法相对于直接离散化方法具
有适用于非线性系统的优点,而计算量大则是它的缺点;
直接离散化方法具有计算量小的优
点,只适用于线性系统是它的缺点。
这两类仿真方法的优缺点具有互补性。
在一个标准的反
馈控制系统中,可以利用这两类方法的优缺点,针对被控对象和控制器本身的特性,分别选
择不同的仿真方法进行离散化。
一般情况下,在控制系统中,要求被控对象的数学模型具有较高的精度,所以采用非线
性数学模型,其离散化方法选择数值积分类方法,因为龙格库塔4阶或5阶方法具有较高的
精度,所以作为首选;
控制系统中的控制器主要是自己设计的,要求其结构简单,易于实现,
一般是线性的,选择直接离散化方法是择其计算量小的优点,因为双线性变换方法具有较高
的精度,所以作为首选。
这样,对于控制系统的被控对象和控制器选择了两类不同的仿真方法进行离散化,根据各自的特性充分利用了两类仿真方法的优点,使两类仿真方法共存于一
个控制系统仿真中。
(2)建模仿真工程实现过程
1)根据控制任务、性能指标、完成时间、经费等进行系统全局考虑、分析;
2)对系统未建模部分采用合适的建模方法进行建模,对系统已有模型部分根据本研究情
况进行模型改进;
3)模型仿真,分析模型本身特性;
4)根据系统本身的特性和性能指标要求选择控制算法,并进行控制器设计;
5)系统仿真,得出系统的性能;
6)根据是否满足性能指标要求,确定是否重新建模或进行控制器设计;
7)如满足系统性能要求,则进行系统的软件设计及硬件工程实现,包括软件流程图设计、
选择软件并编程实现、用户图形界面设计、报警实现、外观设计、容错控制、冗余控制、故
障检测等;
8)实践检验建立的数学模型及控制器是否准确;
9)根据检验结果确定是重新修改还是交付使用。
(3)内容分工
1)系统总体设计3〜5人合作,保证前瞻性、先进性、可行性、正确性;
2)理论研究要求正确、周密;
3)仿真研究可撰写1篇论文;
4)软件设计可撰写硕士论文;
5)硬件实现;
6)可靠性考虑(冗余、抗静电、防磁、防水、抗震等)样机;
7)实践可撰写1篇论文;
8)工艺改进及产品化研究技术转让给公司、工厂。
习题
1.已知D(s)=U(s)/e(s)=(1+0.17s”0.085s,试用零阶保持器、差分反演法和双线性变换法
分别写出关于输出U(k)的递推公式,设h=0.2s,并分别给出20个采样周期的值,与真
值比较(设e(t)=1(t)),然后给出其评价。
2.分析上题评价结果,与所希望的结果比较,如果不一致,给出原因。
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