初中数学竞赛专题三角形文档格式.docx
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,。
、。
分别在边BC、C4上,并且”、BQ分别是ABAC.ZABC的角平分线.求证:
BQ+AQ=AB+BP.
解析延长AB到D,使BD=BP,连结QP.易知ZABC=80°
所以ZQBC=400=ZACB,AC=AQ+QC=AQ+QB.
因N83P=ZBPO=」ZA3C=40。
=ZACB.所以AADPgAACP,2
ac=ad=ab+bd=ab+bp.
于是3Q+A0=A5+8P.
12.1.5★★设等腰直角三角形ABC中,。
是腰AC的中点,E在斜边8C上,并且AE_L3O.求证:
ZBDA=ZEDC.
解析如图,作&
AD的平分线AF,F在3D上.
由于NE4尸=45。
=/48,八8=4€\/4防=/6£
故八钻尸乌小。
1石,故石。
=八尸.
乂NC=NE4O=45。
,AO=C。
,于是△?
1㈤刍△CED,于是NA£
3=N£
DC.
13.1.6★★设△/$£
、△ACF都是等腰直角三角形,AE、4;
是各自的斜边,6是石尸的中点,求证:
AGBC也是等腰直角三角形.
解析如图,作A。
、GP、EM.FN分别垂直于直线BC,垂足为0、P、M、N.
A
G
由乙EBM=90。
-ZABQ=/BAQ,AB=BE,AEMB咨ABQA,故有EM=BQ,BM=AQ.同理FN=QC,CN=AQ,所以BM=CN,
EM+FN=BQ+QC=BC.
乂EG=GF得BP=CP,且GP=;
(EM+FN)=;
BC,故GP=BP=CP.乂由GP_L3C,故
结论成立.
14.1.7★★已知A8_LAC,AB=AC,。
、七在3c上(。
靠近6),求证:
。
炉=5。
+C6的充要条件是〃4£
=45。
.
解析如图,作FC±
BC^FC=BDMZ4b=45o=NB,乂A8=AC,故△A3。
名△ACF,AD=A厂,且Z£
4F=ZE4C=90°
.
若ZDAE=45°
,则ZE4F=45°
,因AD=AF,得AADE^Z^AFEM
DE2=EF1=EC2+FC1=EC2+BD2.
反之,若DE2=EC2+BD2,由EF2=EC2+FC2得EF=DE.乂AD=A尸,故AADE/AAEF,又/=90°
于是〃4£
15.1.8★★两三角形全等且关于一直线对称,求证:
可以将其中一个划分成3块,每一块通过平移、
旋转后拼成另一个三角形.
解析如图,设AABC与八4£
(7关于/对称,分别找到各自的内心/、/'
分别向三边作垂线〃)、化、
IF与「D'
、IE、厅,于是6个四边形AUE均为轴对称的筝形,且四边形4V七乡四边形
尸,所以两者可通过平移、旋转后重合;
同理,另外两对筝形也可通过平移、旋转后重合.
16.1.9★★★已知:
两个等底等高的锐角三角形,可以将每个三角形分别分成四个三角形,分别涂上红色、蓝色、黄色和绿色,使得同色三角形全等.
解析如图,设=,A至8c距离等于至eC距离,取各自的中位线FE、尸£
,则FE=FEf.ill△ABC、AAEC均为锐角三角形,可在BC、&
U上各取一点。
、沙,使图中标相同数字的角相等,于是AAEF92EF,ZXDEF9丛EF,/XFBD冬/\FUB'
AEOC94ECD.
评注还有一种旋转而不是对称的构造法.
17.L10★已知AABC与AA'
B'
C'
中,NA=NY,3C=3'
S/ABC=S”宣1,AABC与
△4EU是否一定全等?
解析如图,让3与"
重合,。
与C重合,A、A在8C同侧,若A与H重合,则△ABC学△AEC;
否则由条件知四边形ABCA1为梯形和圆内接四边形,于是它是一个等腰梯形,于是ZABC=ZAfCB,AB=HC,AABC名△/TCB.综上,可知zMBC与A/VB'
U全等.
评注本题也可以运用三角形面积公式、余弦定理结合韦达定理来证明.
18.1.11★★如图所示,已知△ABC、△CED均为正三角形,M、N、L分别为4。
、AC和CE的中点,求证:
AA/NL为正三角形.
解析如图,设3C、CO中点分别为S、7,,连结NS、SM、MT、72.则四边形CSWT为平行四边形,设NBCD=8,则Z^SM=60o+180°
-^=240°
-6»
=ZL™,〃(工=360。
-120。
一6=240°
-8,乂NC=SN=SC=MT、LC=LT=Cr=SM,故丛NL会加NM^TML,
NL=NM=ML,于是AMNL为正三角形.
评注注意有时S在MN另一侧,此时为M=ZL7M=4(工=120。
+8,不影响最终结论.
19.1.^★★★ZvlBCI+J,ZA=90°
AB=c.AC=6,3C=〃,M是8C中点,P、Q分别在4?
、AC上(可落在端点),满足MPLWO,求8尸+CQ?
的最小值(用°
、/八c表示).
解析如图梃长QM至N,使QM=MN,连结PN、BN、PQ、AM由于M是8C、NQ的中点,故BN=CQ,BN〃AC,BN上BP,乂PM垂直平分NQ,故BP^+CQ?
=BP?
+BN2=PN2=PQ?
取尸。
中点K(图中未画出),则尸。
=从8+解,4〃,,于是3尸+。
02的最小值为工,取到等号24
仅当PQ=A〃即四边形APMQ为矩形时.
20.1.13***已知0为AABC内一点,NE4C=55C,由。
作8C、G4的垂线,垂足分别是L、M.
设。
为4?
中点,求证:
DM=DL.
解析如图所示,取AP中点邑初中点八连ME、ED、DF、出.显然四边形。
曰少是平行四边
形,所以EP=DF,FP=DE.NDEP=/DFP.
乂由PMJ_AC,所以EM=EA=EP=DF.4EM=24AC;
同理FL=DE,"
FL=24BC.由
"
4C=ZP3C,所以ZDEM=ZDEP+"
EM=4FP+"
FL=ADFL,从而4DFMdLFD,所以DM=DL.
9.1.14★★在AABC中,已知NCW=60°
Q、E分别是边AB、AC上的点,且ZAE£
=60°
E。
+03=CE,NCQ3=2NCOE,求ZDC8的度数.
解析如图,延长4?
到八使“=EO,连B、EF.
因为Z£
4B=NA£
0=6O0,所以4如=60。
,4。
3=NCED=120。
,
AD=AE=ED=BF.
CE=ED+DB=DB+BF=DF.
于是,AC=A/,Z4CF=Z4/C=60。
乂因为ZEDB=120°
ZCDB=24CDE,
所以
ZCDE=40°
ZCDB=80。
/ECD=T80。
一/CED-/EDC=20。
在△Cft4和△CB/中,C4=CF,NC4D=NCM=60。
,AO=3/"
所以△CYM刍△C87"
故
ZFCB=ZACD=20°
于是,NDCfi=600—NCOE-NFC8=200.
21.1.15★★在"
BC中,4、NO为锐角,M、N、。
分别为边AB、AC.BC上的点,满足AM=AN、BD=DC,且ABDM=NCDN,求证:
AB=AC.
解析若OM>
ON,则在QM上取一点心使£
W=OE.连结鸵并延长交AC于尸,连结EV.在ABED与△CM)中,BD=DC,ZBDE=ZCDN,DE=DN,故/\BDE^ACDN.于是有ZEBD=ZNCD,BE=NC,所以FB=FC.乂易知EN〃友;
,因此N£
A户=NAC3.
但另一方面,由DM>
DN,知ZABC>
ZFBC=ZACB,所以
ZAW=1(180°
-ZBAC)2
=i(ZABC+ZACB)
1(ZACB+ZACB)=ZACB.
从而ZEV~>
ZMV4>
ZACB.矛盾,故假设DM>
ON不成立.
若ZW<
DV,同法可证此假设不成立.
综上所述DM=DN,于是由2DM£
MDN
知ZD3M=ZDGV,从而A3=AC.
9.1.16★★如图,八4%为边长是1的等边三角形,△8。
为顶角(NBDC)是120。
的等腰三角形,
以。
为顶点作一个60。
角,角的两边分别交回、AC于M、N,连结MN,形成一个AAMV.
求△AWV的周长.
解析延长AC到E,使CE=BM,连结DE.易知在/\BMD与MED中有BD=DC,ZMBD=ZECD=90°
BM=CE,从而AMBD也AECD.所以MD=。
石,ZMDB=ZEDC.于是在与△DEN中有DN=DN、MD=DE,
ZMQV=60°
=ZMDB+4CDN=ZEDC+ZCDN=ZEDN.从而AVONq4EDN,故NE=MN.所以y4M+A^V+/W=AM+AE+/W=AM+NC+CE+A/V=AM+Mfi+NC+/W=
AB+AC=2.
9.1.为等腰直角三角形,NC=90。
点M、N分别为边AC和8C的中点,点。
在
射线BM上,且8。
=2BM,点E在射线NA上,旦NE=2NA,求证:
BD±
DE.
解析取AD中点连痔.
在/\BMC与△ZMM中,,BM=[BD=MD,ZBMC=NOM4,故AAMDgACMB.于是有2
AADM=』CBM、AD=BC,AD〃BC.
同样易知ABMC9△A/VC,于是有/CBM=ZCAN.
在△/WC与^,NA=-NE=AEyAF=-AD=^BC=NCAD//BC知ZEAF=ZANC,所以
222
△MF^AANC.于是有ZAEF=ZNAC"
FA=ZACN=90P=ZEFD.
从而在ZkEA/与△EDb中有AF=FD,EF=EFA板AFAF且AEDF.于是有ZEDF=ZEAI^
ED=/FEA.
总、之,ZEDF+ZMDA=ZEDF+ZNAC=ZEDF+ZAEF=ZEDF+ZFED=9(f,即
9.1.18★★★已知口ABC£
延长DC至P,使。
P=A,连结PA与8C交于Q,O为△2℃的外心,
则4、O、C、。
共圆.
解析如图连好辅助线,由于ZDE4=ZBAP=ZPAD=NCQP,故CQ=CP,设
ZOCP=ZOCQ=ZOQC=0MZ£
QO=\SOQ-O=ZDCO,y.BQ=AB=CD.QO=CO^
△BQO经△DCO,于是NQO3=NCO£
于是ZBOO=NQOC=2N0PC=N8C。
因此3、O、C.。
共
圆.
9.1.★已知△ABC和八4万0,/4=/4<
且8C="
C\。
和。
分别是8C、9U的中
点,AP=A7A问两个三角形是否必定全等?
解析如图作出ZXABC外心O(△48U及相应的0,、。
图中未画出).
若O在3c上,则ZA=90。
=Z/V,此时ZkABC与未必全等.
若O不与。
重合,则
月。
=品黑…
OD=BO|cosA|=AO|cosA|=A'
O[cosA[=O7)'
AD=A!
iy.
当A、O、。
共线,则人。
1.8。
4。
,丛7,所以八4皮)乌八4%'
)\&
18空\40£
'
从而
△ABC且AAB'
U.
当A、。
不共线,则八4。
)名乙¥
077,/84=/07/4,于是"
)。
=/4。
(7(或NYQTT),于是由三角形全等可得AC=AC(或A7T),AB=Ab(或AC),故有△ABC四4归77(或ZVTC7T).
评注此题亦可用中线长公式证明.
9.1.20★★如果两个三角形满足“ASS”,它们不一定全等,此时称它们是相近的,现在有一三角形△「作△?
与之“相近”,……一般有△,.与△.相近,问是否存在一个上,使与△人相做且不全等?
解析这是不可能的.因为由正弦定理,A与△?
有等大的外接圆(它们有一对内角相等或互补),从而
推出A与xA有等大的外接圆,它们不可能只相似不全等.
9.1.★是否存在两个全等的三角形△与△,,△可划分为两个三角形与△?
△,可
划分成两个三角形△;
与△;
使X0Z4与△;
却不全等?
解析这样的两个三角形是存在的,如图(a)、(b),设不等边三角形△ABCgAABC,其中BC2=ABAC=AFACC^,不妨设AC=AC是各自的最长边,则AB、Afff为各自的最短边.在AC、上分别找。
、O'
使CZ)=A8,447y=NC,则由于3C2=A3.AC=C0.AC,故AABC^ABDC,所以ZBDC=ZABC=ZA!
C,又因为ZC=ZBrAfDr,CD=AfBr,因此△BDC学而△/$£
显然不与△AZ7X全等.(若4=4,=90。
还可避免相似.)
9.1.★已知八4必中,ZA=60。
/是△ABC内心,4的垂直平分线分别交4?
、AC于M、ME、F在BC上,3E=EF=FC,求证:
ME〃NF.
解析如图,连结M/、BI、CI、NI.易消与△/肠V为全等之正三角形,N8/C=120。
NM/+N/WC=180°
两端延长"
N至S与r,使SM=MV=NT,则々^=加的=々〃/=60°
于是/\5用5g/\川必,同理△MFCg&
WC,因此NS+NT=NM73+NMC=180°
S3〃7r.
而M、N将ST三等分,石、尸将3c三等分,于是由平行线分线段成比例,知ME〃N〃(〃S8).
评注读者可以考虑:
如果ME〃N『是否有㈤。
9.1.23★★★已知锐角三角形ABC,ZR4C=6O°
A8>
AC,A/1BC的垂心和外心分别为M和O,QW分别与AB、AC交于X、丫,证明:
AAAT的周长为A5+AC,QW=AB-AC.
解析如图,连结AO、BO、CO、AM.由A8>
AC可知。
在AB一侧,用在4。
一侧.
因4OC=120°
故AO="
,而4W=="
,于是AO=AW.NAQW=NAMO.
V3tanZBAC万
乂N043=90°
-NC=NKW,故NAXY=ZAKY,△AYT为正三角形.
乂ZXOB+ZYOC=60°
=ZYOC+ZOCY,故ZXOB=ZYCO,ZBXO=\200=ZCYO,又BO=CO,故AXBO^AYOC,XY=XO+YO=BX+YC.^^AX+XY+YA=AB+AC.
又XO=My=NC,做OM=XY-2YC4A8+4。
)-2AC-^(AB+AC)=AB-AC.
9.2特殊三角形
9.2.1★在直角三角形ABC中,BC是斜边,AC=5,。
是8c中点,七是AC上一点,。
七=A£
=2,求
AB.
解析如图,连结4?
.设AO=C£
)=x,因。
=2,A£
=2,CE=3,则
x2-22=2x3,x=V10.故A3=《BC?
-AC?
=J40-25=尼.
9.2,2★已知△ABC中,AB=14,3C=16,C4=28,P为4在NA平分线上的射影,M为3c中点、,求PM.
解析延长8P交AC于。
.FJjZBAP=ZQAP.AP_L3Q知BP=QP48=AQ.乂8W=CM,故
PM《,CQ=L(AC-AQ)=gx(28-14)=7.
222
BDCD=(BE-DE)(CE+DE)
=BE2-DE2=AB2-AD2.
当。
在8c外时的结论同理可证.
评注这是斯图沃特定理在等腰三角形的特殊情形,具有十分广泛的用途(例如题9.2.1),亦
可用相
交弦定理证明.
9.2.4★★已知锐角三角形ABC中,AD、CE是高,〃为垂心,A£
)=3C,尸是8C的中点,求证:
FH+DH=-BC.
2
解析如图,连结。
,则EF=CF=1bC.于是FH2=EF?
-EHCH=EF2-AHHD=EF2-
AHHD-HD,袱=EF2-HDAD+HD2=EF2-HDBC+HD2=EF2-2HD
EF+HD?
=(EF-HDf.
由于EF>
FH>
HD,故
fh=ef-dh=Lbc-dh.
9.2.5★已知斜边为AC的直角三角形ABC中,3在AC上的投影为〃.若以AB、BC、BH为三边可以构成一个直角三角形,求得的所有可能值.
解析显然由AB、BC、8〃构成的直角三角形中,4〃不是斜边,且
若AB>
BC,则钻为斜边.设AB=c,BC=a,=力,则由AABC的面积知h^Ja2+b2=ac,又
A4_/+1
CH=2
同理,若皿-可得黑二牛1所以篝的可能值为
9.2-6★★已知△ABC中,AD为高,O在上,
以下哪些条件能判定A3=AC:
(1)AB+CD=AC+BD:
(2)ABCD=ACBD:
⑶L
ABCDACBD
解析设BD=x,CD=y,AD=h,则AB=Qh2+丁,AC=Qh2+.先看条件
(1):
\jh2+x2+y=yjh2+y2+x.
若x=y,则AB=AC;
否则不妨设x>
y,则x—y=-Qh2+y?
=,,..,
J/」+x2+W+y2
得y/h2+x2+y]h2+y2=X+y,于是〃=0,矛盾.
故A3=AC.
再看见条件
(2):
),"
工了=八「寸.则/Jy2+Yy2=〃y+Vy2,于是X=y,故A8=AC.
最后条件(3):
1+_=于是
yyjhZ+x2XJ.2+产
士"
=」—r--r=T-J=—X二J=.若X=y,贝|J
町Jh2+y2+丁(yjh2+x2+yjlr+y:
j^(h2+x2)(/r+y2)
^(h2+x2)(h2+y2)(V/r+a-2+J"
+V)=xy(x+y),仍有力=0,矛盾,故AB=AC.
所以三个条件都能判定AB=AC.
9.2.7★已知夕是等腰直角三角形ABC的斜边3c上任意一点,求"
fl.
AP2
解析如图,作4)_L5C于。
不妨设AD=BD=CD=\.「在CO上,PD=a,贝ljBP=BD+PD=T+a,CP=CD-PD=1-a,于是
BP-+CP2=(l+o)2+(\-a)2=2+2a2.V.AP2=AD2+PD2=1+a2.故丝+=:
=2.
Ar'
评注请读者考虑,若对BC上任一点P,有竺芋生为定值,是否可认为AABC为等腰直角三角
AP-
形.
9.2.8★★在AABC中,A8=19,3C=17,C4=18,。
是内一点,过点P向△ABC的
三边BC、C4、回分别垂线电)、PE、。
尸,垂足分别为。
、E、F,3.BD+CE+AF=27^BD+BF
的长.
解析如图,由于BD?
—CD2+CE2-A炉+A尸一5尸=0,于是
BD2-(17-BD)2+CE2-(18-C£
)2+AF2-(19-AF)2=0,litB|J17BD+18CE+19AF=487•
而188O+18CE+18AF=486,故Ab一4。
=1.所以BD+3/=30+AB-A尸=AB-1=18.
9.2.9★★已知八旬。
中,4?
=4。
/1£
是3。
的中垂线,AE=8C,40C=3NA4C,
求喘
解析如图,不妨设BE=CE=1,则AE=2,AB=45.作ZABD的平分线板,由于
ZBDE=35AE=ZABD+ZBAE,故ZABF=ZDBF=ZBAE.因此A/;
=8凡△ABOsAb/D,
任=〃=丝,从而BO、。
9=所以0T-(8O+A3).
BFBDDFAB+DB
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