专题53 等比数列及其前n项和届高考数学一轮复习学霸提分秘籍原卷版Word格式文档下载.docx

专题53 等比数列及其前n项和届高考数学一轮复习学霸提分秘籍原卷版Word格式文档下载.docx

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3.等比数列的性质

已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.

（1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·

al＝am·

an.

（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，

ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.

（3）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.

【微点提醒】

1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·

an}（c≠0），{|an|}，{a

}，

也是等比数列.

2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×

”）

（1）等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.（　　）

（2）三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.（　　）

（3）数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝

.（　　）

（4）数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.（　　）

【教材衍化】

2.（必修5P53A1

（2）改编）已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝

，则公比q等于（　　）

A.－

B.－2C.2D.

3.（必修5P54A8改编）在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.

【真题体验】

4.（2019·

天津和平区质检）已知等比数列{an}满足a1＝1，a3·

a5＝4（a4－1），则a7的值为（　　）

A.2B.4C.

D.6

5.（2018·

北京卷）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于

.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（　　）

A.

fB.

fC.

fD.

f

6.（2015·

全国Ⅰ卷）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________.

【考点聚焦】

考点一　等比数列基本量的运算

【例1】

（1）（2017·

全国Ⅲ卷）设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.

（2）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝

，S6＝

，则a8＝________.

【规律方法】　1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.

2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；

当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝

【训练1】

（1）等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则S4＝（　　）

A.9B.15C.18D.30

（2）（2017·

北京卷）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则

＝________.

考点二　等比数列的判定与证明

【例2】已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

（2）若S5＝

，求λ.

【规律方法】　1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；

若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.

【训练2】（2019·

广东省级名校联考）已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.

（1）证明：

{Sn－n＋2}为等比数列；

（2）求数列{Sn}的前n项和Tn.

考点三　等比数列的性质及应用

【例3】

（1）等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（　　）

A.12B.10C.8D.2＋log35

（2）已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝（　　）

A.40B.60C.32D.50

【规律方法】　

1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·

an＝ap·

aq”，可以减少运算量，提高解题速度.

2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.

【训练3】

（1）（2019·

菏泽质检）在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是（　　）

A.－2B.－

C.±

D.

（2）（一题多解）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若

＝3，则

【反思与感悟】

1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.

2.

（1）方程思想：

如求等比数列中的基本量.

（2）分类讨论思想：

如求和时要分q＝1和q≠1两种情况讨论，判断单调性时对a1与q分类讨论.

【易错防范】

1.特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况.

2.Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列（例如：

当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；

当q≠－1或q＝－1时且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列），但等式（S2n－Sn）2＝Sn·

（S3n－S2n）总成立.

【核心素养提升】

【数学运算】——等差（比）数列性质的应用

1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：

理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.

2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.

类型1　等差数列两个性质的应用

在等差数列{an}中，Sn为{an}的前n项和：

（1）S2n－1＝（2n－1）an；

（2）设{an}的项数为2n，公差为d，则S偶－S奇＝nd.

【例1】

（1）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a

＝0，S2m－1＝38，则m＝________.

（2）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d＝________.

类型2　等比数列两个性质的应用

　在等比数列{an}中，

（1）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则an·

am＝ap·

aq；

（2）当公比q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列（n∈N*）.

【例2】

（1）等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于（　　）

A.6B.5C.4D.3

（2）设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于（　　）

B.－

C.

类型3　等比数列前n项和Sn相关结论的活用

（1）项的个数的“奇偶”性质：

等比数列{an}中，公比为q.

若共有2n项，则S偶∶S奇＝q.

（2）分段求和：

Sn＋m＝Sn＋qnSm（q为公比）.

【例3】

（1）已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.

（2）已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列

的前5项和为________.

【分层训练】

【基础巩固题组】

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为（　　）

A.8B.9C.10D.11

2.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2

，则2a7＋a11的最小值为（　　）

A.16B.8C.2

D.4

3.（2019·

上海崇明区模拟）已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝3a3，则S5＝（　　）

A.1B.5C.

4.（2017·

全国Ⅱ卷）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：

“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？

”意思是：

一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（　　）

A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏

5.（2019·

深圳一模）已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·

3n－1＋b，则

＝（　　）

A.－3B.－1C.1D.3

二、填空题

6.等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，

a3，2a2成等差数列，则

7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1（n∈N*），则通项an＝________.

8.（2018·

南京模拟）已知数列{an}中，a1＝2，且

＝4（an＋1－an）（n∈N*），则其前9项的和S9＝________.

三、解答题

9.（2018·

全国Ⅲ卷）等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.

（1）求{an}的通项公式；

（2）记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m.

10.已知数列{an}中，点（an，an＋1）在直线y＝x＋2上，且首项a1＝1.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{bn}的前n项和为Tn，请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值.

【能力提升题组】

20分钟）

11.已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得T1>

1的n的最小值为（　　）

A.4B.5C.6D.7

12.数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a

＋a

＋…＋a

等于（　　）

A.（3n－1）2B.

（9n－1）

C.9n－1D.

（3n－1）

13.（2019·

华大新高考联盟质检）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3a11＝2a

，且S4＋S12＝λS8，则λ＝______.

14.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋λ（λ为常数）.

（1）试探究数列{an＋λ}是不是等比数列，并求an；

（2）当λ＝1时，求数列{n（an＋λ）}的前n项和Tn.

【新高考创新预测】

15.（创新思维）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ea1＋a2＋a3.若a1>

1，则下列选项可能成立的是（　　）

A.a1<

a2<

a3<

a4B.a1＝a2＝a3＝a4

C.a1>

a2>

a3>

a4D.以上结论都有可能成立