届湖南省高三六校联考试题 数学理解析版 1文档格式.docx
- 文档编号:21576721
- 上传时间:2023-01-31
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:69.24KB
届湖南省高三六校联考试题 数学理解析版 1文档格式.docx
《届湖南省高三六校联考试题 数学理解析版 1文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《届湖南省高三六校联考试题 数学理解析版 1文档格式.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
7.已知△ABC中,AB=2,AC=3,∠A=60°
,AD⊥BC于D,=λ+μ,则=
A.6B.3C.3D.2
8.已知双曲线C:
-=1(a>
0,b>
0),以点P(b,0)为圆心,a为半径作圆P,圆P与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若∠MPN=90°
,则C的离心率为
A.B.C.D.
9.若m,n均为非负整数,在做m+n的加法时各位均不进位(例如:
2019+100=2119,则称(m,n)为“简单的”有序对,而m+n称为有序对(m,n)的值,那么值为2019的“简单的”有序对的个数是
A.30B.60C.96D.100
10.若x1是方程xex=1的解,x2是方程xlnx=1的解,则x1x2等于
A.eB.1C.D.-1
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,且f(x)在上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1,最小值为-1),则ω的取值范围是
12.已知函数f(x)=ex-ax-1在区间内存在极值点,且f(x)<
0恰好有唯一整数解,则a的取值范围是(其中e为自然对数的底数,e=2.71828…)
A.B.∪
C.∪D.(e-1,e)
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知二项式的展开式中的常数项为-160,则a=________.
14.若实数x,y满足不等式组则目标函数z=3x-y的最大值为________.
15.在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图,若四棱锥P-ABCD为阳马,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为R,内切球半径为r,则=________.
16.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若c=2b,△ABC的面积为1,则a的最小值为________.
三、解答题:
共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题,共60分。
17.(本小题满分12分)
已知数列{an}中,a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,且对任意的r、t∈N*,都有=.
(Ⅰ)判断{an}是否为等差数列,并证明你的结论;
(Ⅱ)若数列{bn}满足=2n-1(n∈N*),设Tn是数列{bn}的前n项和,证明:
Tn<
6.
18.(本小题满分12分)
在Rt△ABC中,∠ABC=90°
,tan∠ACB=.已知E,F分别是BC,AC的中点.将△CEF沿EF折起,使C到C′的位置且二面角C′-EF-B的大小是60°
.连接C′B,C′A,如图:
(Ⅰ)求证:
平面C′FA⊥平面ABC′;
(Ⅱ)求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的大小.
19.(本小题满分12分)
已知平面上一动点P到定点F(,0)的距离与它到直线x=的距离之比为,记动点P的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设直线l:
y=kx+m与曲线C交于M,N两点,点M在x轴上的射影为G,O为坐标原点,若4·
=9·
,求△MON面积的最大值.
20.(本小题满分12分)
随着食品安全问题逐渐引起人们的重视,有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎,同时生产-运输-销售一体化的直销供应模式,不仅减少了成本,而且减去了蔬菜的二次污染等问题.
(Ⅰ)在有机蔬菜的种植过程中,有机肥料使用是必不可少的.根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系,每个有机蔬菜大棚产量的增加量y(百斤)与使用堆沤肥料x(千克)之间对应数据如下表:
使用堆沤肥料x(千克)
2
4
5
6
8
产量增加量y(百斤)
3
依据表中的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+;
并根据所求线性回归方程,估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克,则每个有机蔬菜大棚产量增加量y是多少百斤?
(Ⅱ)某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装,以每份10元的价格销售到生鲜超市.“乐购”生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客,如果当天前8小时卖不完,则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客(根据经验,当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕,且处理完毕后,当天不再进货).该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量(单位:
份),制成如下表格(注:
x,y∈N*,且x+y=30):
每日前8个小时
销售量(单位:
份)
15
16
17
18
19
20
21
频数
10
x
13
y
若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率,该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据,当购进17份比购进18份的利润的期望值大时,求x的取值范围.
附:
回归方程系数公式=,=-·
.
21.(本小题满分12分)
已知f(x-1)=2ln(x-1)-+k(x>
1).
(Ⅰ)判断当-1≤k≤0时f(x)的单调性;
(Ⅱ)若x1,x2(x1≠x2)为f(x)两个极值点,求证:
x[f(x1)+f(x2)]≥(x+1)[f(x)+2-2x].
(二)选考题:
共10分。
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
22.(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2=.
(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设P为曲线C上的点,PQ⊥l,垂足为Q,若的最小值为2,求m的值.
23.(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲
已知函数f(x)=|x-2a|-|x-a|,a∈R.
(Ⅰ)若f
(1)>
1,求a的取值范围;
(Ⅱ)若a<
0,对x,y∈(-∞,a],都有不等式f(x)≤+|y-a|恒成立,求a的取值范围.
数学(理科)参考答案
命题学校:
师大附中、湘潭市一中
一、选择题
题 号
1
7
9
11
12
答 案
D
B
C
A
1.D 【解析】
(1+i)z=4,z==2-2i.
2.B 【解析】∵(x+3)(x-1)≤0且x≠1,∴A=,∴∁RA=(-∞,-3)∪[1,+∞).
3.B 【解析】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,最高130分,平均成绩为低于130分,①错误;
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间[110,120]内,②正确;
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关,③正确;
④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步,故④不正确.故选B.
4.C 【解析】该几何体为四棱锥,体积为
V=·
x=8,
∴x=4.
5.C 【解析】当x<
0时,-x>
0,∴f(-x)=-,∴f(x)=(x<
0),
k=f′(-1)=2,切点为(-1,-1),∴切线方程为y+1=2(x+1).
∴切线方程为2x-y+1=0.
6.A 【解析】根据题意,阴影部分的面积的一半为
∫0(cosx-sinx)dx=-1,
于是此点取自阴影部分的概率为P1=2×
=>
=.
又P2=1-P1<
,故P1>
P2.
7.A 【解析】=-,∵⊥,
∴(λ+μ)·
(-+)=0,
∴-λ2+μ2+(λ-μ)·
=0,∴λ=6μ,∴=6.
8.C 【解析】不妨设双曲线C的一条渐近线bx-ay=0与圆P交于M,N,因为∠MPN=90°
,所以圆心P到bx-ay=0的距离为==a,即2c2-2a2=ac,解得e=.故选C.
9.B 【解析】值为2019的“简单的”有序对的个数是3×
1×
2×
10=60.故选B.
10.B 【解析】考虑到x1,x2是函数y=ex、函数y=lnx与函数y=的图象的公共点A,B的横坐标,而A,B两点关于y=x对称,因此x1x2=1.
11.D 【解析】由题意知,f(x)=sin(ωx+φ),∵f(0)=,φ∈,∴φ=,
∵x∈[0,2π],∴≤ωx+≤2πω+,∴≤2πω+<
,
∴≤ω<
12.C 【解析】由题意得,f′(x)=ex-a=0在上有解,∵f′(x)在上单调递增,∴<
a<
e,
又∵f(x)<
0恰好有唯一整数解,即ex<
ax+1有唯一整数解.
设g(x)=ex,h(x)=ax+1,结合两函数的图象可知:
①若1<
e,则唯一整数解为1,故应满足
∴e-1<
a≤,
故e-1<
e;
②若<
1,则唯一整数解为-1,故应满足
∴≤a<
故≤a<
由①②得a的取值范围为∪.
二、填空题
13.2 【解析】二项式的展开式的通项是Tr+1=C·
(ax)6-r·
=C·
a6-r·
(-1)r·
x6-2r.令6-2r=0,得r=3,因此二项式的展开式中的常数项是C·
a6-3·
(-1)3=-160,故a=2.
14.12 【解析】作出可行域如图,目标函数y=3x-z,
当y=3x-z过点(4,0)时,z有最大值,且最大值为12.
15. 【解析】易知该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径,所以=AB2+AD2+AP2=42+42+32=41,R=.
因为侧棱PA⊥底面ABCD,且底面为正方形,所以内切球O1在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆,则内切球半径为1,故=.
16. 【解析】设角A为θ,
a2=b2+c2-2bccosθ=b2+4b2-4b2cosθ=b2(5-4cosθ).
又S△ABC=·
2b·
b·
sinθ=b2sinθ=1,∴b2=,
∴a2=,设y=,
则y′==,
当4-5cosθ=0,即cosθ=时,y有最小值为3,故a的最小值为.
三、解答题
17.【解析】
(Ⅰ){an}是等差数列.证明如下:
因为对任意的r、t∈N*,都有=,
所以对任意的n∈N*,有=n2,即Sn=n2.2分
从而n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,且n=1时此式也成立.
所以an+1-an=2(n∈N*),
即{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.5分
(Ⅱ)=2n-1,得bn=.6分
Tn=1·
+3·
+…+(2n-1)·
+…+(2n-3)·
+(2n-1)·
.8分
两式相减得:
Tn=1+2·
+2·
+…+2·
-(2n-1)·
=1+2·
=1+4-(2n-1)·
=3-(2n+3),
Tn=6-(2n+3).10分
∵n∈N*,∴Tn=6-(2n+3)<
6.12分
18.【解析】
(Ⅰ)解法一:
∵F是AC的中点,∴AF=C′F.
设AC′的中点为G,连接FG.
设BC′的中点为H,连接GH,EH.
易证:
C′E⊥EF,BE⊥EF,∴∠BEC′即为二面角C′-EF-B的平面角.
∴∠BEC′=60°
,而E为BC的中点.
易知BE=EC′,∴△BEC′为等边三角形,∴EH⊥BC′. ①
∵EF⊥C′E,EF⊥BE,C′E∩BE=E,∴EF⊥平面BEC′.
而EF∥AB,∴AB⊥平面BEC′,∴AB⊥EH,即EH⊥AB. ②
由①②,BC′∩AB=B,∴EH⊥平面ABC′.
∵G,H分别为AC′,BC′的中点.
∴GH綊AB綊FE,∴四边形EHGF为平行四边形.
∴FG∥EH,FG⊥平面ABC′,又FG平面AFC′.
∴平面AFC′⊥平面ABC′.6分
解法二:
如图,建立空间直角坐标系,设AB=2.
则A(0,0,2),B(0,0,0),F(0,2,1),E(0,2,0),C′(,1,0).
设平面ABC′的法向量为a=(x1,y1,z1),
=(0,0,2),=(,1,0),
∴令x1=1,则a=(1,-,0),
设平面AFC′的法向量为b=(x2,y2,z2),
=(0,2,-1),=(,1,-2),
∴令x2=,则b=(,1,2).
∵a·
b=0,∴平面AFC′⊥平面ABC′.6分
(Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系,设AB=2.
显然平面BEC′的法向量m=(0,0,1),8分
设平面AFC′的法向量为n=(x,y,z),=(,1,-2),=(0,2,-1),
∴∴n=(,1,2).9分
cos〈m,n〉==,10分
由图形观察可知,平面AFC′与平面BEC′所成的二面角的平面角为锐角.
∴平面AFC′与平面BEC′所成二面角大小为45°
.12分
19.【解析】
(Ⅰ)设P(x,y),则=,化简得+y2=1.4分
(Ⅱ)设M,N,G(x1,0),联立
得x2+8kmx+4m2-4=0,
依题意,Δ=-4>
0,
化简得m2<
4k2+1, ①
x1+x2=-,x1x2=,
y1y2==k2x1x2+km+m2,
若4·
,则4x1x2+4y1y2=9x1x2,即4y1y2=5x1x2,6分
∴4k2x1x2+4km+4m2=5x1x2,
∴·
+4km+4m2=0,
即-8k2m2+m2=0,
化简得m2+k2=, ②8分
==
==,
∵原点O到直线l的距离d=,
∴S△MON=·
d=.10分
设4k2+1=t,由①②得0≤m2<
,<
k2≤,
所以<
t≤6,≤<
S△MON===3≤1,
所以当=时,即k=±
时△MON面积最大为1.12分
20.【解析】
(Ⅰ)x==5,y==4.2分
=22+42+52+62+82=145,
==0.3,=y-·
x=4-0.3×
5=2.5,
所以y关于x的线性回归方程为:
y=0.3x+2.5.4分
当x=10时,y=0.3×
10+2.5=5.5百斤,
所以如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克,
估计每个有机蔬菜大棚产量的增加量y是5.5百斤.5分
(Ⅱ)若该超市一天购进17份这种有机蔬菜,Y1表示当天的利润(单位:
元),那么Y1的分布列为
Y1
65
75
85
P
Y1的数学期望是EY1=65×
+75×
+85×
=;
8分
若该超市一天购进18份这种有机蔬菜,Y2表示当天的利润(单位:
元),那么Y2的分布列为
Y2
60
70
80
90
Y2的数学期望是EY2=60×
+70×
+80×
+90×
11分
又购进17份比购进18份的利润的期望值大,故>
,求得x>
24,
故求得x的取值范围是,x∈N*.12分
21.【解析】
(Ⅰ)因为f(x-1)=2ln(x-1)+(x>
1),
所以f(x)=2lnx+(x>
0).
f′(x)=+=,2分
当-1≤k≤0时,Δ=(4+k)2-16=k(k+8)≤0,2x2+(4+k)x+2>
0恒成立.
于是,f(x)在定义域上为单调增函数.5分
(Ⅱ)证明:
∵f′(x)=+=,
由题设知,f′(x)=0有两个不相等的正实数根x1,x2,则
k<
-8,7分
而f(x1)+f(x2)=2lnx1++2lnx2+
=2ln(x1x2)+k
=2ln(x1x2)+k·
=k,9分
又=k,
故欲证原不等式等价于证明不等式:
≥[f(x)-2(x-1)],10分
也就是要证明:
对任意x>
0,有lnx≤x-1.11分
令g(x)=lnx-x+1(x>
0),由于g
(1)=0,并且g′(x)=-1,
当x>
1时,g′(x)<
0,则g(x)在(1,+∞)上为减函数;
当0<
x<
1时,g′(x)>
0,则g(x)在(0,1)上为增函数.
则g(x)在(0,+∞)上有最大值g
(1)=0,即g(x)≤0,故原不等式成立.12分
22.【解析】
(Ⅰ)因为曲线C的极坐标方程为ρ2=,
即ρ2+ρ2sin2θ=4,
将ρ2=x2+y2,ρsinθ=y代入上式并化简得+=1,3分
所以曲线C的直角坐标方程为+=1,
直线l的普通方程为x-y-m=0.5分
(Ⅱ)设P(2cosθ,sinθ),由点到直线的距离公式得
==,7分
由题意知m≠0,
当m>
0时,==2,得m=2+2;
当m<
0时,==2,得m=-2-2;
所以m=2+2或m=-2-2.10分
23.【解析】
(Ⅰ)f
(1)=|1-2a|-|1-a|>
1.1分
若a≤,则1-2a-1+a>
1,得a<
-1;
2分
若<
1,则2a-1-(1-a)>
1,得a>
1,即不等式无解;
3分
若a≥1,则2a-1+1-a>
1,4分
综上所述,a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).5分
(Ⅱ)由题意知,要使得不等式恒成立,只需[f(x)]max≤[|y+2020|+|y-a|]min,6分
当x∈(-∞,a]时,|x-2a|-|x-a|≤-a,[f(x)]max=-a,7分
因为|y+2020|+|y-a|≥|a+2020|,
所以当(y+2020)(y-a)≤0时,[|y+2020|+|y-a|]min=|a+2020|,9分
即-a≤|a+2020|,解得a≥-1010,结合a<
所以a的取值范围是.10分
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 届湖南省高三六校联考试题 数学理解析版 湖南省 高三六校 联考 试题 学理 解析