七年级数学上下册知识点总结 110章Word文档格式.docx
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知识点2有理数的分类
(1)按整数、分数的关系分类:
(2)按正数、负数与0的关系分类:
注通常把正数和0统称为非负数,负数和0统称为非正数,正整数和0称为非负整数(也叫做自然数),负整数和0统称为非正整数。
如果用字母表示数,则a>
0表明a是正数;
a<
0表明a是负数;
a
0表明a是非负数;
0表明a是非正数。
知识点3数轴
数轴是理解有理数概念与运算的重要工具,数与表示数的图形(如数轴)相结合的思想是学习数学的重要思想。
正如华罗庚教授诗云:
数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。
数缺形时少直觉,形少数是难入微。
数形结合百般好,隔裂分家万事非。
切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离!
数与形的第一次联姻——数轴,使数与直线上的点之间建立了对应关系,揭示了数与形的内在联系,并由此成为数形结合的基础。
1)数轴的定义
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
数轴的定义包含三层含义:
一,数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;
二,数轴有三要素——原点、正方向、单位长度,三者缺一不可;
三,原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定,都是根据实际需要“规定”的(通常取向右为正方向)。
2)数轴的画法
(1)画一条直线(一般画成水平的直线)。
(2)在直线上选取一点为原点,并用这点表示零(在原点下面标上“0”)。
(3)确定正方向(一般规定向右为正),用箭头表示出来。
(4)选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示为1,2,3……;
从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示为-1,-2,-3……
注
(1)原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取;
(2)确定单位长度时,根据实际情况,有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点,从原点向右,依次表示为2,4,6,……;
从原点向左,依次表示为-2,-4,-6,……;
3)数轴上的点与有理数的关系
所有的有理数都可以用数轴上的点表示。
正有理数可以用原点右边的点表示,负有理数可以用原点左边的点表示,零用原点表示。
4)利用数轴比较有理数的大小
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
正数都大于0;
负数都小于0;
正数大于一切负数。
知识点4相反数
1)相反数的定义
(1)相反数的几何定义:
在数轴上原点的两旁,到原点距离相等的两个点所表示的数,叫做互为相反数。
如下图,4与-4互为相反数,
与-
互为相反数。
(2)相反数的代数定义:
只有符号不同的两个数(除了符号不同以外完全相同),我们说其中一个是另一个的相反数。
2)相反数的性质:
(1)任何一个数都有相反数,而且只有一个。
正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0。
0是唯一一个相反数等于本身的数。
反之,如果a=-a,那么a一定是0.
3)相反数的特征:
若a与b互为相反数,则a+b=0(或a=-b)
若a+b=0(或a=-b),则a与b互为相反数。
4)求一个数的相反数的方法:
加个负号即可。
5)多重符号的化简
(1)在一个数的前面添上一个“+”号,仍然与原数相同,如+5=5,+(-5)=-5。
(2)在一个数的前面添上一个“-”号,就成为原数的相反数。
如-(-3)就是-3的相反数,因此,-(-3)=3。
知识点5绝对值的概念
(1)绝对值的几何定义:
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,数a的绝对值记作“
”
(2)绝对值的代数定义:
一个正数的绝对值是它本身;
一个负数的绝对值是它的相反数;
0的绝对值是0。
即
知识点6有理数大小的比较
正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。
利用数轴,在数轴右边的数永远大于左边的数
1.3有理数的加减法
1.3.1有理数的加法
知识点1有理数的加法
把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。
相加的两个有理数有以下几种情况:
(1)两数都是正数;
(2)两数都是负数;
(3)两数异号,即一个是正数,一个是负数;
(4)一个是正数,一个是0;
(5)一个是负数,一个是0;
(6)两个都是0。
知识点2有理数加法法则
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0。
(3)一个数同0相加,仍得这个数。
知识点3有理数加法的运算定律
(1)加法交换律:
(2)加法结合律:
1.3.2有理数的减法
知识点1有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数,即
知识点2有理数的加减混合运算
1)有理数加减法统一成加法的意义
对于有理数的加减混合运算中的减法,可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。
这样一来,就将原来的混合运算统一为加法运算。
统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式,有时,我们把这样的式子叫做代数和。
2)有理数加减混合运算的方法
一、运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。
二、运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。
1.4有理数的乘除法
1.4.1有理数的乘法
知识点1有理数乘法法则
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
任何数同0相乘,都得0。
知识点2倒数的概念
乘积是1的两个数互为倒数。
由于
,所以当a是不为0的有理数时,a的倒数是
若a、b互为倒数,则ab=1。
知识点3有理数乘法法则的推广
(1)几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定。
当负因数有奇数个时,积为负;
当负因数有偶数个时,积为正。
(2)几个数相乘,只要有一个因数为0,积就为0。
知识点4有理数乘法的运算定律
(1)乘法交换律:
(2)乘法结合律:
(3)分配律:
1.4.2有理数的除法
知识点1有理数除法法则
一、除以一个数等于乘以这个数的倒数。
二、两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0。
知识点2有理数的乘除混合运算:
除转乘,确定符号。
知识点3有理数的四则混合运算
先乘除,后加减,如果有括号,就先算括号里面的。
同级运算中,要按照从左到右的顺序。
1.5有理数的乘方
知识点1有理数乘方的意义
求n个相同因数的积的运算,叫乘方。
例如a·
a·
a…a,记作“
”。
乘方的结果叫做幂。
在
中,
叫做底数,n叫做指数,
读作
的n次方,
知识点2有理数乘方运算的性质
正数的任何次幂都是正数负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.0的任何次幂都是0.
知识点3有理数混合运算的运算顺序
先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。
知识点4科学计数法
把一个大于10的数记成“
”的形式,其中a是整数数位中只有一位的数,这种记数法叫做科学记数法。
如42000000=4.2×
知识点5研究近似数的意义
在生产实践和实际生活中,不仅存在着大量的准确数,同时也存在着大量的近似数。
近似数就是与实际接近的数。
出现近似数的原因有两点:
一是有时候不能得到完全准确的数,如太阳的半径大约是696000千米;
二是有时也没有必要弄得完全准确,如买10千克大米,有时可能多一点,有时也可能少一点。
知识点2精确度
一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。
知识点3有效数字
四舍五入后的近似数,从左边第一个不为0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字,都叫做这个数的有效数字。
方法技巧1:
在只含有乘、除法的算式中,可以由“负”号的个数确定结果的符号。
“负”号有奇数个时,结果为负;
“负”号有偶数个时,结果为正。
方法技巧2:
分数、小数乘除混合运算,通常把小数化为分数,带分数化为假分数。
当把乘除都化成乘积的形式时,应先确定积和符号。
含有多重括号,去括号的一般方法是由内向外,即依次去掉小、中、大括号,也可以由外到内。
在进行混合运算时,要注意两点:
一是运算顺序,二是运算符号。
方法技巧3:
灵活运用有理数的运算法则、运算律,适当地添加或去括号改变运算顺序常可达到简化运算的效果。
凑整、分组、拆项、相消、分解相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧。
人教版数学七年级(上)第二章整式的加减知识点
1.单项式:
数字与字母的积或者字母与字母的积。
一个单独的数字或者具体的数字也是单项式。
数字与字母或者字母与字母相乘时乘号省略不写,且把数字写在字母的前面。
2.单项式的系数:
单项式中的数字因数。
如果在一个单项式中没有出现具体的数字,则它的系数是1.例如:
xy它的系数是1,-n它的系数是-1.常数项(具体的数字)的系数就是它本身,例如:
3的系数就是3,π的系数就是π。
π是一个常数(具体的数字),不是字母。
3.单项式的次数:
单项式中所以字母指数的和。
的次数是2次,
的次数是5次,
的次数是3次。
常数(具体的数字)的次数是0次,例如:
3的次数就是0,π的次数是0。
4.多项式:
几个单项式的和叫做多项式,其中每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫常数项。
多项式
是由单项式
相加组成,所以
就是多项式
的项,
就是常数项。
5.多项式的次数:
多项式中次数最高项的次数。
要求一个多项式的次数,应该先求出它的每一个项的次数,然后再看哪个项的次数最高,那么次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
其中次数最高的项叫最高次项,例如:
,
的次数是3次,
的次数是1次,
的次数是0次,所以
的次数最高,那么
就是最高次项,则这个多项式的次数就是3次。
6.整式:
多项式和单项式统称为整式。
如果一个式子的分母中出现了字母(π除外),那么它就不是整式(即它不是单项式,也不是多项式)。
7.同类项:
含有相同的字母且相同字母的指数也相同的项叫做同类项,例如
与
是同类项,因为这两个项中都含有字母m、n,并且字母m的指数都是3,字母n的指数都是2,所以他们是同类项。
同类项与系数和字母的顺序无关,只与字母和字母的指数有关。
几个常熟项也是同类项,如3与5,-7与100等等。
8.合并同类项的方法:
把每个同类项的系数相加,把字母以及字母的指数写在系数的后面,例如:
=(3+5)
=8
是同类项才能合并,否则不能进行合并。
9.去括号的方法:
1.如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;
2.如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
注意,+(x-3),可以看作1与(x-3),去括号得:
+(x-3)=x-3
-(x-3)可以看作-1与(x-3),去括号得:
-(x-3)=-x+3.
如果括号外的系数不是1和-1时,应先把符号放在括号外,用数字与括号内的每一项相乘,乘完之后再按照去括号的方法来去括号。
+3(2m-5n)=+(3×
2m-3×
5n)=+(6m-15n)=6m-15n
-3(2m-5n)=-(3×
5n)=-(6m-15n)=-6m+15n
10.整式加减的运算法则:
几个整式项加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项。
11.船在顺水、逆水中航行或者飞机在顺风、逆风中飞行的问题:
船在顺水中航行的速度=船在静水中航行的速度+水流速度
船在顺水中航行的速度=船在静水中航行的速度-水流速度
飞机在顺风中飞行的速度=飞机在无风时飞行的速度+风的速度
飞机在顺风中飞行的速度=飞机在无风时飞行的速度-风的速度
在求多项式的值时,应先将多项式进行化简,然后再将题中相应字母的值带入化简之后的式子进行计算。
人教版数学七年级(上)第三章一元一次方程知识点
1.等式:
用“=”号连接而成的式子叫等式.
2.等式的性质:
等式性质1:
等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;
等式性质2:
等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,所得结果仍是等式.
3.方程:
含未知数的等式,叫方程.
4.方程的解:
使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;
“方程的解就能代入”!
5.移项:
改变符号后,把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1.
6.一元一次方程:
只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.
7.一元一次方程的标准形式:
ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0).
8.一元一次方程解法的一般步骤:
化简方程----------分数基本性质
去分母----------同乘(不漏乘)最简公分母
去括号----------注意符号变化
移项----------变号
合并同类项--------合并后注意符号
系数化为1---------未知数细数是几就除以几
10.列一元一次方程解应用题:
(1)读题分析法:
…………多用于“和,差,倍,分问题”
仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:
“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套-----”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程.
(2)画图分析法:
…………多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.
11.解实际应用题:
知识点1:
市场经济、打折销售问题
(1)商品利润=商品售价-商品成本价
(2)商品利润率=
×
100%
(3)商品销售额=商品销售价×
商品销售量(4)商品的销售利润=(销售价-成本价)×
销售量
知能点2:
方案选择问题
知能点3储蓄、储蓄利息问题
(1)顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率。
利息的20%付利息税
(2)利息=本金×
利率×
期数本息和=本金+利息利息税=利息×
税率(20%)
(3)
知能点4:
工程问题
工作量=工作效率×
工作时间工作效率=工作量÷
工作时间
工作时间=工作量÷
工作效率完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1
知能点5:
若干应用问题等量关系的规律
(1)和、差、倍、分问题此类题既可有示运算关系,又可表示相等关系,要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义,如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等,它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。
增长量=原有量×
增长率现在量=原有量+增长量
(2)等积变形问题
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变.
①圆柱体的体积公式V=底面积×
高=S·
h=
r2h
②长方体的体积V=长×
宽×
高=abc
知能点6:
行程问题
基本量之间的关系:
路程=速度×
时间时间=路程÷
速度速度=路程÷
时间
(1)相遇问题
(2)追及问题
快行距+慢行距=原距快行距-慢行距=原距
(3)航行问题顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系
知能点7:
数字问题
(1)要搞清楚数的表示方法:
一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9)则这个三位数表示为:
100a+10b+c。
然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.
(2)数字问题中一些表示:
两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;
偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;
奇数用2n+1或2n—1表示。
人教版数学七年级(上)第四章图形认识初步知识点
1、
几何图形:
我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形。
几何图形分为平面图形和立体图形。
(1)
平面图形:
图形所表示的各个部分都在同一平面内的图形,如直线、三角形等。
(2)
立体图形:
图形所表示的各个部分不在同一平面内的图形,如圆柱体。
2、
常见的立体图形
柱体:
A棱柱---有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,由这些面围成的几何体叫做棱柱。
B圆柱---以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余各边围绕它旋转一周二形成的曲面所围成的集合体叫做圆柱。
椎体:
A棱锥—有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫棱锥。
B圆锥—以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的曲面围成的几何体叫做圆锥。
(3)
球体:
半圆以它的直径为旋转轴,旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做球体。
(4)
多面体:
围成棱柱和棱锥的面都是平的面,想这样的立体图形叫做多面体。
3、
常见的平面图形
多边形:
由线段围成的封闭图形叫做多边形。
多边形中三角形是最基本的图形。
圆:
一条线段绕它的端点旋转一周而形成的图形。
扇形:
由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径围成的图形叫做扇形。
4、
从不同方向观察几何体
从正面、上面、左面三个不同方向看一个物体,然后描出三张所看到的图(分别叫做正视图、俯视图、侧视图),这样就可以把立体图形转化为平面图形。
5、
立体图形的展开图
有些立体图形是有一些平面图形围成的,把它们的表面适当剪开后在平面上展开得到的平面图形称为立体图形的展开图。
圆柱和圆锥的侧面展开图
棱柱和棱锥的展开图
根据展开图判断立体图形的规律:
A展开图全是长方形或正方形时------正方体或长方体;
B展开图中含有三角形时-----棱锥或棱柱;
若展开图中含有2个三角形3个长方形-----三棱柱;
若展开图中全是三角形(4个)-----三棱锥。
C展开图中含有圆和长方形-----圆柱;
D展开图中含有扇形------圆锥。
6、
点、线、面、体
体:
几何体简称为体。
面:
包围着体的是面,面分为平面和曲面。
线:
面与面相交的地方形成线,线分为曲线和直线。
点:
线与线相交的地方是点。
7、
点动成线、线动成面、面动成体。
8、
几何图形的组成:
由点线面体组成。
点是构成图形的基本元素,而点本身也是最简单的几何图形。
9、
直线:
把线段向两端无限延伸形成的图形叫做直线。
表示方法
点与直线的关系
直线的基本性质:
经过两点有且只有一条直线(两点确定一条直线);
交点:
当两条不同的直线有一个公共点时,我们就称这两条直线相交,这个公
共点叫做它们的交点。
10、
射线:
把线段向一方无限延伸的图形叫做射线。
表示方法:
端点字母必须写在前。
射线可以看做是直线的一部分,识别射线是否相同----端点相同、延伸方向也相
同。
11、
线段:
直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点。
画法
基本性质:
两点之间,线段最短。
两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。
线段的中点:
把一条线段分成相等的两条线段的点叫做线段的中点。
(5)
比较线段长短的方法:
A叠合法;
B度量法。
12、
直线、射线、线段三者之间的区别与联系(从以下六个方面区别)
表示法
延伸性
端点个数
画图叙述:
过AB两点作直线AB;
以O为端点作射线OA;
连接AB。
特征
(6)
性质
13、用圆规和直尺画线段的和与差
14、角:
由一点引出两条射线形成的图形叫做角。
这两条射线叫做角的两边。
这一点叫做角的顶点。
角也可看作是由一条射线绕它端点旋转而成的。
15、角的表示方法:
(1)用三个大写英文字母表示;
(2)用一个大写英文字母表示;
(3)用阿拉伯数字表示;
(4)用小写希腊字母表示。
16、角的度量:
“°
”“′”“″”度分秒。
17、角的大小的比较方法:
(1)重叠法;
(2)度量法。
18、两角的和、倍、差、分的意义
19、角的平分线:
从一个角的顶点出发,把这个角分为相等的两个角的这条射线叫做角的平分线。
20、余角、补角
(1)概念:
余角----如果两个角的和相加等于直角即90°
,那么这两个角互余,其中一个角叫做另一个角的余角。
补角----如果两个角的和相加等于平角即180°
,那么这两个角互补,其中一个角叫做另一个角的补角。
(2)性质:
等角的余角相等;
等角的补角相等。
21、方位角:
必须以正南。
正北方向为基准。
人教版数学七年级(下)第五章相交线与
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- 七年级数学上下册知识点总结 110章 七年 级数 上下册 知识点 总结 110