专题11 函数概念及三要素学生版.docx
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专题11函数概念及三要素学生版
第1讲函数的概念及三要素
【套路秘籍】---千里之行始于足下
1.函数与映射
函数
映射
两个集合A,B
设A,B是两个非空数集
设A,B是两个非空集合
对应法则f:
A→B
如果按某种对应法则f,使对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应
如果按某种对应法则f,使对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y与之对应
名称
称y=f(x),x∈A为从集合A到集合B的一个函数
称f:
A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
函数y=f(x),x∈A
映射:
f:
A→B
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域;对于A中的每一个x,都有一个输出值y与之对应.我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.
(2)函数的三要素:
定义域、对应法则和值域.
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
3.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》,努力请从今日始
考向一函数、映射的判断
【例1】
(1)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )
(2)集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是( )
A.f:
x→y=
xB.f:
x→y=
x
C.f:
x→y=
xD.f:
x→y=
【数学套路】
1.是否为函数关系的判断
(1)两个非空数集,即函数的定义域和值域是否为空,函数的定义域和值域不能为空
(2)看是否满足一个x只能对应的y,或者多个x对应一个y,即为函数。
注意:
函数为特殊的映射
2.映射
(1)两个非空集合。
(2)看是否满足一个x只能对应的y,或者多个x对应一个y,即为函数。
【举一反三】
1.下列从集合
到集合
的对应关系中,其中
是
的函数的是
A.
,对应关系
其中
B.
,对应关系
其中
C.
对应关系
其中
D.
,对应关系
其中
2.下图中,能表示函数
的图象的是()
A.
B.
C.
D.
考向二函数定义域求法
类型一:
已知解析式求定义域
【例2-1】
(1)函数
的定义域是。
(2)函数
的定义域是。
【套路总结】
一.已知函数解析式求定义域,一般遵循下面原则,列出不等式组解不等式。
1.分式:
分母不为0
2.根式:
开偶次方根,被开方数大于等于0
3.对数:
对数的真数大于0,底数大于0且不等于1
4.指数:
指数的底数大于0且不等于1
5.
6.正切:
7.无以上情况定义域为R
二.求函数定义域的注意点
1.不要对解析式进行化简变形,以免定义域变化.
2.当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集.
(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.
【举一反三】
1.函数
的定义域为。
2.函数
的定义域是。
3.函数
的定义域为_____________.
类型二求无解析式的定义域
【例2】
(1)若函数f(x)的定义域是[-1,3],则函数f(2x-1)的定义域是________
(2)已知函数f(2x+1)的定义域为(﹣2,0),则f(x)的定义域为( )
(3)已知函数
的定义域为
,则函数
的定义域为______
(4)函数
的定义域为。
【套路总结】
未知解析式函数的定义域求解:
一般遵循对应法则不变,括号内同范围
1.若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a 2.若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定义域. 【举一反三】 1.函数 的定义域是 ,则函数 的定义域为_________. 2.已知函数 的定义域为 ,函数 ,则 的定义域为_________ 3.若函数 的定义域是 ,则函数 的定义域为________. 4.已知函数 的定义域为 ,则函数 的定义域是__________. 类型三利用定义域求参数 【例3】 (1)若函数 的定义域为 ,则实数 的取值范围是() A. B. C. 或 D. 或 (2)已知函数 (其中 ,且 )在区间 上单调递增,则函数 的定义域为() A. B. C. D. 【举一反三】 1.若函数 的定义域为R,则实数 的取值范围是_______. 2.若函数f(x)= 的定义域为{x|1≤x≤2},则a+b的值为________. 考向三函数的解析式求法 【例3】 (1)已知f =x2+ ,求f(x)的解析式. (2)已知f =lgx,求f(x)的解析式. (3)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x). (4)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f -1,求f(x). (5).已知f(x)是(0,+∞)上的增函数,若f[f(x)-lnx]=1,则f(x)。 (6).若函数f(x)的图像如图所示,则f(x)的解析式可能是() A. B. C. D. 【套路总结】 函数解析式的求法 1.待定系数法: 若已知函数的类型,可用待定系数法; 2.换元法: 已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; 3.配凑法: 由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式. 4.方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他未知量,如f,f(-x)等,可根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 【举一反三】 1.设二次函数y=f(x)的最大值为13,且f(3)=f(-1)=5,求f(x)的解析式; 2.已知f = ,求f(x)的解析式. 3.已知函数f(x)满足f +2f =3x,则f(-2)=________. 4.已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=________. 考向四函数值域的求法 【例4】求下列函数的值域 (1)f(x)=log2(3x+1) (2)f(x)= ,x∈[-3,-1](3)y=2x+ ; (4)y=x+4+ .(5)y= (6)y= ,x∈ 【套路总结】 求函数值域,应根据解析式的结构特点,选择适当的方法,而常用的方法有: (1)观察法; (2)配方法;(3)换元法;(4)分离常数法;(5)单调性法;(6)数形结合法. 【举一反三】 1.求下列函数的值域: (1)y=3x2-x+2,x∈[1,3]; (2)y= ; (3)y=x+4 ; (4)y= . 考向五相等函数 【例4】判断下列各组中的两个函数是同一函数的是( ) ①y1= ,y2=x-5;②f(x)=x,g(x)= ; ③f(x)=x,g(x)= ;④f1(x)=( )2,f2(x)=2x-5. A.①②B.②③C.③D.③④ 【套路总结】 判断两个函数是否为相等函数,从函数的三要素判断,三要素中由两个要素相同即函数相等。 一般判断函数的定义域、化简后的解析式是否相同。 【举一反三】 1.下列各组函数中,表示同一函数的是 A. B. C. D. 2.下列函数为同一函数的是 A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3.下列各组函数中,表示同一函数的是() A. 与 B. 与 C. 与 D. ( )与 ( ) 4.下列各组函数中,表示同一函数的是() A. B. C. D. 考向六分段函数 【例6】 (1)设函数f(x)= 则f(-2)+f(log212)= (2)已知函数f(x)= 且f(a)=-3,则f[f(14-a)]=________. (3)已知函数f(x)= 若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是。 【套路总结】 一.分段函数的求值问题的解题思路 1.求函数值: 当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. 2.求自变量的值: 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. 二.分段函数与方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来. 【举一反三】 1.已知f(x)= 且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))=________. 2.已知函数f(x)= 则f(2+log32)的值为________. 3.已知实数a≠0,函数f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________. 4.已知函数f(x)= 则f 的值是________. 【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行 1.给定的下列四个式子中,能确定y是x的函数的是。 ①x2-y2=1;②|x-1|+ =0;③ ;④y= . 2.下列对应法则f中,能构成从A到B的函数的有。 ①A={0,2},B={0,1},f: x→y= ;②A={–2,0,2},B={4},f: x→y=x2; ③A=R,B={y|y>0},f: x→y= ;④A=R,B=R,f: x→y=2x+1. A.1个B.2个C.3个D.4个 3.函数 的定义域是。 4.函数 的定义域是. 5.已知函数 的定义域为 , 的定义域为。 6.若y=f(x)的定义域为(0,2],则函数g(x)= 的定义域是。 7.函数 的定义域是 则函数 的定义域。 8.已知函数 的定义域是 ,则实数 的取值范围是。 9.函数 的定义域为__________. 10.记函数 的定义域为D.若在区间[-5,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率为__________. 11.已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=x+2,则f(x)= 12.若 对于任意实数 恒有 ,则 . 13.下列哪组中的两个函数是同一函数。 A. 与 B. 与y=x+1 C. 与 D.y=x与 14.已知函数 满足 ,则 的解析式为__________. 15.函数y=2x- 的值域是________. 16函数f(x)= 的值域是________. 17.函数y= 的值域是________. 18.函数f(x)= 的值域为________. 19.已知 那么 等于。 20.已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围是。 21.已知函数 ,且 ,则实数a的值是。 22.设函数 ,若 ,则实数 的取值范围是__________. 23.已知函数 ,则 __________
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