春人教版八年级数学下册同步测试微专题五 和平行四边形的判定有关的证明文档格式.docx
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(3)一组对边平行且相等;
(4)两组对角分别相等;
(5)对角线互相平分,到底用哪一种方法要根据具体情况确定.本题涉及对角线的关系,故选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来判断,同时本题是平行四边形的性质和判定的综合运用,先用性质得出对角线的关系,再用判定定理证出平行四边形.
如图2,在▱ABCD的对角线BD上取两点E,G,使BE=DG.在对角线AC的延长线上取两点F,H,使AH=CF.求证:
四边形EFGH是平行四边形.
图2
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.
又∵BE=DG,AH=CF,∴OB-BE=OD-DG,OA+AH=OC+CF,
∴OE=OG,OH=OF,∴四边形EFGH是平行四边形.
[2018·
道外区一模]如图3,在△ABC中,D是BC边的中点,分别过点B,C作射线AD的垂线,垂足分别为E,F,连接BF,CE.
(1)求证:
四边形BECF是平行四边形;
(2)若AF=FD,在不添加辅助线的条件下,直接写出与△ABD面积相等的所有三角形.
图3
解:
(1)证明:
∵D是BC中点,∴BD=CD,
∵BE⊥AE,CF⊥AE,
∴∠BED=∠CFD=90°
,
在△BED与△CFD中,
∴△BED≌△CFD(AAS),∴ED=FD,
∵BD=CD,∴四边形BECF是平行四边形;
(2)与△ABD面积相等的三角形有△ACD,△CEF,△BEF,△BEC,△BFC.
恩施]如图4,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,AD交BE于O.求证:
AD与BE互相平分.
图4
变形3答图
如答图,连接BD,AE.
∵AB∥ED,∴∠ABC=∠DEF.
∵AC∥FD,∴∠ACB=∠DFE.
∵FB=CE,∴BC=EF.
在△ACB和△DFE中,
∴△ACB≌△DFE(ASA).∴AB=DE.
∵AB∥ED,∴四边形ABDE是平行四边形.
∴AD与BE互相平分.
嘉兴秀洲中学月考]如图5①,在▱ABCD中,点E是边BC的中点,DE的延长线与AB的延长线相交于点F.
图5
△CDE≌△BFE;
(2)如图②,连接BD,CF,判断四边形CDBF的形状,并说明你的理由.
∴AB∥CD,∴∠F=∠CDE,
∵点E是边BC的中点,∴BE=CE,
在△BFE和△CDE中,
∴△CDE≌△BFE(AAS);
(2)四边形CDBF是平行四边形.理由:
∵△CDE≌△BFE,∴DE=EF,
又∵BE=CE,
∴四边形CDBF是平行四边形.
如图6,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,在①AB∥CD;
②AO=CO;
③AD=BC中,任意选取两个作为条件,以“四边形ABCD是平行四边形”为结论构成命题.
(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗?
若是,请证明;
若不是,请举出反例;
(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题,并举出反例加以说明(命题请写成“如果…,那么…”的形式).
(1)以①②作为条件的命题是真命题.
∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,
又∵∠AOB=∠COD,AO=CO,
∴△ABO≌△CDO(AAS),
∴AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形;
(2)假命题:
①在四边形ABCD中,如果AB∥CD,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形;
②在四边形ABCD中,AC交BD于点O,如果AO=CO,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形.
反例:
如答图①,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,但四边形ABCD不是平行四边形;
如答图②,在四边形ABCD中,AO=CO,AD=BC,但四边形ABCD不是平行四边形.
[2019·
九江期末]如图7,四边形ABCD是平行四边形,∠EAD=∠DBC,∠AED=90°
.
AE∥BD;
(2)过点C作CF⊥BD于点F,连接EF,求证:
四边形EFCD是平行四边形.
图7
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∵∠EAD=∠DBC,
∴∠EAD=∠ADB,
∴AE∥BD;
(2)∵AE∥BD,∴∠AED+∠BDE=180°
∵∠AED=90°
,∴∠BDE=90°
∵CF⊥BD,∴∠EDB=∠CFD=90°
,∴DE∥CF,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD,
∵∠EAD=∠CBF,∠AED=∠BFC=90°
∴△ADE≌△BCF,∴DE=CF,
∴四边形EFCD是平行四边形.
如图8,D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于点M,若MA=MC.
CD=AN;
(2)若AC⊥DN,∠CAN=30°
,MN=1,求四边形ADCN的面积.
∵AB∥CN,
∴∠DAM=∠NCM.
在△AMD和△CMN中,
∴△AMD≌△CMN(ASA),∴AD=CN.又∵AD∥CN,
∴四边形ADCN是平行四边形,∴CD=AN;
(2)∵AC⊥DN,∠CAN=30°
,MN=1,
∴AN=2MN=2,则AM=
=
∴S△AMN=
AM·
MN=
×
1=
∵四边形ADCN是平行四边形,
∴S▱ADCN=4S△AMN=4×
=2
[2019春·
历下区期末]如图9,在平面直角坐标系中,AB∥OC,A(0,12),B(a,c),C(b,0),并且a,b满足b=
+
+16.一动点P从点A出发,在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动;
动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动,点P,Q分别从点A,O同时出发,当点P运动到点B时,点Q随之停止运动.设运动时间为t(秒).
(1)求B,C两点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCB是平行四边形?
并求出此时P,Q两点的坐标;
(3)当t为何值时,△PQC是以PQ为腰的等腰三角形?
并求出P,Q两点的坐标.
图9
(1)∵b=
+16,
∴a=21,b=16,故B(21,12),C(16,0);
(2)由题意,得AP=2t,QO=t,
则PB=21-2t,QC=16-t,
∵当PB=QC时,四边形PQCB是平行四边形,
∴21-2t=16-t,解得t=5,
∴P(10,12),Q(5,0);
(3)如答图,当PQ=CQ时,过Q作QN⊥AB,
变形8答图
由题意,得122+t2=(16-t)2,解得t=
故P(7,12),Q
;
如答图,当PQ=PC时,过P作PM⊥x轴,
由题意,得QM=t,CM=16-2t,
则t=16-2t,解得t=
,2t=
故P
,Q
综上所述,当△PQC是以PQ为腰的等腰三角形时,P,Q的坐标分别为P(7,12),Q
或P
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