数值分析参考答案第二章Word下载.docx
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0.6)
X1
0.5)
Li(x)f(xOh(x)f(X2)〔2(x)
6.93147(x0.6)5.10826(x0.5)
^(0.54)0.62021860.620219
l°
(x)
xj(x
X0)(X1
J(x)
(X2
X0)(X2
若采用二次插值法计算In0.54时,
50(x0.5)(x0.6)
100(x0.4)(x0.6)
50(x0.4)(x0.5)
L2(x)f(X0)I°
(X)f(xj1(x)f(X2)J(x)
(1/60);
若函数表具有5位有效数字,研
L2(0.54)0.615319840.615320
3.给全cosxOx90'
的函数表,步长h1
究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。
解:
求解cosx近似值时,误差可以分为两个部分,一方面,x是近似值,具有5位有效数
字,在此后的计算过程中产生一定的误差传播;
另一方面,利用插值法求函数cosx的近似
值时,采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。
因此,总误差界的计算应综
合以上两方面的因素。
当0:
x901时,令f(x)cosx
1p1
取x00,h(y
606018010800
令xx0ih,i0,1,...,5400
则x540090
当xXk,xk1时,线性插值多项式为
J(x)fg—口
XkXk1
f(Xk1)—
Xk
XXk
1Xk
插值余项为
R(x)cosxL1(x)
2f()(X
Xk)(XXki)
又:
在建立函数表时,表中数据具有
5位有效数字,且COSX0,1
故计算中有误差传播
过程。
(f
(Xk))
1105
R2(x)
(Xk»
:
Xk
Xxk1
(Xk))「(Xk1X
h
(Q
(Xk))(
总误差界为
RR(x)R^(X)
-(COS)(XXk)(X
(XXk)(Xk1
X)
(2h)2
1.0610
Xk1
105
0.50106
4.设为互异节点,求证:
(1)
xxk1
Xk1Xk
XXk)
Xk1)
(2)
k
(XjX)lj(x)
证明
令f(x)Xk
"
J;
(f(Xk))
(k0,1,1]n);
0(k0,1,|||,n);
n
若插值节点为Xj,j0,1,|||,n,则函数f(x)的n次插值多项式为Ln(x)x:
lj(x)。
j0
f(n1)()插值余项为Rn(x)f(x)Ln(x)nl(x)
(n1)!
11又}kn,
f(n1}()0
R(x)0
nx:
lj(x)xk(k0,1,川,n);
n⑵(Xjx)klj(x)j0
nn(C?
xj(x)ki)lj(x)j0i0
nn
Ck(x)ki(xjlj(x))
i0j0
II
又車0in由上题结论可知
x:
lj(x)xi
原式C:
(x)kixi
i0
(xx)k
得证。
5设f(x)Ca,
b且f(a)
f(b)
0,求证:
1maxf(x)_(b
axb8
a)2max
axb
f(x).
令x0a,为
b,以此为插值节点,
则线性插值多项式为
x
L,x)f(x°
为f(xjxx0
X。
xx
…、x
bxa
-f(a)
.f(b)-
abxa
又;
f(a)f(b)
J(x)0
插值余项为R(x)
f(x)J(x)2f(x)(xXo)(xxj
f(x)
又*(x
1(x4(x14(b
2f(x)(xxo)(xXi)
xo)(xXi)
Xo)
)2
a)2
max
1(b
6.在4x
截断误差不超过
x)
a)2maxif(x)
4上给出f(x)ex的等距节点函数表,若用二次插值求
ex的近似值,要使
106,问使用函数表的步长h应取多少?
若插值节点为x1,xi和xi1,则分段二次插值多项式的插值余项为
R(x)3!
f()(XXi1)(xx)(xXi1)
3!
1(XXi1)(x
x)(xx1)max
f(x)
设步长为
h,即xi1xi
h,Xi1Xih
!
e42h3
63.3
24h3.
27
若截断误差不超过106,
R2(x)106
—e4h3106
h0.0065.
7•若yn2n,求4yn及
4
yn.,
根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
yn2
yn
(E
1)4yn
(
1)
j
E4
jYn
y4nj
24jYn
(21)4Yn
Yn
2n
11
(E^E2)4yn
(E2)4(E1)4Yn
24
EYn
Yn2
2门2
8.如果f(x)是m次多项式,记
f(x)f(xh)f(x),证明f(x)的k阶差分
f(x)(0
km)是mk次多项式,并且
m1
f(x)0(l为正整数)。
函数f(x)的Taylor展式为
其中(x,xh)
f(x)是次数为m的多项式
f(m1)()0
f(x)f(xh)f(x)
f(x)h1f(x)h2-jm^f(m)(x)hm
f(x)为m1阶多项式
(f(x))
f(x)为m
2阶多项式
依此过程递推,得kf(x)是mk次多项式
mf(x)是常数
当I为正整数时,
m1f(x)0
9•证明
(fkgk)
fkgk
gk1fk
fk1gk1
fkgk
fkgk1
gk1(fk
1fk)
fk(gk1
gk)
得证
n1
10.证明
fngn
f0g0
gk1
证明:
由上题结论可知
fkgk(fkgk)gkifk
((fkgk)gk1fk)
n1n1
(fkgk)gk1fk
k0k0
(fkgk)fk1gk1fkgk
|H(fngnfn1gn1)
(f1g1f°
g°
)(f2g2仏」
fngn^0
11•证明2yjyny。
yj
(yj1
yj)
y1yo)
(y2
ynyo
12.若
ao
时III
an1X
Xj
0,0k
n2;
j1f
(Xj)
no1,k
-f(x)有个不同实根
X1,X2,||
yj|||(yn%i)
xn
且
f(x)a0a-|X
anXn有n个不同实根x「x2,川,xn,
f(x)an(x
n(x)(x
nk
nXj
j1f(Xj)
n(x)
HI
n(Xj)
(Xj
令g(x)
X1,X2,|||,Xn
lb
an1X
anX
xj(xX2)I(x
Xi)(xX2)川(x
j1ann(xj)
X2)(xX3)(x
Xn)
Xn)(XXj(XX3)|||(X
(XXi)(XX2)(x
Xi)(XjX2)(Xj
Xn1)
XjJ(XjXj)(Xj
1n(Xj)
j1n(xj)
g0x2,an
lH,Xn
0,0
kn2;
13.证明n阶均差有下列性质:
(1)若F(x)cf(x),则FXo,x1J||,Xncf心冷卅,x;
(2)若F(x)f(x)g(x),则F心咅川帆fXo,Xi,M,XngXoM卅,Xn•
f(xj)
Xjl)(XjXji^||(XjXn)
FXi,X2,川,Xn
j0(XjXo川|(Xj
F(xj)
(XjXn)
Xji)(XjXji)
Cf(xj)
(XjXo)Xji)(Xj__Xji)|||(XjXn)
C(jo(X
Xo)川(XjXji)(XjXji)卅(Xj
CfXo,Xi」||,Xn
⑵;
F(x)f(x)g(x)
FXoJ||,Xn
F(xj)
jo(XjXo^||(XjXji)(XjXji^||(XjXn)
f(xj)g(xj)
j0(XjX。
川|(XjXjJ(XjXji)|||(Xj人)
Xji
Xji)(XjXji)(XjXn))
+
jo(Xj
fXo,|
Xo)|||(Xj||,Xng
Xji)(Xj
Xoj||,Xn
i4.f(x)
74
xx3x
i,求F
20,2iJ||,
-f(x)
XX
3xi
若x2i,i
O,i,川,8
27及F20,2i^|,28。
jo(XjXo)(Xj
g(xj))
Xji)(XjXn)
数值分析参考答案(第二章)
则fXo"
,川,Xn
f(8)()
fXo,Xi,川,X8—8f^0
15•证明两点三次埃尔米特插值余项是
R3(x)f⑷()(xXk)2(XXki)2/4!
(Xk,Xki)
若X[Xk,Xki],且插值多项式满足条件
H3(xJf(xQ,H3(Xk)f(Xk)
出仇1)f(Xki),H3(Xki)f(Xki)
插值余项为R(X)f(x)H3(x)
由插值条件可知R(xk)R(xki)0
且R(Xk)R(XkJ0
—22
R(x)可写成R(x)g(x)(xXk)(xXki)
其中g(x)是关于X的待定函数,
现把X看成[xk,xki]上的一个固定点,作函数
(t)f(t)H3(t)g(x)(tXk)2(tXki)2
根据余项性质,有
(Xk)0,(Xki)0
22
(X)f(X)H3(x)g(x)(XXk)(XXki)
f(x)H3(x)R(x)
(t)f(t)H3(t)g(x)[2(tXk)(tXki)2(tXki)(tXk)]
(Xk)0
(Xk1)0
由罗尔定理可知,存在(xk,x)和(x,xkJ,使
(1)0,
(2)0
即(X)在[xk,xk1]上有四个互异零点。
根据罗尔定理,(t)在(t)的两个零点间至少有一个零点,
故(t)在(xk,xk1)内至少有三个互异零点,
依此类推,⑷(t)在(xk,xkJ内至少有一个零点。
记为(Xk,Xki)使
(4)()f(4)()H3(4)()4!
g(x)0
又;
H3(4)(t)0
f⑷()
g(x),(Xk,XkJ
4!
其中依赖于x
分段三次埃尔米特插值时,若节点为xk(k0,1,川,n),设步长为h,即
XkX0kh,k0,1,川,n在小区间[兀入』上
R(x)丄¥
(xXk)2(xXk#
R(x)
£
|f⑷()(xXk)2(xXk1)2
](x兀)2区1x)2maxf⑷(x)4!
1XXkxk1X、2、2亦2a
—4"
h4maxfs)(x)
24axb'
丿
h41384axb
maxf⑷(x)
)]max
f⑷(x)
16
.求一
个次数不高于4
次的多
P(0)P(0)
0,P
(1)P
(1)0,P
(2)
利用埃米尔特插值可得到次数不咼于
4的多项式
0,X11
y。
0,y11
m°
0,叶1
H3(x)yj
j(x)mjj(x)
(x)(12
XX0)(XX1)2
X0X1X0X1
项式P(x),使它
(12x)(x1)2
1(x)(12jj
X1xoX1xo
(32x)x2
o(x)x(x1)2
i(x)(x1)x
H3(x)(32x)x(x1)x
2x2
设P(x)
H3(x)A(xxo)(x
xi)2
其中,A
为待定常数
(P
(2)
P(x)
x32x2Ax2(x1)2
从而P(x)
122
/(x3)
17.设f(x)
1/(1x2),在5x5上取n10,按等距节点求分段线性插值函数
Ih(x),
计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)值,并估计误差。
右x05,x105
则步长h1,
Xixoih,i0,1,川,10
在小区间[xi,x1]上,分段线性插值函数为
(x1r(xxk
Ih(x)与f(x)的值为
当X
4.5时,
3.5时,
2.5时,
1.5时,
0.5时,
误差
各节点间中点处的
0.0471,Ih(x)0.0486
0.0755,Ih(x)0.0794
0.1379,Ih(x)0.1500
0.3077,Ih(x)0.3500
0.8000,Ih(x)0.7500
maxf(x)Ih(x)
xXXi1
h2
—maxf(
85x5
f(X)
1X2
2x
(1x2)
6x22
(1x2)3
24x24x3
2\4(1X)
令f(x)0
得f(x)的驻点为Xi,21和x30
f(Xi,2)2,f(X3)2
maxf(x)
5x5
18•求f(x)x2在[a,b]上分段线性插值函数lh(x),并估计误差。
在区间[a,b]上,xoa,Xnb,hiXi1Xi,i0,1,川,n1,
hmaxhi
0in1
*f(x)X
函数f(x)在小区间[X,Xj』上分段线性插值函数为
lh(x)
jf(Xi)
XiXi1
Xxi
X1X
f(Xi1)
[Xi(Xi1X)Xi1(XXi)]
hi
误差为
maxf(x)lh(x)
XxXi12
°
f(x)X2
f(X)2x,f(x)
maxf(x)|h(x)
19•求f(x)x4在[a,b]上分段埃尔米特插值,并估计误差。
在[a,b]区间上,Xoa,Xnb,hiXi1Xi,i0,1,川,n1,
4x3
令h°
max1hi
*f(x)x4,f(x)
函数f(x)在区间[xi,xi1]上的分段埃尔米特插值函数为
lh(x)(^^)2(12^^)f(x)
xx1x!
为
(丄3(12「±
)f(Xii)
XiXXXii
(^2L±
)2(xXi)f(x)
XX1
(XXi)2(xXii)f(Ni)
XiX
f(X)lh(x)
又tf(x)X
h4h4max-0inii6i6
f⑷(x)4!
24
20.给定数据表如下:
0.25
0.30
0.39
0.45
0.53
Yj
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条插值,并满足条件:
(i)S(0.25)i.0000,S(0.53)0.6868;
⑵S(0.25)S(0.53)0.
hoX1Xo
o.o5
h1
X2X1
o.o9
X3X2
o.o6
h3
X4X3
o.o8
i«
j1
hj
♦
hj1
hj'
j
5
3
1—7
2—'
3—'
41
14
9
;
~72
—'
o
f
Xo,X1
f(X1)
f(Xo)
o.954o
Xo
X1,X2
o.8533
X2,X3
o.7717
X3,X4
o.715o
(1)S(Xo)
1.oooo,s(X4)
o.6868
do
6(f
X1,X>
fo)
5.52oo
ho
di
6亠亠
hohi
4.3157
d2
6^3
hih2
d3
6fX3,X4fX2,X3
h2h3
3.2640
2.4300
d4—(f4fx3,x4)2.1150
由此得矩阵形式的方程组为
32
-2-
55
求解此方程组得
M02.0278,M11.4643
三次样条表达式为
将Mo,M1,M2,M3,M4代入得
6.7593(0.30x)34.8810(x0.25)310.0169(0.30x)10.9662(x0.25)
x0.25,0.30
2.7117(0.39x)31.9098(x0.30)36.1075(0.39x)6.9544(x0.30)
x0.30,0.39
S(x)33
2.8647(0.45x)2.2422(x0.39)10.4186(0.45x)10.9662(x0.39)
x0.39,0.45
1.6817(0.53x)31.3623(x0.45)38.3958(0.53x)9.1087(x0.45)
x0.45,0.53
M。
M4
⑵S(x。
)0,S(X4)0
d02f00,d14.3157,d23.2640
d32.4300,d42f40
040
由此得矩阵开工的方程组为
求解此方程组,
M20.8616,M31.0304,M40
S(x)Mj
(Xj1x)3
~6hj
(XXj)3
6hj
Wj
Mjhj2)Xjix
6)hj
(yji
Mjihj2)xXj~~6)hj
将M°
Mi,M2,M3,M4代入得
10(0.3x)10.9697(x0.25)
6.2697(x0.25)3
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- 数值 分析 参考答案 第二