1996年考研数学三真题与全面解析Word文件下载.docx
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X
~N(,0.92)容量为
9
的简单随机样本,得样本均值X5,则未
知参数
的置信度为
0.95的置信区间为___________.
二、选择题(本题共
5小题,每小题
3分,满分15分.每小题给出的四个选项中
只有一项符
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内
2d
cos
rsin)rdr
累次积分
f(rcos
可以写成
()
dy
yy2
f(x,y)dx
y2
(A)
(B)
f(x,y)dx
(C)
dx
(D)
x
f(x,y)dy
f(x,y)dy
下述各选项正确的是
(
)
若
un2和
vn2都收敛,
则
(un
vn)2收敛
n1
n
uv收敛,则
u2与
v2都收敛
nn
若正项级数
un发散,则un
若级数
un收敛,且un
vn(n
),则级数
vn也收敛
设n阶矩阵A非奇异(n
2),
A是矩阵A的伴随矩阵,则
(A)
A
n2
2
(4)
设有任意两个
维向量组
1,
m和1,
m,若存在两组不全为零的数
1,
m
和k,
k
m
使(
k)
k
0,则
m和1,
m都线性相关
m都线性无关
m,
m线性无关
m线性相关
已知
P(B)
1且P[A1
A2B]
P(A1
B)
P(A2
B),则下列选项成立的是(
P[
A1
A2
B]
P(A2B)
(B)PA1BA2BP(A1B)P(A2B)
(C)PA1A2P(A1B)P(A2B)
(D)PBPA1P(BA1)P(A2)P(BA2)
三、(本题满分6分)
g(x)
ex
设f(x)
x
0,其中g(x)有二阶连续导数,且g(0)1,g(0)1.
0,
(1)求f(x);
(2)讨论f(x)在(,)上的连续性.
四、(本题满分6分)
设函数z
f(u),方程
是x,y的函数,其中f(u),
(u)可
u
dt
确定
pt
y
微;
p(t),
(u)连续,且(u)
1.求p(y)z
p(x)z.
五、(本题满分6分)
xex
计算0(1ex)2dx.
六、(本题满分
5分)
设f(x)在区间[0,1]上可微,且满足条件f
(1)
22
xf(x)dx.试证:
存在
(0,1)使
f()f()
0.
七、(本题满分6分)
设某种商品的单价为
p时,售出的商品数量
Q可以表示成Q
a
c,其中a、b、
p
b
c均为正数,且abc.
(1)求p在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.
(2)要使销售额最大,商品单价p应取何值?
最大销售额是多少?
八、(本题满分6分)
求微分方程dyyx2y2的通解.
dxx
九、(本题满分8分)
0100
1000
设矩阵A.
00y1
0012
(1)已知A的一个特征值为3,试求y;
(2)求矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵.
十、(本题满分8分)
设向量1,2,,t是齐次线性方程组AX0的一个基础解系,向量不是方程组
3
AX0的解,即A0.试证明:
向量组,1,2,,t线性无关.
十一、(本题满分
7分)
假设一部机器在一天内发生故障的概率为
0.2,机器发生故障时全天停止工作
若一周5
个工作日里无故障
可获利润
10万元;
发生一次故障仍可获得利润
5万元;
发生两次故障所
获利润0元;
发生三次或三次以上故障就要亏损
2万元.求一周内期望利润是多少
?
十二、(本题满分
6分)
考虑一元二次方程x2
BxC
其中B、C分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次
先后出现的点数.求该方程有实根的概率
p和有重根的概率
q.
十三、(本题满分
假设X,X
是来自总体X的简单随机样本;
EXk
a(k1,2,3,4).
12
证明:
当n充分大时,随机变量Zn
Xi2
近似服从正态分布
并指出其分布参数.
ni
4
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
【答案】
x1lny
【解析】方法1:
方程x
yy两边取对数得lnx
lnyy
ylny,再两边求微分,
lny
1dy
xlny
0.
xlny1
方法2:
把x
yy变形得x
eylny,然后两边求微分得
dxeylnyd
ylny
yy
lnydy
x1
dy,
由此可得
dx.
C
【解析】由
xf(x)dx
arcsinx
C,两边求导数有
xf(x)
1x2
于是有
x2dx
1x2dx2
f(x)
x2d
C.
【答案】c
0(或ax02
c),
b任意
【解析】对yax2
c两边求导得y
2ax
b,y
b,
所以过x0,y0
的切线方程为
y0
2ax0
bx
x0,即
yax02
bx0
c
bxx0.
又题设知切线过原点
0,0
把x
0代入上式,得
ax02
2ax02
bx0,即ax02
c.
5
由于系数a
0,所以,系数应满足的关系为
c),b任意.
T
【答案】1,0,0,0
【解析】因为A是范德蒙行列式,由ai
aj知A
aiaj0.根据解与系数矩阵
秩的关系,所以方程组ATX
B有唯一解.
根据克莱姆法则,对于
易见D1A,D2D3
Dn
xn1
所以ATX
B的解为x1
1,x2
0,即
1,0,0,,0.
【相关知识点】克莱姆法则:
若线性非齐次方程组
a11x1
a12x2
a1nxn
b1,
a21x1
a22x2
a2nxn
b2,
an1x1
an2x2
annxn
bn.
或简记为
j1
aijxj
bi,
i1,2,
n
其系数行列式
a11
a12
a1n
D
a21
a2n
0,
an1
an2
ann
则方程组有唯一解
xj
Dj
j
1,2,,n.
其中Dj是用常数项b1,b2,
bn替换D中第j列所成的行列式,即
6
a1,j
b1
a1,j
a2,j
b2
a2,j
.
an,j1
bn
【答案】(4.412,5.588)
【解析】可以用两种方法求解:
(1)已知方差
0.92,对正态总体的数学期望
进行估计,可根据
因X
N(
0.9
),设有n个样本,样本均值X
1n
Xi,
ni1
有X
0.92
),将其标准化,由公式X
E(X)~N(0,1)得:
D(X)
~N(0,1)
由正态分布分为点的定义
可确定临界值u,
P
进而确定相应的置信区间(xu
xu
).
(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值的置信区间问题.
由教材上已经求出的置信区间xu
其中P
U
U
N(0,1),可以直接得出答案.
方法1:
由题设,1
0.95,可见
0.05.查标准正态分布表知分位点u
1.96.本
题n
9,
5,因此,根据P{X
1.96}0.95,
有
P{
1.96}
0.95
即
P{4.412
5.588}
7
故
的置信度为0.95
的置信区间是(4.412,5.588).
由题设,
P{U
u}
P{u
(u
)10.95,
(u)
0.975
查得u1.96.
0.92,n9,
代入(x
)得置信区间
(4.412,5.588).
【答案】(D)
由题设知,积分区域在极坐标系
rcos,y
rsin
中是
r,|0
0r
cos,
1与x轴在第一象限所围成的
即是由x
y2
平面图形,如右图.
由于D的最左边点的横坐标是
0,最右点的横坐标是
下边界方程是y
0,上边界的方程是y
xx2
O
从而D
21x
的直角坐标表示是
Dx,y|0x1,0yxx2,
故(D)正确.
采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为
D1
r,
|0
0
rsin,
而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分
(C)中的积分区域是正方形
x,y|0
x1,0
所以,他们都是不正确的.故应选(D).
【答案】(A)
【解析】由于级数
vn2都收敛,可见级数
un2
vn2收敛.由不等式
2unvnun2
vn2
8
及比较判别法知级数
2unvn收敛,从而
2unvn收敛.
2unvn,即级数unvn
2收敛,故应选(A).
又因为unvn
设un12,vn1n1,2,
11
设unnn2n1,2,
可知(B)不正确.
可知(C)不正确.
vn
n1,2,,可知(D)不正确.
设un
注:
在本题中命题(D)“若级数
vn(n1,2,),则级数
vn也收敛.”
不正确,这表明:
比较判别法
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- 1996 考研 数学 三真题 全面 解析