高中数学数列知识点总结精华版Word文档下载推荐.docx
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⑥无界数列:
对于任何正数M,总有项
a使得anM.
1、已知
*
a2(nN)
n156
,则在数列{}
a的最大项为__(答:
25
);
2、数列{}
a的通项为
an
an,其中a,b均为正数,则an与an1的大小关系为___(答:
bn1
aan1);
2
3、已知数列{a}中,a是递增数列,求实数的取值范围(答:
3);
ann,且{}nnn
4、一给定函数yf(x)的图象在下列图中,并且对任意a(0,1),由关系式an1f(an)
*得到的数列{}
a满足an1an(nN),则该函数的图象是()(答:
A)
eord完美格式
二、等差数列
1、等差数列的定义:
如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,
那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。
即
ann且.(或an1and(nN*)).
1d(nN*,n
2)
a
2、
(1)等差数列的判断方法:
①定义法:
an1and(常数)an为等差数列。
②中项法:
2an1anan2an为等差数列。
③通项公式法:
ananb(a,b为常数)an为等差数列。
2(A,B为常数)an为等差数列。
④前n项和公式法:
snAnBn
如设{a}是等差数列,求证:
以b
n=
a1a2an
nN*为通项公式的数列{b}为
等差数列。
(2)等差数列的通项:
aand或anam(nm)d。
公式变形为:
ananb.
1
(1)
其中a=d,b=a1-d.
如1、等差数列{a}中,a1030,a2050,则通项an(答:
2n10);
2、首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______
(答:
8
3
d3)
n(aa)n(n1)
(3)等差数列的前n和:
1
S,Sna1d。
公式变形为:
nn
22
sn
An
Bn
d
,其中A=2
1,an,s
a.注意:
已知n,d,a
,B=
n中的三者可以求
另两者,即所谓的“知三求二”。
如数列{a}中,
aa(n2,nN),
a,前n项和
15
S,则
a=_,n=_(答:
a13,n10);
(2)已知数列{}
a的前n项和
1n
S12nn,
求数列{|a|}的前n项和Tn(答:
T
2*
12nn(n6,nN)
n12n72(n6,nN)
).
(4)等差中项:
若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且
ab
A。
2
提醒:
(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:
a、d、n、an及
S,其中a1、d称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,
即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为⋯,
a2d,ad,a,ad,a2d⋯(公差为d);
偶数个数成等差,可设为⋯,
a3d,ad,ad,a3d,⋯(公差为2d)
7.等差数列的性质:
(1)当公差d0时,等差数列的通项公式
aanddnad是关于n的一
1
(1)1
次函数,且斜率为公差d;
前n和
n(n1)dd
Snadn(a)n是关于n的二次
n11
222
函数且常数项为0.等差数列{an}中,
Sn
n
是n的一次函数,且点(n,
)均在直线y=
x
d
+(a1-
)上
(2)若公差d0,则为递增等差数列,若公差d0,则为递减等差数列,若公差
d0,则为常数列。
(3)对称性:
若an是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之
和.当mnpq时,则有
amaaa,特别地,当mn2p时,则有
npq
aa2a.
mnp
如1、等差数列{a}中,Sn18,anan1an23,S31,则n=____(答:
27);
2、在等差数列
a中,a100,a110,且a11|a10|,Sn是其前n项和,则A、
S1,S2S10都小于0,S11,S12都大于0B、S1,S2S19都小于0,S20,S21都大于
0C、
S1,S2S5都小于0,S6,S7都大于0D、S1,S2S20都小于0,S21,S22
都大于0(答:
B)
(4)项数成等差,则相应的项也成等差数列.即ak,km,km,...(,*)成等差.若
aa2kmN
{an}、{bn}是等差数列,则{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常数)、{apnq}(p,qN)、
2).,⋯也成等差数列,而{a}
S,SS,SS(公差为nda成等比数列;
若{an}是
n2nn3n2n
等比数列,且0
a,则{lgan}是等差数列.
如等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为。
225)
(5)在等差数列{a}中,当项数为偶数2n时,s();
ssnd
奇
s1
偶
s
.
项数为奇数2n1时,s2n1(2n1)an;
ssa1
偶;
。
如1、在等差数列中,S11=22,则a6=______(答:
2);
2、项数为奇数的等差数列{a}中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的
中间项与项数(答:
5;
31).
(6)单调性:
设d为等差数列an的公差,则
d>
0an是递增数列;
d<
0an是递减数列;
d=0an是常数数列
A
(7)若等差数列{a}、{bn}的前n和分别为An、Bn,且()
fn
B
,则
a(2n1)aA
nn2n1
b(2n1)bB
f(2n1)
如设{
a}与{bn}是两个等差数列,它们的前n项和分别为Sn和Tn,若
S3n1
n,那么
T4n3
b
___________(答:
62
8n7
)
(8)设al,am,an为等差数列中的三项,且al与am,am与an的项距差之比
l
m
=
(≠-1),则am=
ala
.
(9)在等差数列{a
n}中,Sn=a,Sm=b(n>m),则Smn=
(a-b).
8、已知an成等差数列,求sn的最值问题:
①若a0,d<
0且满足
0,
n,则sn最大;
②若a0,d>
n,则sn最小.
“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和;
“首负”的递增等
差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。
法一:
由不等式组
0a
或
确定出前多少项为非负(或非正);
法二:
因等差数列前n项是关于n的二次函数,故可转
化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性
nN。
上述两种方法是运用了哪种数学
思想?
(函数思想),由此你能求一般数列中的最大或最小项吗?
如1、等差数列{a}中,
a125,
SS,问此数列前多少项和最大?
并求此最大值。
917
前13项和最大,最大值为169);
2、若{a}是等差数列,首项
a10,a2003a20040,
a2003a20040,则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是(答:
4006)
(10)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,
且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意:
公共项仅是公共的项,其项
数不一定相同,即研究
ab.
nm
三、等比数列
1、等比数列的有关概念:
如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常
n(或
数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫等比数列的公比。
即(*,2)
qN
qn)
(*
N
为常数),其中q0,an0或
2、等比数列的判断方法:
定义法n1(
aa
n1n
(n2)。
如1、一个等比数列{
a}共有2n1项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则an1
为____(答:
5
6
a中,Sn=4an1+1(n2)且a1=1,若bnan12an,求证:
数列{bn}
是等比数列。
3、等比数列的通项:
aaq或
aaq。
如设等比数列{}
a中,a1an66,a2an1128,前n项和Sn=126,求n和公比
q.(答:
n6,
q或2)
4、等比数列的前n和:
当q1时,
Sna;
S
aq
1
(1)
1q
aaq
如等比数列中,q=2,S
99=77,求
a3aa(答:
44)
699
提醒:
等比数列前n项和公式有两种形式,为此在求等比数列前n项和时,首先要判断
公比q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比q是否为1时,要对
q分q1和q1两种情形讨论求解。
5、等比中项:
如果a、G、b三个数成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,即G=ab.
不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个ab。
如已知两个正数a,b(ab)的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为
______(答:
A>B)
(1)等比数列的通项公式及前n项和公式中,涉及到5个元素:
a、q、n、an
及
S,其中a1、q称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2
个,即知3求2;
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为⋯,
2,,a,aq,aq
⋯(公比为q);
但偶数个数成等比时,不能设为⋯
3,,aq,aq
,⋯,
因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为
q。
如有四个数,其中前三
个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三
个数的和为12,求此四个数。
(答:
15,,9,3,1或0,4,8,16)
6、等比数列的性质:
(1)对称性:
若an是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.
即当mnpq时,则有am.anap.aq,特别地,当mn2p时,则有
am.anap.
如1、在等比数列{}
a中,a3a8124,a4a7512,公比q是整数,则a10=___(答:
512);
2、各项均为正数的等比数列{a}中,若
a5a69,则
logalogaloga
3132310
10)。
(2)若{an}是公比为q的等比数列,则{|an|}、{a
n}、{kan}、{
}也是等比数
列,其公比分别为|q|}、{q
2}、{q}、{
q
}。
若{}{}
a、b成等比数列,则{anbn}、{}
成等比数列;
若{}
a是等比数列,且公比q1,则数列Sn,S2nSn,S3nS2n,⋯也
当q1,且n为偶数时,数列
S,SS,SS,⋯是常数数列0,
它不是等比数列.若an是等比数列,且各项均为正数,则logaan成等差数列。
若项数
为3n的等比数列(q≠-1)前n项和与前n项积分别为S1与T1,次n项和与次n项积分别
为S
2与T2,最后n项和与n项积分别为S3与T3,则S1,S2,S3成等比数列,T1,T2,
T3亦成等比数列
如1、已知a0且a1,设数列{x}满足
logaxn1loaxgn(nN*),且
x1x2x100100,则
xxx.(答:
101102200
100
100a);
2、在等比数列{}
a中,Sn为其前n项和,若S3013S10,S10S30140,则S20
的值为______(答:
40)
(3)单调性:
若
a10,q1,或a10,0q1则{an}为递增数列;
若a10,q1,
a10,0q1则{an}为递减数列;
若q0,则{an}为摆动数列;
若q1,则{an}为
常数列.
1n1n,这里ab0,但a0,b0,
(4)当q1时,aqb
Sq
这是等比数列前n项和公式的一个特征,据此很容易根据
S,判断数列{an}是否为等比数
列。
如若{a}是等比数列,且S3r,则r=(答:
-1)
(5)
mn
SSqSSqS.如设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,
mnmnnm
若
SSS成等差数列,则q的值为_____(答:
-2)
1,,2SSS成等差数列,则q的值为_____(答:
nnn
(6)在等比数列{a}中,当项数为偶数2n时,S偶qS奇;
项数为奇数2n1时,
S奇aqS偶.
(7)如果数列{}
a既成等差数列又成等比数列,那么数列{an}是非零常数数列,故常数
数列{a}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
如设数列an的前n项和为Sn(nN),关于数列an有下列三个命题:
①若
2,
an(,则an既是等差数列又是等比数列;
②若Snanbna、bR
a1nN
)n
则an是等差数列;
③若
S11,则an是等比数列。
这些命题中,真命题的序号
是(答:
②③)
⑧等差数列中,Sm+n=Sm+Sn+mnd;
等比数列中,Sm+n=Sn+qm=Sm+q
nSmS
n;
四、难点突破
1.并不是所有的数列都有通项公式,一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一.已
知一个数列的前几项,这个数列的通项公式更不是唯一的.
2.等差(比)数列的定义中有两个要点:
一是“从第2项起”,二是“每一项与它前一项
的差(比)等于同一个常数”.这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存
在,而“同一个常数”则是保证至少含有3项.所以,一个数列是等差(比)数列的必要非充
分条件是这个数列至少含有3项.
3.数列的表示方法应注意的两个问题:
⑴{a
n}与an是不同的,前者表示数列a1,
a2,⋯,an,⋯,而后者仅表示这个数列的第n项;
⑵数列a1,a2,⋯,an,⋯,
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