第章离散数学习题解答Word文件下载.docx
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本命题为原子命题;
p:
天气冷;
q:
我穿羽绒服;
天在下雨;
湿度很高;
刘英上山;
李进上山;
王强学过法语;
刘威学过法语;
你看电影;
我看电影;
我看电视;
我外出;
r:
我睡觉;
天下大雨;
他乘班车上班。
3.将下列命题符号化。
他一面吃饭,一面听音乐。
3是素数或2是素数。
若地球上没有树木,则人类不能生存。
8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
停机的原因在于语法错误或程序错误。
四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
如果a和b是偶数,则a+b是偶数。
他吃饭;
他听音乐;
原命题符号化为:
pqp:
3是素数;
2是素数;
地球上有树木;
人类能生存;
8是偶数;
8能被3整除;
停机;
语法错误;
程序错误;
qrpp:
四边形ABCD是平行四边形;
四边形ABCD的对边平行;
pq。
a是偶数;
b是偶数;
a+b是偶数;
pqr4.将下列命题符号化,并指出各复合命题的真值。
如果3+3=6,则雪是白的。
如果3+36,则雪是白的。
如果3+3=6,则雪不是白的。
如果3+36,则雪不是白的。
是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。
2+3=5的充要条件是是无理数。
(假定是10进制)若两圆O1,O2的面积相等,则它们的半径相等,反之亦然。
当王小红心情愉快时,她就唱歌,反之,当她唱歌时,一定心情愉快。
设p:
336。
雪是白的。
pq;
该命题是真命题。
该命题是假命题。
是无理数;
加拿大位于亚洲;
2+35;
两圆O1,O2的面积相等;
两圆O1,O2的半径相等;
王小红心情愉快;
王小红唱歌;
习题1.判断下列公式哪些是合式公式,哪些不是合式公式。
(pqr)(p(qr)(pq)(rs)(pqrs)(p(qr)(qp)qr)。
是合式公式;
不是合式公式。
2.设p:
天下雪。
我将进城。
我有时间。
将下列命题符号化。
天没有下雪,我也没有进城。
如果我有时间,我将进城。
如果天不下雪而我又有时间的话,我将进城。
pqrqprq3.设p、q、r所表示的命题与上题相同,试把下列公式译成自然语言。
rq(rq)q(rp)(qr)(rq)解:
我有时间并且我将进城。
我没有时间并且我也没有进城。
我进城,当且仅当我有时间并且天不下雪。
如果我有时间,那么我将进城,反之亦然。
4.试把原子命题表示为p、q、r等,将下列命题符号化。
或者你没有给我写信,或者它在途中丢失了。
如果张三和李四都不去,他就去。
我们不能既划船又跑步。
如果你来了,那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。
你给我写信;
信在途中丢失;
(pq)(pq)。
张三去;
李四去;
他去;
pqr。
我们划船;
我们跑步;
(pq)。
你来了;
他唱歌;
你伴奏;
p(qr)。
5.用符号形式写出下列命题。
假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。
我今天进城,除非下雨。
仅当你走,我将留下。
上午下雨;
我去看电影;
我在家读书;
s:
我在家看报;
(pq)(prs)。
我今天进城;
天下雨;
qp。
你走;
我留下;
习题1.设A、B、C是任意命题公式,证明:
AA若AB,则BA若AB,BC,则AC证明:
由双条件的定义可知AA是一个永真式,由等价式的定义可知AA成立。
因为AB,由等价的定义可知AB是一个永真式,再由双条件的定义可知BA也是一个永真式,所以,BA成立。
对A、B、C的任一赋值,因为AB,则AB是永真式,即A与B具有相同的真值,又因为BC,则BC是永真式,即B与C也具有相同的真值,所以A与C也具有相同的真值;
即AC成立。
2.设A、B、C是任意命题公式,若ACBC,AB一定成立吗若ACBC,AB一定成立吗?
若AB,AB一定成立吗?
不一定有AB。
若A为真,B为假,C为真,则ACBC成立,但AB不成立。
若A为真,B为假,C为假,则ACBC成立,但AB不成立。
一定有AB。
3.构造下列命题公式的真值表,并求成真赋值和成假赋值。
q(pq)pp(qr)(pq)(qp)(pq)(rq)r(p(pq)r)(qr)解:
q(pq)p的真值表如表所示。
表pqpqq(pq)q(pq)p00101011101000111111使得公式q(pq)p成真的赋值是:
00,10,11,使得公式q(pq)p成假的赋值是:
01。
p(qr)的真值表如表所示。
表pqrqrp(qr)0000100111010110111110000101111101111111使得公式p(qr)成真的赋值是:
000,001,010,011,101,110,111,使得公式p(qr)成假的赋值是:
100。
(pq)(qp)的真值表如表所示。
表pqpqqp(pq)(qp)00001011111011111111所有的赋值均使得公式(pq)(qp)成真,即(pq)(qp)是一个永真式。
(pq)(rq)r的真值表如表所示。
表pqrqpqrq(pq)(rq)(pq)(rq)r0001000100110001010000010110011110011010101110111100000111100111使得公式(pq)(rq)r成真的赋值是:
000,001,010,011,101,110,111,使得公式(pq)(rq)r成假的赋值是:
(p(pq)r)(qr)的真值表如表所示。
表pqrpqp(pq)(p(pq)rqr(p(pq)r)(qr)0000010100001010000111000101001100001110100101101101使得公式(p(pq)r)(qr)成真的赋值是:
000,001,010,011,101,110,111,使得公式(p(pq)r)(qr)成假的赋值是:
4.用真值表证明下列等价式:
(pq)pq证明:
证明(pq)pq的真值表如表所示。
表pqpq(pq)qpq001010011000100111111000由上表可见:
(pq)和pq的真值表完全相同,所以(pq)pq。
pqqp证明:
证明pqqp的真值表如表所示。
表pqpqpqqp001111011101100010111001由上表可见:
pq和qp的真值表完全相同,所以pqqp。
证明(pq)和pq的真值表如表所示。
表pqpq(pq)qpq001010010101100111111000由上表可见:
p(qr)(pq)r证明:
证明p(qr)和(pq)r的真值表如表所示。
表pqrqrp(qr)pq(pq)r00011010011101010010101111011001101101110111000101111111由上表可见:
p(qr)和(pq)r的真值表完全相同,所以p(qr)(pq)r。
p(qp)p(pq)证明:
证明p(qp)和p(pq)的真值表如表所示。
表pqqpp(qp)pqpqp(pq)00111111010110111011011111110001由上表可见:
p(qp)和p(pq)的真值表完全相同,且都是永真式,所以p(qp)p(pq)。
(pq)(pq)(pq)证明:
证明(pq)和(pq)(pq)的真值表如表所示。
表pqpq(pq)pqpq(pq)(pq)(pq)00100010010110111001101111101100由上表可见:
(pq)和(pq)(pq)的真值表完全相同,所以(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)证明:
表pqpq(pq)pqpq(pq)(pq)0010000010101110011011110000由上表可见:
(pq)和(pq)(pq)的真值表完全相同,所以(pq)(pq)(pq)。
表pqrqrp(qr)qpq(pq)r0000110100111101010110010111100110000110101111111101100111111001由上表可见:
5.用等价演算证明习题4中的等价式。
(pq)(pq)(条件等价式)pq(德摩根律)qpqp(条件等价式)qp(双重否定律)pq(交换律)pq(条件等价式)(pq)(pq)(qp)(双条件等价式)(pq)(qp)(条件等价式)(pq)(qp)(德摩根律)(pq)q)(pq)p)(分配律)(pq)(qp)(分配律)(pq)(qp)(交换律)(pq)(qp)(条件等价式)pq(双条件等价式)p(qr)p(qr)(条件等价式)(pq)r(结合律)(pq)r(德摩根律)(pq)r(条件等价式)p(qp)p(qp)(条件等价式)Tp(pq)p(pq)(条件等价式)T所以p(qp)p(pq)(pq)(pq)(pq)(例(pq)(pq)(德摩根律)(pq)(pq)(德摩根律)所以(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(qp)(双条件等价式)(pq)(qp)(条件等价式)(pq)(pq)(德摩根律)p(qr)p(qr)(条件等价式)(pq)r(结合律)(pq)r(德摩根律)(pq)r(条件等价式)6.试用真值表证明下列命题定律。
结合律:
(pq)rp(qr),(pq)rp(qr)证明:
证明结合律的真值表如表和表所示。
表pqrpq(pq)rqrp(qr)00000000010111010111101111111001101101111111011111111111表pqrpq(pq)rqrp(qr)00000000010000010000001100101000000101000011010001111111由真值表可知结合律成立。
分配律:
p(qr)(pq)(pr),p(qr)(pq)(pr)证明:
证明合取对析取的分配律的真值表如表所示,析取对合取的的分配律的真值表如表所示。
表pqrqrp(qr)pqpr(pq)(pr)0000000000110000010100000111000010000000101110111101110111111111表pqrqrp(qr)pqpr(pq)(pr)0000000000100010010001000111111110001111101011111100111111111111由真值表可知分配律成立。
假言易位式:
证明假言易位式的真值表如表所示。
表pqpqqpqp001111011011100100111001由真值表可知假言易位律成立。
双条件否定等价式:
pqpq证明:
证明双条件否定的真值表如表所示。
表pqpqpqpq001111010100100010111001由真值表可知双条件否定等价式成立。
习题1.用真值表或等价演算判断下列命题公式的类型。
(pq)q(pq)q(条件等价式)(pq)q(德摩根律)q(可满足式)(吸收律)(pq)q(pq)q(条件等价式)(pq)q(德摩根律)F(永假式)(结合律、矛盾律)(pq)pq(pq)pq(条件等价式)(pp)(qp)q(分配律)(qp)q(同一律、矛盾律)(qp)q(条件等价式)(qp)q(德摩根律)T(永真式)(零律、排中律)(pq)q(pq)q(条件等价式)q(可满足式)(吸收律)(pq)(qp)(pq)(pq)(假言易位式)T(永真式)(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)(条件等价式)(pq)(qr)(pr)(德摩根律)(pq)(pqr)(prr)(分配律)(pq)(pqr)(同一律、排中律、零律)(pqrp)(pqrq)(分配律)T(永真式)p(pq)p(pq)(条件等价式)T(永真式)p(pqr)p(pqr)(条件等价式)T(永真式)2.用真值表证明下列命题公式是重言式。
(p(pq)q(p(pq)q的真值表如表所示。
由表可以看出(p(pq)q是重言式。
表pqpqp(pq)(p(pq)q00101011011000111111(q(pq)p(q(pq)p的真值表如表所示。
由表可以看出(q(pq)p是重言式。
表pqpqqq(pq)p(q(pq)p0011111011001110010011110001(p(pq)q(p(pq)q的真值表如表所示。
由表可以看出(p(pq)q是重言式。
表pqpqpp(pq)(p(pq)q000101011111101001111001(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)的真值表如表所示。
由表可以看出(pq)(qr)(pr)是重言式。
表pqrpqqr(pq)(qr)pr(pq)(qr)(pr)0001111100111111010100110111111110001001101010111101000111111111(pq)(pr)(qr)r(pq)(pr)(qr)r的真值表如表所示。
由表可以看出(pq)(pr)(qr)r是重言式。
表pqrpqprqr(pq)(pr)(qr)(pq)(pr)(qr)r0000110100101101010110010111111110010101101111111101000111111111(pq)(rs)(pr)(qs)(pq)(rs)(pr)(qs)的真值表如表所示。
由表可以看出(pq)(rs)(pr)(qs)是重言式。
表pqrspqrs(pq)(rs)prqs(pr)(qs)原公式000011100110001110011000100001100111001100011100110011101110010000110111011100001000110001000110000010010010100100111001101110111010010011111111(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)的真值表如表所示。
表pqrpqqr(pq)(qr)pr(pq)(qr)(pr)00011111001100010100001101101001100010011010001111010001111111113.用等价演算证明题2中的命题公式是重言式。
(p(pq)q(p(pq)q(p(pq)q(pp)(pq)q(pq)qT(q(pq)p(q(pq)p(q(pq)p(q(pq)p(pq)(pq)(pq)(pq)T(p(pq)q(pq)q(pq)qpqqT(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)(pq)(pqr)(prr)(pq)(pqr)(pqrp)(pqrq)T(pq)(pr)(qr)r(pq)(pr)(qr)r(pq)(pq)r)r(pq)r)r(pq)r)r(pq)rrT(pq)(rs)(pr)(qs)(pq)(rs)(pr)(qs)(pq)(rs)(pr)(qs)(pq)(rs)(prq)(prs)(pq)(rs)(prq)(pq)(rs)(prs)(rs)(prqp)(prqq)(rs)(prsp)(prsq)(rs)T)(rs)(pqrs)(rs)(pqrs)(pqrsr)(pqrss)T(pq)(qr)(pr)(pq)(qp)(qr)(rq)(pr)(pq)(qp)(qr)(rq)(pr)(pr)(pq)(pr)(rq)(qr)(qp)(pr)(p(qr)(qr)(rq)(qp)(pr)(qr)(qr)(p(qr)(rq)(qp)(pr)(T(p(qr)(rq)(qp)(pr)p(qr)(rq)(qp)(pr)p(qr)(qp)(pr)(rq)p(qr)(p(qr)(qr)p(qr)p(qr)T4.证明下列等价式:
(pr)(qr)(pr)(qr)(pq)r(pq)r(pq)r(pq)(pq)(pq)(pq)p(qq)pFpp(pq)p(pq)(pp)(pq)F(pq)pq习题1.求下列命题公式的析取范式。
(pq)r(pq)rpqr(pq)r(pq)r(pq)rpqrp(pq)p(pq)(pp)(pq)pq(pq)(qr)(pq)(qr)q(pr)(pq)(rt)(pq)(rt)(pqr)(pqt)2.求下列命题公式的合取范式。
(pq)(pq)pqq(pqr)(qp)(qq)(qr)(qp)(qr)(pq)(pq)(pq)p)(pq)q)(pp)(qp)(pq)(qq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)r(pq)r(pq)rpqr3.求下列命题公式的主析取范式,并求命题公式的成真赋值。
(pq)(pr)作(pq)(pr)的真值表,如表所示。
表pqrpqpr(pq)(pr)000000001000010000011000100000101011110101111111由真值表可知,原式(pqr)(pqr)(pqr)(主析取范式)5,6,7使得命题公式(pq)(pr)成真的赋值是:
101,110,111。
(pq)(pr)(pq)(pr)(pq)(pr)(pqp)(pqr)pqr(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(主析取范式)1,2,3,4,5,6,7使得命题公式(pq)(pr)成真的赋值是:
001,010、011,100,101,110,111。
(pq)(pq)作(pq)(pq)的真值表,如表所示。
表pqpqpqpq(pq)(pq)0011100011011110011111100001由真值表可知:
原式(pq)(pq)(pq)(主析取范式)1,2,3使得命题公式(pq)(pq)成真的赋值是:
01,10,11。
(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pqp)(pqq)pq(pq)(pq)(pq)(主析取范式)0,2,3使得命题公式(pq)(pq)成真的赋值是:
00,10,11。
(p(qr)(p(qr)(p(qr)(p(qr)(pq)(pr)(pq)(pr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(主析取范式)使得命题公式(p(qr)(p(qr)成真的赋值是:
000,111。
4.求下列命题公式的主合取范式,并求命题公式的成假赋值。
(pq)r(pq)r(pqr)(pqr)(pr)(pr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)0,2,4,5,6使得命题公式(pq)r成假的赋值是:
000,010,100,101,110。
表pqpq(pq)qpq(pq)(pq)0010110011001010011111110001由真值表可知:
原式(pq)(pq)0,1使得命题公式(pq)(pq)成假的
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