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二、平移、旋转题
例2(湖北孝感)如图,在平面直角坐标系中,先把梯形ABCD向左平移6个单位长度得到梯形A1B1C1D1.
(1)请你在平面直角坐标系中画出梯形A1B1C1D1;
(2)以点C1为旋转中心,把
(1)中画出的梯形绕点C1顺时针方向旋转
得到梯形A2B2C2D2,请你画出梯形A2B2C2D2.
三、动手操作题
例3(浙江省)如图1,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图2),量得他们的斜边长为10cm,较小锐角为30°
,再将这两张三角纸片摆成如图3的形状,但点B、C、F、D在同一条直线上,且点C与点F重合(在图3至图6中统一用F表示)
(图1)(图2)(图3)(图4)(图5)(图6)
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决.
(1)将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置,使点B与点F重合,请你求出平移的距离;
(2)将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°
到图5的位置,A1F交DE于点G,请你求出线段FG的长度;
(3)将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置,AB1交DE于点H,请证明:
AH﹦DH
练习:
1.(内江)把一张正方形纸片按如图7两次后,再挖去一个小圆孔,那么展开后的图形应为()
2(福建福州)为创建绿色校园,学校决定对一块正方形的空地进行种植花草,现向学生征集设计图案.图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计,使正方形和所画的图弧构成的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形.种植花草部分用阴影表示.请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案.
提示:
在两个图案中,只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种,例如:
图①、图②只能算一种.
旋转变换在解题中的应用
当条件比较分散时,可通过旋转变换把分散的条件集中在一个三角形,其中旋转的角度是构图的关键.通常把图形旋转到特定的位置或是特殊的角度,当三角形绕某一顶点旋转90°
时,可出现等腰直角三角形,当三角形绕某一顶点旋转60°
时,可出现等边三角形.于是可把陌生问题转化为熟悉问题,把复杂问题转化为简单问题.
一、三角形旋转到特殊位置
例1如图1,在△ABC中,∠ACB=90°
,∠A=25°
,以点C为旋转中心将△ABC旋转α角到△A1B1C的位置,使B点恰好落在A1B1上.求旋转角α的度数.
二、三角形旋转90度
例2如图2,P为正方形ABCD内一点,若PA=a,PB=2a,PC=3a(a>0),求:
(1)∠APB的度数;
(2)正方形ABCD的面积.
三、三角形旋转60度
例3如图3,在凸四边形ABCD中,∠ABC=30°
,∠ADC=60°
,AD=DC.证明:
BD2=AB2+BC2.
与旋转变换有关的作图问题
与旋转有关的作图问题既具有开放性又具有探索性,它的基本特征是根据题意设计几种不同的方案,从而解决实际问题;
或者设计不同的图案,体会数学的异样性,解题的关键是充分发挥想像力和动手能力,当然也夹杂着一些计算能力、推理能力的考查.
例1图中的方格图均是由边长为1的正方形组成的,请你通过图形变换将图中阴影部分的图形割补成一个正方形.
例2如图,已知四边形纸片ABCD,现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片.如果限定裁剪线最多有两条,能否做到:
_______(用“能”或“不能”填空).若填“能”,准确定裁剪线的位置,并说明拼接方法;
若填“不能”,请简要说明理由.
________________________________________________________________________
题图答图
旋转与证明
1.如图,已知正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且AF平分∠DAE.求证:
AE=DF+BE.
2.如图,在正方形ABCD的边BC,CD上分别有点E,F,∠EAF=45°
,AH⊥EF.
求证:
(1)AH=AB;
(2)猜想EF与BE、DF的关系并给出证明.
3.如图,正方形ABCD中,AB=
,点E、F分别在BC、CD上,且∠BAE=30°
,∠DAF=15°
,求△AEF的面积.
4.如图,正方形被两条与边平行的线段EF,GH分割成四个小矩形,P是EF与GH的交点,若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍,试确定∠HAF的大小并证明你的结论.
5.已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°
,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.
(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:
;
(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,
(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?
如果不成立请写出理由,如果成立请证明;
(3)如图③,已知∠MAN=45°
,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用
(2)得到的结论)
旋转之后巧计算
学习了弧长的计算公式及扇形面积的计算公式,我们可以解决有关的计算问题.但在中考试题中出现了一些旋转型计算问题,需要我们认真分析,探究解题的技巧.
一、旋转后求弧长
例1.如图1,一块边长为10cm的正方形木板ABCD,在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转到A′B′C′D′的位置时,顶点B从开始到结束所经过的路径长为( )
A.20cmB.
cmC.
cmD.
cm
例2.如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=60°
,AC=
cm,将△ABC绕点B旋转到△A′BC′的位置,且使点A,B,C′三点在同一条直线上,则点A经过的最短线路的长度是______.
二、旋转后求面积
例3.如图4,把直角△ABC的斜边AB放在定直线l上,按顺时针的方向在直线l上转动两次,使它转到△A2B2C2的位置,设AC=
,BC=1,则顶点A运动到点A2的位置时,点A所经过的路线与直线l围成的面积为________.
三、旋转后求圈数
例4.如图5,
(1)把⊙O放在一条长度等于其周长的线段上,从一个端点无滑动的滚动到另一个端点,⊙O将转动______周.
(2)如图6,若把⊙O放在边长等于其周长的正三角形ABC上,沿着A
B
C
A的线路无滑动一周回到原来的位置,则⊙O将转动几周?
说明理由.
旋转答案
例1
(1)D;
(2)D.例2解析:
解决画图题的方法就是利用“对应点到旋转中心的距离相等、对应点到旋转中心连线所成的角相等”的性质,找出图形关键点旋转后的位置,而后顺次连线,即作出所需图形。
(1)如图4。
(2)S四边形AA1A2A3=S四边形BB1B2B3-S△BAA1=(3+5)2-4×
×
3×
5=34,故四边形AA1A2A3的面积为34。
(3)结论:
AB2+BC2=AC2。
例3解析:
这是旋转类试题的新题型,把旋转前后的图形都给出,而后展开思维、想象,用语言叙述变换过程,一般变换过程的方法不唯一。
下面提供方法供参考:
方法一:
将△ABC以点C为旋转中心,按逆时针方向旋转90°
得到△A1B1C,再将△A1B1C向右平移3个格就得到△DEF;
方法二:
将△ABC向右平移3个格得到△A1B1C1,再将△A1B1C1以点C1为旋转中心,按逆时针方向旋转90°
就得到了△DEF;
方法三:
将△ABC以点B为旋转中心,按逆时针方向旋转90°
得到△A1BC1,再将△A1BC1向下平移4个格得到△A2B2C2,再将△A2B2C2向右平移7个格就得到了△DEF;
方法四:
将△ABC以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转90°
得到△AB1C1,再将△AB1C1向下平移4个格得到△A2B2C2,再将△A2B2C2向下平移5个格就得到了△DEF。
(2)答案不唯一,如:
方法一:
如图6建立直角坐标系,则点D(0,0)、E(2,-1)、F(2,3);
方法二:
如图7建立直角坐标系,则点D(-2,0)、E(0,-1)、F(0,3)。
例4解析:
由旋转的特征知PA/=PA=6,P/B=PC=10,∠P/AB=∠PAC,由△ABC是正三角形ABC,则∠BAC=600,从而∠P/AP=600,所以△P/AP是正三角形,所以P/P=6cm,∠APP/=600;
在△P/BP中,P/P=6cm,P/B=10,PB=8,由勾股定理的逆定理知△P/BP是直角三角形,∠BPP/=900,从而∠APB=1500。
分析:
本题阅读是前提,理解期中的内容、思想和方法是关键,通过阅读明确旋转对称图形的本质含义.由此进行合理的“模仿”与“迁移”.并注意与范例进行比较,防止出错.
例1解:
(1)①假②真;
(2)①、③;
(3)①如正五边形,正十五边形;
②如正十边形,正二十边形
点评:
阅读理解题是近几年中考中的一道亮丽风景,通常给出一段文字背景材料,或提供解答某一问题的全过程,或给出一部分新知识,要求考生在阅读的基础上,用归纳的方法从具体、特殊的事实中探究其存在的规律,把潜藏在表面现象中的本质挖掘出来,为解决后面的问题得启迪.
阅读理解题是题型,它能从不同的角度很好考查学生的阅读理解能力、数据处理能力、文字概括能力、联想猜想、探索发现能力,反映了课改理念,是今后命题的趋向.
例2分析:
(1)欲解答这一问题,就要正确看清平面直角坐标系中的图形;
(2)结合平移、旋转知识画出符合要求的图形.
解:
如图
利用网格特征进行图形的平移、旋转变换,进而设计出一些图案,是中考中的一个热点,在学习时应注意这方面题型的训练.
例3分析:
图3中的两个三角形是矩形中的两部分,且是全等的两部分,抓住此即可解题.
(1)图形平移的距离就是线段BC的长
又∵在Rt△ABC中,斜边长为10cm,∠BAC=30,∴BC=5cm,
∴平移的距离为5cm.
(2)∵∠
,∴∠
,∠D=30°
∴∠
.(1分)
在RtEFD中,ED=10cm,∵FD=
,
∵
cm.
(3)△AHE与△
中,∵
∴
,即
又∵
,∴△
≌△
(AAS).
.
中考中有很多实际操作题,但是考试中有时候不可能实际操作,这就需要同学们在平时动手,培养自己的实践操作能力.
答案:
1.C
2.解:
以下为不同情形下的部分正确画法,答案不唯一.
例1分析:
将△ABC旋转到点B落在A1B1上的特殊位置时,即确定了旋转角α的大小.于是∠A1BB1是平角,它是解题的切入点,通过平角可列方程求出角α.
解:
∵△ABC≌△A1B1C(旋转前后的图形全等).
∴∠A=∠A1且CB=CB1.
∵∠ADC=∠A1DB,∴∠A1BD=α.
在△ABC中,∠ABC=90°
-25°
=65°
∵∠BCB1=α(对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角).
∴∠CBB1=
(180°
-α)
∵点A1、B、B1在同一直线上,
∴α+65+
(180-α)=180.
解之得α=50°
思考例1中,若∠A=θ,那么α与θ有何数量关系?
(答:
α=2θ)
例2分析:
三条已知的线段PA、PB、PC具有一个共公顶点,且它们不能构成三角形.但是当把△ABP按顺时针方向旋转90°
后,即会出现等腰直角三角形,于是PA旋转后的线段与PC构成了一个新的三角形.
(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°
得△CBQ.
则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB.
于是PB=QB=2a,PQ=
=2
a.
在△PQC中,∵PC2=9a2,PQ2+QC2=9a2.
∴PC2=PQ2+QC2.∴∠PQC=90°
∵△PBQ是等腰直角三角形,
∴∠BPQ=∠BQP=45°
故∠APB=∠CQB=90°
+45°
=135°
(2)∵∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°
=180°
∴三点A、P、Q在同一直线上.
在Rt△AQC中,AC2=AQ2+QC2=(a+2
a)2+a2=(10+4
)a2.
故S正方形ABCD=
AC2=(5+2
思考例2中,如果把△CBP绕点B逆时针方向旋转90°
得△ABM,怎样解以上问题?
(1)△PBM是等腰直角三角形,且由勾股定理的逆定理得∠APM=90°
;
(2)过点B作BN⊥AP,垂足为N.则PN=BN=
,于是在△ABN中可求出边长AB的平方,即得正方形的面积.)
例3分析:
所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形.因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中.
证:
连接AC.
∵AD=DC,∠ADC=60°
∴△ADC是等边三角形.
故将△DCB绕点C顺时针方向旋转60°
时可得△ACE.连接BE.
于是△DCB≌△ACE且CB=CE,∠BCE=60°
∴△BCE是等边三角形,∴BC=BE,∠CBE=60°
∵∠ABC=30°
,∴∠ABE=90°
故AB2+BC2=AB2+BE2=AE2=BD2.
例1分析:
由于要拼成的正方形的面积为“5”(由5个小正方形组成),则正方形的边长为
,而
=
.
①连接A1A3、A1A5;
②将△A1A2A3绕A3沿顺时针方向旋转90°
③将△A1A5A6绕A5沿逆时针方向旋转90°
;
④将小正方形A1A6A7A8先向左平移2个单位,再向上平移1个单位.则四边形A1A3A4A5即为所求的正方形.
例2析解:
如图,取四边形ABCD各边的中点E、G、F、H连接EF、GH,则EF、GH为裁剪线.EF、GH将四边形ABCD分成1、2、3、4四个部分,拼接时,图中的1不动,将2、4分别绕点H、F各旋转180°
,3平移,拼成的四边形满足条件.
图形变换前后面积不变是解决此类问题的切入点.
参考答案
1.考点:
正方形的性质;
全等三角形的判定与性质;
旋转的性质。
专题:
证明题。
延长CB到G,使BG=DF,连接AG,易证△ADF≌△ABG,得∠5=∠G,∠1=∠3,进而证明∠FAB=∠EAG,进而证明AE=EB+BG=EB+DF.
解答:
证明:
延长CB到G,使BG=DF,连接AG(如图)
∵AD=AB,∠D=∠ABG=90°
∴△ADF≌△ABG(SAS),
∴∠5=∠G,∠1=∠3,
∵∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∴∠2+∠4=∠3+∠4,
即∠FAB=∠EAG,
∵CD∥AB,
∴∠5=∠FAB=∠EAG,
∴∠EAG=∠G,
∴AE=EB+BG=EB+DF.
2.考点:
全等三角形的判定与性质。
证明题;
探究型。
(1)求证AH=AB,无法直接证明三角形ABE和AHE全等,那么可构建全等三角形来求解.将正方形ABCD顺时针旋转90°
,AD和AB重合,从而根据旋转的性质及全等三角形的判定不难求得结论;
(2)要求EF,BE,DF的关系,可以通过全等将BE,DF转化为EH,HF来求解.
(1)如果,将正方形ABCD以A为顶点,以AD为边顺时针旋转90°
与AB重合.设旋转后的正方形为AD1C1B1那么B与D1重合.且E1,B,E三点共线.
由旋转的性质可知∠E1AF=90°
,AF=AE1
∴∠E1AE=90°
﹣45=45°
=∠EAF.
三角形AE1E和AEF中,
∵∠E1AE=∠EAF,AF=AE1,AE=AE,
∴△AE1E≌△AFE.
∵AH,AB为两三角形对应边EF,E1E上的高,
∴AH=AB.
(2)由
(1)得,AH=AB.
在直角三角形AHF和AFD中,
∵AH=AB,AF=AF,
∴△AHF≌△ADF(HL).
∴HF=DF.
由
(1)得出的全等三角形可知:
BE=EH.
∴EF=EH+HF=BE+DF.
3.考点:
计算题。
将△ADF绕A点顺时针方向旋转90°
到△ABG的位置,得到△ABG,求证:
△AEF≌△AEG,要求△AEF的面积求△AEG即可,且AB为底边上的高,EG为底边.
到△ABG的位置,
∴AG=AF,∠GAB=∠FAD=15°
∠GAE=15°
+30°
=45°
∠EAF=90°
﹣(30°
+15°
)=45°
∴∠GAE=∠FAE,又AE=AE,
∴△AEF≌△AEG,∴EF=EG,
∠AEF=∠AEG=60°
在Rt△ABE中,AB=
,∠BAE=30°
∴∠AEB=60°
,BE=1,
在Rt△EFC中,∠FEC=180°
﹣(60°
+60°
)=60°
EC=BC﹣BE=
﹣1,EF=2(
﹣1),
∴EG=2(
﹣1),S△AEG=
EG•AB=3﹣
∴S△AEF=S△AEG=3﹣
4.考点:
矩形的性质。
转化思想。
作出辅助线BM,AM,FH,把求∠HAF的度数转化为求其全等三角形的对应角∠MAF的度数.
如图,连FH,延长CB到M,使BM=DH,连接AM,
∵Rt△ABM≌Rt△ADH,
∴AM=AH,∠MAB=∠HAD,
∴∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90°
如图设正方形边长为a,AG=m,GP=n,则FC=a﹣n,CH=a﹣m,
因为面积是二倍所以列式得到:
a2﹣(m+n)a+mn=2mn,
在直角三角形FCH中FH2=(a﹣n)2+(a﹣m)2,将上面的式子联立得到:
FH2=MF2=(m+n)2,即得到FH=MF,
∵AF=AF,AH=AM,
∴△AMF≌△AHF,
∴∠MAF=∠HAF,
∴∠HAF=∠MAF=45°
本题考查的全等三角形的证明,考查了正方形对边平行且各内角均为90°
的性质,构建△DAH的全等三角形△BAM并进行求证是解本题的关键.
5.考点:
勾股定理。
(1)由三角形全等可以证明AH=AB,
(2)延长CB至E,使BE=DN,证明△AEM≌△ANM,能得到AH=AB,
(3)分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,然后分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCE,设AH=x,则MC=x﹣2,NC=x﹣3,在Rt△MCN中,由勾股定理,解得x.
(1)如图①AH=AB.(1分)
(2)数量关系成立.如图②,延长CB至E,使BE=DN.
∵ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°
∴Rt△AEB≌Rt△AND.(3分)
∴AE=AN,∠EAB=∠NAD.
∴∠EAM=∠NAM=45°
∵AM=AM,
∴△AEM≌△ANM.(4分)
∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高,
∴AB=AH.(5分)
(3)如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,
∴BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°
分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,
由
(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD.
设AH=x,则MC=x﹣2,NC=x﹣3,
在Rt△MCN中,由勾股定理,得MN2=MC2+NC2
∴52=(x﹣2)2+(x﹣3)2(6分)
解得x1=6,x2=﹣1.(不符合题意,舍去)
∴AH=6.(7分)
本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断,不是很难
例1.析解:
正方形木版ABCD在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转的过程中,正方形的每一点在作以点D为圆心的圆周运动,所以点B所经过的路径是以点D为圆心,以BD长为半径,以B,B′为端点的一段圆弧(如图2),其半径为
cm,圆心角为90°
,所以弧长为
(cm).故选D.
例2.
析解:
点A经过的最短路线是以B为圆心,AB为半径,圆心角为∠ABA′的扇形BAA′的弧长.
因为AB=
,∠ABA′=180°
-∠A′BC′=150°
所以点A经过的最短路线的长度是
(cm).
例3.析解:
本题旋转了两次,第一次是以B为圆心,AB为半径转了120°
(因为tan∠ABC=
,∠ABC=60°
),第二次以C″为圆心,BC″为半径转了90°
,所以点A经过的路线与直线l所围成的面积为
S=S扇形BAA′+S△A′BC+S扇形C″A′A″
例4.析解:
第
(1)问比较简单,结论是⊙O将转动1周.本题是真实目的是在第
(2)问上.
⊙O的初始位置有OA⊥AC,当它按题意要在AB上滚动时,⊙O必须先绕A点转动一个角β,使其半径OA⊥AB,显然∠β是∠A的补角,∠β=180°
-∠
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