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0.5
=473.9÷
=473.9×
2÷
10
=94.78
(2)12.348÷
0.25或12.348÷
=1234.8÷
25=1234.8÷
=1234.8÷
5÷
5=1234.8×
4÷
=246.96÷
5=4939.2÷
=49.392=49.392
例3:
计算1.25×
0.25×
0.05×
64
根据题目中的数字特点,为了凑整,将64分解成2×
8,然后根据乘法交换律和结合律进行简算。
解:
1.25×
=1.25×
(2×
8)
=(1.28×
8)×
(0.25×
4)×
(0.05×
2)
=10×
1×
0.1
=1
例4:
计算:
9.728÷
3.2÷
2.5
全面观察题目,由运算定律性质改变运算顺序,使运算变得简便。
9.728÷
=9.728÷
(3.2×
2.5)
=9.28÷
(0.8×
[0.8×
(4×
2.5)]
(8×
10)
8
=1.216
巩固练习:
一、填空
1.(3.6×
0.75×
1.2)÷
(1.5×
24×
0.18)=()
2.在口里填上合适的数或运算符号。
(1)4×
1.25×
口×
8=10
(2)4.8÷
0.4÷
0.12=4.8÷
(0.4口0.12)
(3)32×
0.125×
0.25=口×
二、选择
1.选面除法算式商最大的是()。
A.2.021÷
0.08B.2021÷
C.2021÷
0.8D.2.021÷
2.下面的乘法算式积最大的是()
A.999.9×
99.99B.999.9×
999.9
C.9999×
99D.99.99×
99.99
3.C.DE×
A.B=A.CDE是用数字表示的一个小数乘法算式,题种每一个字母表示一个数字,如果A.CDE<C.DE则,A.B这个小数是()
A.1.5B.0.1C.1.1D.0.2
三、计算下列各题。
1、0.99÷
4.5
2、3.6÷
3、0.5×
0.8×
0.04×
0.2×
0.025
4、0.125×
0.5×
5、4.6×
72×
53÷
4.6÷
72÷
53
6、(4.8×
7.5×
8.1)÷
(2.4×
2.5×
2.7)
7、1.25×
64×
3.176×
8、4.27÷
26.8×
3.59÷
42.7×
2.68÷
35.9
9、0.5×
96×
0.125
10、5.6×
16.5÷
0.7÷
1.1
第二讲循环小数
探究目标:
1、能根据循环小数的结构特点,正确解答循环小数问题。
2、提高分析、推理,综合运用知识的能力,正确、迅速解答有关数学问题。
例1有一个三位小数,四舍五入后成为8.70,原来的三位小数可能是哪些小数?
分两种情况考虑:
①四舍;
②五入。
解:
四舍不进位的8.70,那么原来千分位上的数字只能是1,2,3,4所以原数为8.701,8.702,8.703,8.704。
五入进位后的8.70,那么原数百分为上的数字为9,十分位上的数字为6,而千分位上的数字只能是5,6,7,8,9,所以原数为8.695,8.696,8.697,8.698,8.699。
答:
原来的三位小数可能是8.695,8.697,8.698,8.699.8.701,8.702,8.703,8.704。
例2把小数0.987654321变成循环小数。
(1)如果把表示循环节的两个点加载7和1上面,则此循环小数第200位上是几?
(2)如果要第100位上数字是5,那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字上面?
(1)由于循环节的两个点加在7和1上面那么循环节应是7位数。
因为(200-9)÷
7=27……2(即循环节的第二位),所以此循环小数的第200位上的数是6.
(3)由已知可知,第100位上的数字是5,则后面四位的数字应依次是4,3,2,1。
那么(104-9)=95位包含的是若干个完整的循环节。
又因为95=5×
19,所以循环节应是5位,即表示循环节的两个点应加在5或1的上面。
(1)第200位上的数字是6.
(2)表示循环节的两个点因分别在5和1的上面。
例3一个数与它自己相加、相减、相除,其和、差、商相加和为8.6,这个数是几?
一个数与它自己相减的差等于0,一个不等于0的数与它自己相除的商等于1.根据“和、上、差、商相加的和是8.6”这一条件可知
一个数×
2+0+1=8.6
(8.6-1)÷
2=3.8
这个数是3.8。
例4循环小数0.2837564(2837564循环)与0.2837564(2837564循环)在小数后面第几位时,在该位上的数字都是6。
循环小数0.2837564(2837564循环)的循环节是七位与0.2837564(2837564循环)的循环节是五位,7与5的最小公倍数是35,所以两个循环小数在小数点后面第35位上的数字都是6。
例5两个小数相乘,他们的乘积四舍五入后是60.0,这两个数都是一位小数,这两个小数的整数部分都是7,那么两个小数的乘积四舍五入以前是多少?
由题意,可知这两个带小数在7.1到7.9之间,又因为60.0÷
8=7.5,所以这两个数都必须大于7.5,即在7.6到7.9之间。
对此进行逐个检验:
7.6×
7.9=60.04;
7.8=59.28.则这两个小数的乘积四舍五入前是:
60.04.
1、在混循环小数3.62890123(3循环)的某一位上再添一个表示循环的点后,使得:
(1)新的循环小数尽可能大
(2)新的循环小数尽可能小。
分别求出新的循环小数各是多少?
2.甲、乙两个数的和是303.49,若果乙数的小数点向左移动一位就等于甲数,那么甲、乙数各是多少?
3、有一个四位数在他某位数上加以个小数点,在和这个四位数相加得1258.46,问这个四位数是多少?
4、一个小数,若把小数点向右移动一位,所得的数比原数增大了42.84,问原数是多少?
5、循环小数0.28375463(28375463循环)与0.4972163(72163循环)在小数点后几位时,在该位上数字是3?
6.在小数0.7082169453中,添上表示循环节的两个点,使它变成循环小数。
(1)如果把两个点加在8和3的上面,那么第100位的数应该是几?
(2)如果要使第100位上的数字是5,那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字的上面?
第三讲灵活求和差积商
探究目标
1、根据运算定律和性质,运用“凑整”“拆数”“等积变形”改变运算顺序和方法,进行速算和巧算。
2、培养整体观察,综合运用知识及合理灵活的理解能力。
3、养成对任何一个算式,都要作整体观察,全面统筹,深入理解,不盲目硬算,在千变万化的运算过程中,随时注意运用简算,速算的良好习惯。
探究过程
7.46×
36+74.6×
通过整体观察,将6.4扩大10倍,74.6缩小10倍,利用乘法分配律使计算简便。
原式=7.46×
36+7.46×
=7.46×
(36+64)
例2计算:
1240×
3.4+1.24×
2300+12.4×
430
先把题中的1240,1.24和12.4转化为124,然后再想有多少个124.
原式=124×
34+124×
23+124×
43
=124×
(34+23+43)
=12400
例3计算:
43×
11.8+860×
0.91
将860分解成43×
20,43是两个乘法计算的共同因数,利用乘法分配律使运算简便。
原式=43×
11.8+43×
20×
=43×
(20×
0.91)
18.2
(11.8+18.2)
30
=1290
例4计算:
2.3+1.9×
2.5+12.5×
0.4
7.5与2.5互为补救,将2.3拆成1.9+0.4,得7.5×
1.9+7.5×
0.4,利用乘法分配律使运算简便。
原式=7.5×
(1.9+0.4)+2.5×
1.9+12.5×
=7.5×
0.4+2.5×
=(7.5×
1.9+2.5×
1.9)+(7.5×
0.4+12.5×
0.4)
=1.9×
(7.5×
2.5)+0.4×
(7.5+12.5)
=27
例5计算:
0.16×
9.85+264×
0.0985+72×
0.985
先利用积的变化规律,再利用乘法分配律使运算简便。
原式=1.6×
0.985+26.4×
0.985+72×
=0.985×
(1.6+26.4+72)
=98.5
巩固练习
1.152.3×
4.8—4.8×
31.15—4.8×
21.15
2.6.3×
27+1.9×
21
3.2.4×
7.6+6.5×
7.6+0.76+7.6
4.0.0495×
2500+495×
0.24+51×
4.95
6.0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9+99999.9+999999.9
7.15.37×
7.88—9.37×
7.88—15.37×
2.12
8.4.65×
32+2.5×
46.5+0.465×
第四讲数的整除
1.在掌握能被2、3、4、5、7、9、11等特殊数整除特征的基础上,能判断整除,并根据整出性求整数。
2.灵活运用数的整除概念、性质及特征,熟悉数的整除的主要问题及其解题方法和技能技巧。
例1:
在568后面补上三个数字,组成一个六位数,使它能分别被3.、4、5整除,并且要求这个数值尽可能小,这个六位数是多少?
解析:
“首先根据能被5整除数的特征,确定这个六位数的个位是0或5。
根据能被4整除的数的特征:
这个数的未两位数能被4整除,确定这个六位数的个位只能是0,十位可能是0、2、4、6、8。
根据能被3整除的数的特征:
个位上的数字和能被3整除,5+6+8=19,且“这个数尽可能小”,19+2=21,21能被3整除则百位上数字与十位上数字和最小为2,所以百位上数字是0,十位上数字是2.
根据能被3、4、5整除的数的特征判断,这个数最小是568020。
例2:
5月25日是星期六,问在经过200320032003……2003天是星期几?
这道题首先考虑200320032003……2003能否被7整除,或者被7除余数是几。
200320032003
=2003×
100010001
(7×
14287143)
所以,200320032003可以被7整除,从而可以把3个2003看成一“节”,2004÷
3=668,共688节,每一节能被7整除,688节也可以被7整除。
所以再过200320032003……2003天仍然是星期六。
例3:
超市里有6筐货物,分别重16、19、20、18、15、31千克。
两顾客买走其中5箱货物,而且一个顾客的货物重量是另一个顾客的2倍,超市里剩下的那箱货物是多少千克?
由“一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍”,可知,两个顾客买走的5箱货物总量应是(1+2)=3的倍数,6箱的总重量是16+19+20+18+15+31=119(千克)119+3=39……2,因为卖出的5箱货物总量是3的倍数,所以剩下的那箱货物重量除以3应余2,6箱中只有29除以3余2,所以剩下的货物时20千克。
(16+19+20+18+15+31)÷
(1+2)=39……2
20÷
3=6……2
答:
剩下的那箱货物重量是20千克。
1、一个四位数9□2□既有因数2,又是3的倍数,同时又能被5整除。
这个四位数最大是多少?
2、把789连续写几次得到的数,能被9整除,这个数最小是多少?
3、7箱油分别是汽油、柴油、机油,它们的容量分别是12升、13升、16升、17升、22升、27升和32升。
现在知道汽油有一箱,而柴油总量是机油的3倍,但不知哪箱是什么油。
请判断出每只箱里装的各是什么油?
4、一个五位数,能被3整除,而且读这个数时必须读出两个零,这样的五位数最小是什么数?
5、五年级有72名学生每人买了一本《新华字典》。
共交书费□43.5□元。
首位数字被污迹遮盖。
每本新字典多少元?
6、植树节那天,学生把55棵树分给三个班栽,一班分到的棵树是二班的2倍,三班最少,但也多于10棵,这三个班各栽树多少棵?
第五讲质数与合数
1.掌握指数,合数的定义。
2.养成准确掌握数学概念、区分概念和灵活运用概念的良好习惯。
例1:
判断119和227两个数是质数还是合数
先找一个大于119且接近119的平方数a2,再写出比a小的所有质数,然后判断119能否被这些质数整除。
因为119小于11,质数有2.3.5.7。
119是合数。
因为227小于16,小于16的质数有2.3.5.7.11.13。
227不能被2.3.5.7.11.13整除所以227是质数。
A是一个互质数,而且A+6,A+8,A+12,A+14都是互质数,则A最小是多少?
这道题可从最小的质数试算,A=2不可能,因为偶+偶=偶数,不是质数。
A=3,则A=6=9,9是合数,所以A#3,。
A=5,则A+6=11,A+8=13.A+12=17,A+14=19,11、13、17、19都是质数,所以A=5。
试算A=2、A=3、A=5
可知A=5
A最小是5.
例3:
三个质数的和为38,求这三个质数的乘积最大值是多少?
三个质数的和是偶数,所以这三个数中必有一个是偶数,在质数中只有2是偶数,那么三个数中一定有一个质数是2.另外两个数的和是36,要使乘积尽可能大,那么这两个质数尽可能接近。
解:
38=2+17+19
2×
17×
19=646
答:
这三个质数的乘积最大是646。
1、判断437、541是质数还是合数?
2、N是质数,并且N+4、N+6、N+10都是质数,求N最小是多少?
3、两个质数的和为50,求这两个质数的乘积最大是多少?
4、判断299和461两个数是质数还是合数?
5、有这样一个质数,它分别加上2、8、14、26后,得到的仍为质数,这个质数最小是多少?
6、将80分成8个质数的和,要求其中一个质数尽可能大,那么这个最大的质数是多少?
第六讲分解质因数
1.掌握分解质因数的方法,能用质因数的积的形式表示一个合数。
2.灵活运用相关知识解答综合问题。
长、宽均为自然数,面积为105的形状不同的长方形共有多少种?
面积为105,105是长与宽的乘积。
可把105分解质因数,再写成两个自然数相乘的形式。
105=3×
5×
7
=1×
25=5×
21=7×
15
面积为105的形状不同的长方形共有4种。
例:
2:
用216元去买一种拖鞋,正好将钱用完,如果每双拖鞋便宜1元,则可多买3双,钱正好用完,求一共买了多少双拖鞋?
根据单价×
数量=总价,可将总价216元分解质因数,再写成两个数相乘的形式。
216=2×
2×
3×
3
216=(3×
3)×
3)
=(2×
2)×
(3×
=9×
24
=8×
27
一共买了24双拖鞋。
在1×
…×
200的末尾连续有多少个零?
2×
5=10,22×
52=100,23×
53=1000……在相乘的各个因数中,如果把它们分解质因数,产生一个2和一个5,末尾就会出现一个0,在这一串因数中,含有因数2的个数远多于含有因数5的个数。
因此,只需求出乘积中有几个5的因数,就只有几个零。
200÷
5=40(个)
(5×
5)=8(个)
200÷
5)=1(个)……75
40+8+1=49(个)
积的末尾有49个零。
1、学校进行大型团体操表演,用180名学生参加,现在排成每行人数在10至20之间,共有几种排法?
2、刘聪是个小学生,他对妈妈说:
“这才考试(百分制),我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数,结果是5335分。
”你能算出刘聪的名次、年龄与他的考试分数吗?
3、1×
99×
100的末尾有几个0?
4、要是25×
26×
27×
28×
29×
30□积的末五位数都是0,□里填入的自然是最小是多少?
5、把7、14、20、21、28、30这六个数分成两组,每组三个数相乘是它们的积相等,应如何分?
6,商店讲积压的圆珠笔降价到每支不足4角出售,共卖得31.93元,积压的圆珠笔有多少支?
第七讲巧用质因数
1.掌握分解质因数的方法,能用质因数的积的形式表示一个合数。
2.灵活运用相关知识解答综合问题。
解题思路:
任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每一个质数都是这个合数的质因数。
有些数学问题用分解质因数的方法解答,不仅可以简化思路,有利于问题的解决,而且能够锻炼同学们的思维,拓展同学们的解决思路。
甲、乙、丙三个数的乘积是26250.甲数比乙数大5,乙数比丙数大5.求甲、乙、丙各是多少?
如果是中学生做这道题,可以列方程组解答,但是小学生怎么做呢?
题中告诉我们三个数的乘积是26250,这就提示我们尝试用分解质因数的方法分析解答。
26250=5×
=(5×
5)×
7)
=25×
30×
35
正好符合题中的要求。
所以甲数是35,乙数是30,丙数是25。
甲、乙两数的乘积是1728,甲数比乙数大12.两个数分别是多少?
由于甲乙两数的乘积是1728,只要把1728分解质因数即可。
1728=2×
=12×
12×
=(12×
(12×
4)
知道甲数比乙数大12,所以甲数是12×
4=48,乙数是12×
3=36。
144的因数有多少个?
360的因数有多少个?
如果是一个比较小的数,我们可以用一一列举的方法找出这个数的所有因数,但是,144和360这两个数都比较大,因数比较多,要想用一一列举的方法找出它们的所有因数当然比较困难。
这就启发我们思考,还有没有其他更简便的方法。
借助分解质因数地方法,可以更快捷更方便地找出一个数的因数的个数。
144=2×
3=24×
32
所以144的因数有(4+1)×
(2+1)=15(个)
360=2×
5=23×
32×
所以360的因数有(3+1)×
(2+1)×
(1+1)=24(个)
有168颗糖,平均分成若干份,没份不得少于10颗,也不能多于50颗,共有多少种不同的分法?
把168分解质因数:
168=2×
7。
根据每份不得少于10颗,也不能多于50颗得到每份是多少颗,再求出份数。
每份可以是2×
3=12(颗),可以分成168÷
12=14(份);
7=14(颗),可以分成168÷
14=12(份);
每份还可以是2×
7=28(颗),可以分成168÷
28=6(份);
每份还可以是3×
7=21(颗),可以分成168÷
21=8(份);
3=24(颗),可以分成168÷
24=7(份);
7=42(颗),可以分成168÷
42=4(份)。
共有6种不同的分法。
例5:
用2100个棱长1厘米的正方体堆成一个长方体,它的高是1分米用长和宽都大于高。
它的长和宽各是多少?
用2100个棱长1厘米的正方体堆成一个长方体,要知道成的长方体到底有多大,首先要知道长上放几块,因为正方体的棱长是1厘米,那么放几块就是几厘米。
题中告诉我们,堆成的长方体的高是1分米(10厘米),所以高上放了10块,用分解质因数的方法可以求出长和宽上各放了几块。
2100=2×
因为,高是1分米(10厘米),长和宽都大于高,所以2100=2×
7=15×
即:
堆成的长方体是15厘米,宽是14厘米。
它的长是15厘米,宽是14厘米。
例6:
把14,30,33,35,39,75,143,169这八个数平均分成两组,使每组里4个数的乘积相等,求这组数。
依据题意可知,这两组数一定都含相同的因数,因此,可以先把8个数分别分解质因数,然后再根据这8个质因数情况进行分组。
14=2×
739=3×
1330=2×
535=3×
33=3×
11143=11×
1335=5×
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