等比数列教学案Word下载.docx
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多项关系
项的运算性质
若+n=p+q,
则a•an=.
特别地,若+n=2p.
[答案] 1.qn- ap•aq a2p
an-1 an-+1
思路方法技巧
命题方向 运用等比数列性质an=a•qn-解题
[例1] 在等比数列{an}中,若a2=2,a6=162,求a10.
[分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式,求得q,再求a10.
[解析] 解法一:
设公比为q,由题意得
a1q=2a1=a1=-
解得,或.
a1q5=162q=3q=-3
∴a10=a1q9=×
39=13122或a10=a1q9=-×
9=13122.
解法二:
∵a6=a2q4,
∴q4===81,
∴a10=a6q4=162×
81=13122.
解法三:
在等比数列中,由a26=a2•a10得
a10===13122.
[说明] 比较上述三种解法,可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解,使问题变得简单、明了,因此要熟练掌握等比数列的性质,在解有关等比数列的问题时,要注意等比数列性质的应用.
变式应用1 已知数列{an}是各项为正的等比数列,且q≠1,试比较a1+a8与a4+a5的大小.
由已知条件a1>
0,q>
0,且q≠1,这时
-=a1=a1•
=a12>
0,
显然,a1+a8>
a4+a5.
利用等比数列的性质求解.
由于-=-
=a1-a5=.
当01时,此正数等比数列单调递增,1-q3与a1-a5同为负数,
∵-恒正.
∴a1+a8>
命题方向 运用等比数列性质a•an=apaq解题
[例2] 在等比数列{an}中,已知a7•a12=5,则a8•a9•a10•a11=
A.10
B.25
c.50
D.75
[分析] 已知等比数列中两项的积的问题,常常离不开等比数列的性质,用等比数列的性质会大大简化运算过程.
[答案] B
∵a7•a12=a8•a11=a9•a10=5,∴a8•a9•a10•a11=52=25.
由已知得a1q6•a1q11=a21q17=5,
∴a8•a9•a10•a11=a1q7•a1q8•a1q9•a1q10=a41•q34=2=25.
[说明] 在等比数列的有关运算中,常常涉及次数较高的指数运算,若按照常规解法,往往是建立a1,q的方程组,这样解起来很麻烦,为此我们经常结合等比数列的性质,进行整体变换,会起到化繁为简的效果.
变式应用2 在等比数列{an}中,各项均为正数,且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求a4+a8.
[解析] ∵a6a10=a28,a3a5=a24,∴a28+a24=41.
又∵a4a8=5,an>
∴a4+a8===.
探索延拓创新
命题方向 等比数列性质的综合应用
[例3] 试判断能否构成一个等比数列{an},使其满足下列三个条件:
①a1+a6=11;
②a3•a4=;
③至少存在一个自然数,使a-1,a,a+1+依次成等差数列,若能,请写出这个数列的通项公式;
若不能,请说明理由.
[分析] 由①②条件确定等比数列{an}的通项公式,再验证是否符合条件③.
[解析] 假设能够构造出符合条件①②的等比数列{an},不妨设数列{an}的公比为q,由条件①②及a1•a6=a3•a4,得
a1+a6=11
a1=a1=
解得,或
a1•a6=a6=a6=.
从而,或.
q=2q=
故所求数列的通项为an=•2n-1或an=•26-n.
对于an=•2n-1,若存在题设要求的,则
a=a-1+,得
=••2-2+•2+,得
+8=0,即2=-8,故符合条件的不存在.
对于an=•26-n,若存在题设要求的,同理有
--8=0,即26-=8,∴=3.
综上所述,能够构造出满足条件①②③的等比数列,通项为an=•26-n.
[说明] 求解数列问题时应注意方程思想在解题中的应用.
变式应用3 在等差数列{an}中,公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项,已知数列a1,a3,a1,a2,…,an,……成等比数列,求数列{n}的通项n.
[解析] 由题意得a22=a1a4,
即2=a1,
又d≠0,∴a1=d.
∴an=nd.
又a1,a3,a1,a2,……,an,……成等比数列,
∴该数列的公比为q===3.
∴an=a1•3n+1.
又an=nd,∴n=3n+1.
所以数列{n}的通项为n=3n+1.
名师辨误做答
[例4] 四个实数成等比数列,且前三项之积为1,后三项之和为1,求这个等比数列的公比.
[误解] 设这四个数为aq-3,aq-1,aq,aq3,由题意得
a3q-3=1,①
aq-1+aq+aq3=1.②
由①得a=q,把a=q代入②并整理,得4q4+4q2-3=0,解得q2=或q2=-,故所求的公比为.
[辨析] 上述解法中,四个数成等比数列,设其公比为q2,则公比为正数,但题设并无此条件,因此导致结果有误.
[正解] 设四个数依次为a,aq,aq2,aq3,由题意得
=1,
①
aq+aq2+aq3=1. ②
由①得a=q-1,把a=q-1代入②并整理,得4q2+4q-3=0,解得q=或q=-,故所求公比为或-.
课堂巩固训练
一、选择题
在等比数列{an}中,若a6=6,a9=9,则a3等于
A.4
B.
c.
D.3
[答案] A
∵a6=a3•q3,
∴a3•q3=6.
a9=a6•q3,
∴q3==.
∴a3==6×
=4.
由等比数列的性质,得
a26=a3•a9,
∴36=9a3,∴a3=4.
在等比数列{an}中,a4+a5=10,a6+a7=20,则a8+a9等于
A.90
B.30
c.70
D.40
[答案] D
[解析] ∵q2==2,
∴a8+a9=q2=20q2=40.
如果数列{an}是等比数列,那么
A.数列{a2n}是等比数列
B.数列{2an}是等比数列
c.数列{lgan}是等比数列
D.数列{nan}是等比数列
[答案] A
[解析] 数列{a2n}是等比数列,公比为q2,故选A.
二、填空题
若a,b,c既成等差数列,又成等比数列,则它们的公比为.
[答案] 1
b=a+c,
[解析] 由题意知
b2=ac,
解得a=b=c,∴q=1.
在等比数列{an}中,公比q=2,a5=6,则a8=.
[答案] 48
[解析] a8=a5•q8-5=6×
23=48.
三、解答题
已知{an}为等比数列,且a1a9=64,a3+a7=20,求a11.
[解析] ∵{an}为等比数列,
∴a1•a9=a3•a7=64,又a3+a7=20,
∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根.
∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4,
当a3=4时,a3+a7=a3+a3q4=20,
∴1+q4=5,∴q4=4.
当a3=16时,a3+a7=a3=20,
∴1+q4=,∴q4=.
∴a11=a1q10=a3q8=64或1.
课后强化作业
在等比数列{an}中,a4=6,a8=18,则a12=
A.24
c.54
D.108
[答案] c
[解析] ∵a8=a4q4,∴q4===3,
∴a12=a8•q4=54.
在等比数列{an}中,a3=2-a2,a5=16-a4,则a6+a7的值为
A.124
B.128
c.130
D.132
[答案] B
[解析] ∵a2+a3=2,a4+a5=16,
又a4+a5=q2,
∴q2=8.
∴a6+a7=q2=16×
8=128.
已知{an}为等比数列,且an>
0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5等于
A.5
B.10
c.15
D.20
[解析] ∵a32=a2a4,a52=a4a6,
∴a32+2a3a5+a52=25,
∴2=25,
又∵an>
0,∴a3+a5=5.
在正项等比数列{an}中,a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根,则a8•a10•a12等于
A.16
B.32
c.64
D.256
[解析] 由已知,得a1a19=16,
又∵a1•a19=a8•a12=a102,
∴a8•a12=a102=16,又an>
0,
∴a10=4,
∴a8•a10•a12=a103=64.
已知等比数列{an}的公比为正数,且a3•a9=2a25,a2=1,则a1=
A.
D.2
[解析] ∵a3•a9=a26,又∵a3a9=2a25,
∴a26=2a25,∴2=2,
∴q2=2,∵q>
0,∴q=.
又a2=1,∴a1===.
在等比数列{an}中,an>
an+1,且a7•a11=6,a4+a14=5,则等于
D.6
a7•a11=a4•a14=6
[解析] ∵
a4+a14=5
a4=3a4=2
解得或.
a14=2a14=3
an+1,∴a4=3,a14=2.
∴==.
已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于
A.2
B.4
c.8
D.16
[答案] c
[解析] ∵a3a11=a72=4a7,∵a7≠0,
∴a7=4,∴b7=4,
∵{bn}为等差数列,∴b5+b9=2b7=8.
已知00,且a2=1+a1,a4=9+a3,则a5-a4等于.
[答案] 27
[解析] 由题意,得a2-a1=1,a4-a3=q2=9,
∴q2=9,又an>
0,∴q=3.
故a5-a4=q=9×
3=27.
0.已知等比数列{an}的公比q=-,则等于.
[答案] -3
[解析] =
==-3.
1.等比数列{an}中,an>
0,且a5•a6=9,则log3a2+log3a9=.
[答案] 2
[解析] ∵an>
0,∴log3a2+log3a9=log3a2a9
=log3a5a6=log39=log332=2.
已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q= .
[答案] 2
[解析] 本题主要考查等比数列的基本公式,利用等比数列的通项公式可解得.
解析:
a4-a3=a2q2-a2q=4,
因为a2=2,所以q2-q-2=0,解得q=-1,或q=2.
因为an为递增数列,所以q=2.
3.在等比数列{an}中,已知a4•a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数,求a10.
[解析] ∵a4•a7=a3•a8=-512,
a3+a8=124a3=-4a3=128
∴,解得或.
a3•a8=-512a8=128a8=-4
又公比为整数,
∴a3=-4,a8=128,q=-2.
∴a10=a3•q7=×
7=512.
设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,若b1+b2+b3=3,b1•b2•b3=-3,求此等比数列的通项公式an.
[解析] 由b1+b2+b3=3,
得log2=3,
∴a1•a2•a3=23=8,
∵a22=a1•a3,∴a2=2,又b1•b2•b3=-3,
设等比数列{an}的公比为q,得
log2•log2=-3.
解得q=4或,
∴所求等比数列{an}的通项公式为
an=a2•qn-2=22n-3或an=25-2n.
某工厂XX年生产某种机器零件100万件,计划到XX年把产量提高到每年生产121万件.如果每一年比上一年增长的百分率相同,这个百分率是多少?
XX年生产这种零件多少万件?
.
[解析] 设每一年比上一年增长的百分率为x,则从XX年起,连续3年的产量依次为a1=100,a2=a1,a3=a2,即a1=100,a2=100,a3=1002,成等比数列.
由1002=121得2=1.21,
∴1+x=1.1或1+x=-1.1,
∴x=0.1或x=-2.1,
a2=100=110,
所以每年增长的百分率为10%,XX年生产这种零件110万件.
等差数列{an}中,a4=10,且a3,a6,a10成等比数列.求数列{an}前20项的和S20.
[解析] 设数列{an}的公差为d,则a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.
由a3,a6,a10成等比数列得a3a10=a26,
即=2,
整理得10d2-10d=0,解得d=0或d=1.
当d=0时,S20=20a4=200,
当d=1时,a1=a4-3d=10-3×
1=7,
于是,S20=20a1+d=20×
7+190=330.
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