第1章 44一 单位圆的对称性与诱导公式一.docx
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第1章 44一 单位圆的对称性与诱导公式一.docx
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第1章44一单位圆的对称性与诱导公式一
4.4 单位圆的对称性与诱导公式
(一)
学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
知识点 2kπ±α,-α,π±α的诱导公式
思考1 设α为任意角,则2kπ+α,π+α,-α,2kπ-α,π-α的终边与α的终边有怎样的对应关系?
答案 它们的对应关系如表:
相关角
终边之间的对称关系
2kπ+α与α
终边相同
π+α与α
关于原点对称
-α与α
关于x轴对称
2π-α与α
关于x轴对称
π-α与α
关于y轴对称
思考2 2kπ+α,π+α,-α,2kπ-α,π-α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系?
试据此分析角α与-α的正弦函数、余弦函数的关系.
答案 它们交点间对称关系如表:
相关角
终边与单位圆的交点间对称关系
2kπ+α与α
重合
π+α与α
关于原点对称
-α与α
关于x轴对称
2π-α与α
关于x轴对称
π-α与α
关于y轴对称
设角α与角-α终边与单位圆的交点分别为P和P′,因为P和P′关于x轴对称,所以点P和P′的横坐标相等,纵坐标的绝对值相等且符号相反,即sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα.
梳理 对任意角α,有下列关系式成立:
sin(2kπ+α)=sinα, cos(2kπ+α)=cosα(1.8)
sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα(1.9)
sin(2π-α)=-sinα,cos(2π-α)=cosα(1.10)
sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα(1.11)
sin(π+α)=-sinα, cos(π+α)=-cosα(1.12)
公式1.8~1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.
这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号.
1.sin(α-π)=sinα.( × )
提示 sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)=-sinα.
2.cosπ=-.( √ )
提示 cos=cos=-cos=-.
3.诱导公式对弧度制适用,对角度制不适用.( × )
提示 在角度制和弧度制下,公式都成立.
类型一 给角求值问题
例1 求下列各三角函数式的值.
(1)cos210°;
(2)sin;(3)sin;(4)cos(-1920°).
考点 利用诱导公式求值
题点 给角求值问题
解
(1)cos210°=cos(180°+30°)=-cos30°=-.
(2)sin=sin=sin=sin=sin=.
(3)sin=-sin=-sin=-sin=sin=.
(4)cos(-1920°)=cos1920°=cos(5×360°+120°)
=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=-.
反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”:
用公式1.9来转化.
(2)“大化小”:
用公式1.8角化为0°到360°间的角.
(3)“角化锐”:
用公式1.10或1.11将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”:
得到锐角的三角函数后求值.
跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.
(1)sin1320°;
(2)cos.
考点 利用诱导公式求值
题点 给角求值问题
解
(1)方法一 sin1320°=sin(3×360°+240°)
=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-.
方法二 sin1320°=sin(4×360°-120°)=sin(-120°)=-sin(180°-60°)=-sin60°=-.
(2)方法一 cos=cos=cos=cos=-cos=-.
方法二 cos=cos=cos=-cos=-.
类型二 给值(式)求值问题
例2
(1)已知sin(π+α)=-0.3,则sin(2π-α)=.
(2)已知cos=,则cos=.
考点 利用诱导公式求值
题点 给值(式)求值问题
答案
(1)-0.3
(2)-
解析
(1)∵sin(π+α)=-sinα=-0.3,∴sinα=0.3,∴sin(2π-α)=-sinα=-0.3.
(2)cos=cos=-cos=-.
反思与感悟 解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系,从而灵活选择诱导公式求解,一般可从两角的和、差的关系入手分析,解题时注意整体思想的运用.
跟踪训练2 (2017·大同检测)已知sinβ=,cos(α+β)=-1,则sin(α+2β)的值为( )
A.1B.-1C.D.-
考点 利用诱导公式求值
题点 给值(式)求值问题
答案 D
解析 由cos(α+β)=-1,得α+β=2kπ+π(k∈Z),
则α+2β=(α+β)+β=2kπ+π+β(k∈Z),
sin(α+2β)=sin(2kπ+π+β)=sin(π+β)=-sinβ=-.
类型三 利用诱导公式化简
例3 化简:
.
考点 利用诱导公式化简
题点 利用诱导公式化简
解 原式===1.
引申探究
若本例改为:
(n∈Z),请化简.
解 当n=2k时,
原式==1;
当n=2k+1时,
原式==1.综上,原式=1.
反思与感悟 利用诱导公式进行化简,主要是进行角的转化,最终达到角的统一,能求值的要求出值.
跟踪训练3 化简:
.
考点 利用诱导公式化简
题点 利用诱导公式化简
解 原式===1.
1.sin585°的值为( )
A.-B.
C.-D.
考点 利用诱导公式求值
题点 给角求值问题
答案 A
解析 sin585°=sin(360°+225°)=sin(180°+45°)=-sin45°=-.
2.cos+sin的值为( )
A.-B.
C.D.
考点 利用诱导公式求值
题点 给角求值问题
答案 C
解析 原式=cos-sin=cos-sin=-cos+sin=.
3.如果α+β=180°,那么下列等式中成立的是( )
A.cosα=cosβB.cosα=-cosβ
C.sinα=-sinβD.sinα=cosβ
考点 利用诱导公式化简
题点 利用诱导公式化简
答案 B
4.sin750°=.
考点 利用诱导公式求值
题点 给角求值问题
答案
解析 ∵sinθ=sin(k·360°+θ),k∈Z,
∴sin750°=sin(2×360°+30°)=sin30°=.
5.化简:
.
考点 利用诱导公式化简
题点 利用诱导公式化简
解 原式=
===1.
1.明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式1.8
将角转化为0~2π之间的角求值
公式1.12
将0~2π内的角转化为0~π之间的角求值
公式1.9
将负角转化为正角求值
公式1.11
将角转化为0~之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号,α看成锐角,只是公式记忆的方便,实际上α可以是任意角.
一、选择题
1.cos600°的值为( )
A.B.C.-D.-
考点 利用诱导公式求值
题点 给角求值问题
答案 D
解析 cos600°=cos(360°+240°)=cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°=-.
2.sin(-390°)的值为( )
A.B.-C.D.-
考点 利用诱导公式求值
题点 给角求值问题
答案 D
解析 sin(-390°)=sin(-360°-30°)=sin(-30°)=-sin30°=-.
3.下列三角函数中,与sin数值相同的是( )
①sin;②cos;③sin;④cos;⑤sin(n∈Z).
A.①②B.①③④
C.②③⑤D.①③⑤
考点 利用诱导公式化简
题点 利用诱导公式化简
答案 C
4.sin(π-2)-cos(4π-2)化简的结果为( )
A.sin2-cos2
B.-1
C.2sin2
D.-2sin2
考点 利用诱导公式化简
题点 利用诱导公式化简
答案 A
解析 原式=sin2-cos2,所以选A.
5.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4,其中a,b,α,β∈R,且ab≠0,α≠kπ(k∈Z).若f(2009)=5,则f(2015)等于( )
A.4B.3C.-5D.5
考点 利用诱导公式求值
题点 利用诱导公式求值
答案 D
解析 ∵f(2009)=-(asinα+bcosβ)+4=5,
∴f(2015)=-(asinα+bcosβ)+4=5.
6.已知sin=,则sin的值为( )
A.B.-C.D.-
考点 利用诱导公式求值
题点 给值(式)求值问题
答案 C
解析 sin=sin=sin=.
二、填空题
7.=.
考点 利用诱导公式求值
题点 利用诱导公式求值
答案 -2
解析 原式==
====-2.
8.已知f(x)=则f +f =.
考点 利用诱导公式求值
题点 给角求值问题
答案 -2
解析 f =sin=sin=,
f =f -1=f -2=sin-2=-,
∴f +f =-=-2.
9.已知cos(π+α)=-,π<α<2π,则sin(α-3π)+cos(α-π)=.
考点 利用诱导公式求值
题点 给值(式)求值问题
答案
解析 ∵cos(π+α)=-cosα=-,
∴cosα=.
又∵π<α<2π,∴<α<2π,
∴sinα=-.
∴sin(α-3π)+cos(α-π)=-sin(3π-α)+cos(π-α)=-sin(π-α)+(-cosα)
=-sinα-cosα=-(sinα+cosα)=-=.
10.已知sin(π+α)=,则cos(α-2π)的值是.
考点 利用诱导公式求值
题点 给值(式)求值问题
答案 ±
解析 由sin(π+α)=,得sinα=-,所以cosα=±,
所以cos(α-2π)=cosα=±.
11.①sincosπ=;
②sin(-960°)cos1470°-cos(-240°)sin(-210°)=.
考点 利用诱导公式化简
题点 利用诱导公式化简
答案 ① ②1
解析
(1)sincosπ=-sincos=sincos=.
(2)sin(-960°)cos1470°-cos240°sin(-210°)
=-sin(180°+60°+2×360°)cos(30°+4×360°)+cos(180°+60°)sin(180°+30°)
=sin60°cos30°+cos60°sin30°=1.
三、解答题
12.已知cos=m(|m|≤1),求cos的值.
考点 利用诱导公式求值
题点 给值(式)求值问题
解 cos=cos=-cos=-m.
13.已知角α终边上一点P(-4,3),
求的值.
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