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是对应第二张表的,继续画出表3】
计算检验数确定出基变量X6确定进基变量X3,主元(-2)
3
-8
第一行加第二行乘(-1/2)【根据上表继续画表5,σ行不填】
计算检验数:
全为非正。
但此时常数b已全大于零,最优解=(7,0,4,0)
最优值S’=-7S=7
7/2
-1/2
7
3/2
-7
2用对偶单纯形法解下列线性规划问题
minS=x1+2x2
s.t.-x1+2x2-x3≥1-x1-2x2+x3≥6x1,x2,x3≥0
将原问题化成maxS’=-x1-2x2
s.t.x1-2x2+x3+x4=-1x1+2x2-x3+x5=-6x1,x2,x3,x4,x5≥0
X4
X5
-6
常数项最小出基变量X5,按比值无法比较。
常数项次小出基变量X4,按比值X2为进基变量。
主元(-2)
第一行乘(-1/2)
表格同上X4行对应数字乘-1/2,画出表格2】
第二行加第一行乘(-2)
是对表2而言的,画出表3】
常数项为负数的行元素全大于零,原问题无可行解。
3某地区在制定十年电力规划
设置决策变量设备选方案1,2,3的装机台数分别为x1、x2、x3,它们的年发电量分别为x6、x7、x8亿度,备选方案1无前期土建工程要求,备选方案2和3都需要前期土建工程,这两个前期土建工程是否施工用变量x4、x5代表。
则x1取值0-5之间的整数,x2、x3取值0-4之间的整数,x4、x5只能取0或1,x6、x7、x8大于零。
约束方程满足装机容量需求约束:
10x1+25x2+30x3≥180
满足规划年发电量需求约束:
x6+x7+x8≥100
各电站容量与发电量平衡方程:
每台机组发电量等于单机容量乘全年小时数,再乘与负荷因子,换算亿度量纲,即:
方案1:
x6=(0.66×
8760×
10/10000)×
方案2:
x7=(0.4×
25/10000)×
得三个约束方程:
5.782x1-x6=08.76x2-x7=018.39x3-x8=0
每个方案最多的装机台数约束:
方案1:
不需前期土建工程;
x1≤5
前期土建工程是装机的先决条件,且小于最大允许数;
x2≤4x4
方案3:
x3≤4x5
变量取值限制x1、x2、x3≥0且整数x6、x7、x8≥0x4或x5=1前期土建工程要求
x4或x5=0无前期土建工程要求
设计目标函数目标函数:
年成本费用最低。
成本包括两大部分:
可变成本:
与发电量有关的成本,如:
原材料,燃料,动力和活劳动消耗等。
即参数表中年运行成本。
不变成本:
指与装机容量及前期土建投资有关的成本。
单机投资×
回收因子=21×
0.103=2.163(百万元)
回收因子=70×
0.0578=4.046(百万元)
回收因子=65×
0.103=6.695(百万元)
方案2和3的前期土建投资的年资本回收成本分别为504×
0.0578=29.131(百万元)
240×
0.103=24.72(百万元)
对方案1,2,3每发一亿度电的运行成本分别为4.11,2.28,3.65百万元。
则数学模型如下:
MinZ=2.163x1+4.046x2+6.695x3+29.131x4+24.72x5+4.11x6+2.28x7+3.65x8
s.t.10x1+25x2+30x3≥180x6+x7+x8≥100
4某石油公司四厂七售区
炼油厂
日产量
35
25
15
40
销售区
5
6
日最大售量
20
10
平衡问题,用最小元素法求初始方案。
计算检验数。
闭合回路。
最优方案如下,最小运费=元有非基变量的检验数=0,有无穷多组解,另外一个解如下:
5铁路列车编组站
M/M/1/∞/∞排队问题。
其中λ=2,μ=3,ρ=λ/μ=2/3<
1系统中列车的平均数
Ls=ρ/(1-ρ)=(2/3)/(1-2/3)=2(列)
列车在系统中的平均停留时间Ws=Ls/λ=2/2=1(小时)系统中等待编组的列车平均数Lq=Ls-ρ=2-2/3=4/3(列)列车在系统中的平均等待编组时间Wq=Lq/λ=(4/3)/(1/2)
=2/3(小时)记列车平均延误(由于站内
2股道均被占用而不能进站)时间为W0
则W0=WP{N>
2}=W{1-P0-P1-P2}=
W{1-(l-ρ)-(l-ρ)ρ1-(l-ρ)ρ2}
=1*ρ3=ρ3=(2/3)3=0.296(小时)
故每天列车由于等待而支出的平均费用E=24λW0a=24*2*0.296*a=14.2a元
6某修理店只有一位修理工
M/M/1/∞/∞排队问题.其中λ=4,
μ=1/0.1=10(人/小时),ρ=λ/μ=2/5<
修理店内空闲的概率P0=1-ρ=(1-2/5)=0.6
店内恰有3个顾客的概率
P3=ρ3(1-ρ)=(2/5)3(1-2/5)=0.038
店内至少有1位顾客的概率P{N≥1}
=1-P0=1-(1-ρ)=ρ=2/5=0.4在店内平均顾客数L=ρ/(1-ρ)=(2/5)/(1-2/5)=0.67(人)每位顾客在店内平均逗留时间W=L/λ=0.67/4=10分钟等待服务的平均顾客数Lq
=L-ρ=0.67-2/5=0.27(人)
每个顾客平均等待服务时间Wq=Lq/λ=0.27/4=0.0675小时=4分
7某单人理发店有6个椅子
N=7为系统中最大的顾客数,λ=3人/小时,μ=4人/小时
1)、某顾客一到达就能理发的概率相当于理发店内无顾客的概率:
P0=(1-ρ)/1-ρN+1=[1-(3/4)]/[1-(3/4)7+1]=0.2778
2)、需要等待的顾客数的期望值?
LS=(ρ/1-ρ)-[(N+1)ρN+1]/(1-ρN+1)
=[(3/4)/1-(3/4)]-[8×
(3/4)8]/[1-(3/4)8]=2.11
Lq=Ls-(1-P0)=2.11-(1-0.2778)=1.39(人)
3)、求有效到达率?
λe=μ(1-P0)=
4(1-0.2778)=2.89(人/小时)
4)、求一顾客在理发馆内逗留的期望时间?
Ws=Ls/λe=2.11/2.89=0.73(小时)=43.8(分钟)
5)、在可能来的顾客中不等待就离开的概率就是求系统中有7个顾客的概率:
P7=[(1-ρ)ρn]/[1-ρN+1]=
[(1-0.75)0.757]/[1-0.758]=3.7%
8某车间有5台机器
m=5,λ=1/15,μ=1/12,ρ=λ/μ=0.8
1)、P0=[0.80×
5!
/5!
+0.81×
/4!
+0.82×
/3!
+0.83×
/2!
+0.84×
/1!
+0.85×
/0!
]-1
=1/136.8=0.0073
2)、P5=0.85×
×
P0=0.2873)、Ls=5-(1/0.8)×
(1-0.0073)=3.76(台)
4)、Lq=3.76-(1-0.0073)=2.77(台)5)、Ws=[5/(1/12)(1-0.0073)]-15=46(分钟)
6)、Wq=46-12=34(分钟)
7)、机器停工时间过长,修理工几乎没有空闲时间,应当提高服务效率,减少修理时间或增加修理工人。
9某售票处有三个窗口
这是一个M/M/c/∞/∞型排队问题。
其中c=3,λ/μ=0.9/0.4=2.25,ρ=λ/cμ=0.75<1
1)、整个售票处空闲的概率?
P0=[(2.25)0/0!
+(2.25)1/1!
+(2.25)2/2!
+(2.25)3/3!
×
1/(1-0.75)]-1=0.07482)、平均队长?
lq={[(2.25)3×
0.75]/[3!
(1-0.75)2]}×
0.0748=1.7
Ls=1.7+2.25=3.953)、平均等待时间和逗留时间?
Wq=1.7/0.9=1.89(分钟);
Ws=3.95/0.9=4,394)、顾客必须等待的概率?
P(n≥3)=P(1-P0-P1-P2)
=1-0.0748-[1×
(2.25)1×
0.0748]/1!
-1×
(2.25)2×
0.0748]/2!
=1-0.0748-0.1683-0.1893=0.5676
10两个修理工人5台机器
根据题意,m=5,λ=1(次/小时),μ=4(台/小时)c=2,ρ=mλ/cμ=5/8=0.625,cρ/m=0.25
P0=(1/5!
)[(1/5!
)(1/4)0+(1/4!
)(1/4)1+(1/2!
3!
)(1/4)2+(22/2!
)(1/2!
)(1/8)3+(1/8)4+(1/8)5]-1=0.315P1=0.394,P2=0.197,P3=0.074,P4=0.018,P5=0.002
1)、Lq=P3+2P4+3P5=0.1182)、Ls=P1+2P2+3P3+4P4+5P5=1.092
3)λe=1×
(5-1.092)=3.9084)Wq=0.118/3.908=0.03(小时)5)Ws=1.092/3.908=0.28小时
11某医院手术室根据病人来诊和完成手术时间的记录
(1)算出每小时病人平均到达率=∑nfn/100=2.1(人/小时)
每次手术平均时间=∑vfv/100=0.4(小时/人)每小时完成手术人数=1/0.4=2.5(人/小时)
(2)取λ=2.1μ=2.5。
可认为病人到达服从泊松分布,手术时间服从负指数分布。
(3)ρ=λ/μ=2.1/2.5=0.84说明服务机构(手术室)有84%的时间是繁忙的,16%空闲
(4)病房中病人数Ls=2.1/(2.5-2.1)=5.25(人)
排队等待病人数Lq=0.84×
5.25=4.41(人)病人逗留时间Ws=1/(2.5-2.1)=2.5(小时)
病人排队等待时间Wq=0.84/(2.5-2.1)=2.1(小时)
12目标规划某人有一笔50万元的资金可用于长期投资
设xi为第I种投资方式在总投资额中的比例,则模型如下:
MaxZ=11x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6+3x7
s.t.3x1+10x2+6x3+2x4+x5+5x6≤511x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6+3x7≥13
x1+3x2+8x3+6x4+x5+2x6≤415x2+30x3+20x4+5x5+10x6≥10
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=1x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0
整数规划整数规划的一般数学模型:
max(min)Z=Σcjxjs.t.Σaijxj≤bi(i=1,2,…m)
xj≥0且部分或全部是整数
13登山准备
序号
物品
食品
氧气
冰镐
绳索
帐篷
相机
设备
重量
12
重要系数
18
14
8
令xi=1表示登山队员携带物品i,xi=0表示登山队员不携带物品则问题表示成0-1规划:
maxZ=20x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10x7
s.t.5x1+5x2+2x3+6x4+12x5+2x6+4x7≤25xi=1或xi=0i=1,2,….7
14某机械化施工公司
设每天安排WY50、WY75、WY100液压挖掘机和5t、8t、15t自卸汽车各是X1、X2、X3、X4、X5、X6台,则根据题意建立整数规划模型为:
MinZ=880X1+1060X2+1420X3+318X4+458X5+726X6
S.t401X1+549X2+692X3≥98028X4+45X5+68X6≥980
28X4+45X5+68X6≥401X1+549X2+692X3
X1≤4X2≤2X3≤1X4≤10X5≤20X6≤10Xj≥0,且为整数。
15某种农作物在生长
假设用甲、乙、丙、丁为X1、X2、X3、X4公斤。
数学模型为:
minS=4x1+15x2+10x3+13x4
s.t.0.03x1+0.3x2+0.15x4≥330.05x1+0.2x3+0.1x4≥240.14x1+0.07x4≥24
x1,x2,x3,x4≥0将模型化为:
maxS=-4x1-15x2-10x3-13x4
-0.03x1-0.3x2-0.15x4+x5=-33-0.05x1-0.2x3-0.1x4+x6=-24
-0.14x1-0.07x4+x7=-24x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0
初始可行基B1=(P5,P6,P7)
-15
-10
-13
x7
-0.03
-0.3
-0.15
-33
-0.05
-0.2
-0.10
-24
-0.14
-0.07
-42
第三行乘以1/(-0.14)
根据上表,x7对应行乘那个数字,画出表2】
第一行加上第三行乘(0.03)
对表2而言的,是变第一行,第三行同表2.画表3】
第二行加上第三行乘(0.05)
对表3而言的,是变第二行,第三行同表3.画表4】
第一行除(-0.3)计算检验数
0.45
-3.33
0.7
80
-0.075
-0.36
-9
0.5
-7.14
300
-4.25
-49.95
-18.06
-2400
第二行除以(-0.2)
0.375
-5
1.8
45
-2850
最优解(300,80,45)最优值S’=-2850S=2850
16设有街道图,求他的最优投递路线。
有四个奇顶点配成两对v2v4,v6v8
(1)任取v2v4通路v2v1v8v7v6v5v4任取v8v6通路v8v1v2v3v4v5v6
将通路上的边各重复一次,无奇顶点是欧拉图,有第一个可行方案
重复边总长为=51
(2)调整可行方案:
有二条重复边的去了。
重复边总长为=21,检查图中圈:
总权=24重复边长=14大于24/2
(3)去了原重复边,添上原没有的重复边,重复边总长=17,检查图中圈:
总权=24,
圈上重复边长=13大于24/2(4)去了原重复边,添上原没有的重复边
重复边总长=15,得最优方案
17一个工厂要将产品送到火车站
解
(1)将各弧的单位运费作为长度,求v0到vn的最短
增流路v0v1v3v4vn,路长为8,可增加1单位的流值。
(2)再求v0到vn的最短增流路v0v1v4vn,路长为9,可增加2单位的流值。
(3)再求v0到vn的最短增流路v0v2v3v1v4vn,
路长为14,可增加1单位的流值。
(4)再求v0到vn的最短增流路v0v2v3v5vn,路长为18,可增加2单位的流值。
最大流为8,最小运费=3×
3+5×
4+3×
4+1×
1+3×
2+2×
9+4×
2+4×
3=90
18一家电脑制造公司自行生产扬声器用于自己的产品若不允许缺货
解:
R=6000台/月,c3=1200元,c1=0.10元/月,k=20元。
19一家电脑制造公司自行生产扬声器用于自己的产品若允许缺货
R=6000台/月,c3=1200元,k=20元,c1=0.10元/月,c2=1元/只。
、
20某店拟出售甲商品
该站的缺货损失每单位商品为70-50=20。
滞销损失每单位商品50-40=10,故k=20,h=10
·
21设某公司利用塑料作原料制成产品出售
1、计算临界值N=(C2-K)/(C1+C2)=(1015-800)/(1015+40)=0.204
2、选使不等式成立的Si最小值作S
3、原存储I=10,订货量Q=S-I=40-10=30
4、求s。
由于已算出S=40,可以作为s的r值只有30或40两个值。
将30作为s得:
800×
30+1015×
[(40-30)×
0.2+(50-30)×
0.4+(60-30)×
0.2]=40240
将40作为s值,得:
60+800×
40+40×
0.2]+1015×
[(50-40)×
0.4+(60-40)×
0.2]=40260
即左端数值为40240,右端数值为40260,不等式成立,30已是r的最小值,故s=30.
故存储策略为:
每个阶段开始时检查存储量I,当I>30箱时不必补充存储。
当I≤30箱时补充存储量达到40箱。
22木器厂有六个车间,办事员经常要到各个车间了解生产进度。
最短路
23有一批货物要从v1运到v9求最短运输路线
24企业要制定一台重要设备更新的五年计划目标是使总费用最小
用点vi表示年初。
(i=1,2,…6),v6表示第五年底。
弧aij=(vi,vj)表示第i年初购置设备使用到第j年初的过程。
对应的权期间发生的购置费用和维修费用之和。
原问题转变为从v1到v6的一条最短路。
得到两条最短路(v1,v3,v6)(v1,v4,v6)
表示在第一、三年或第一、四年各购置一台设备,总费用都为53万元。
25已知一个地区的交通网络如下,医院。
。
平均路程最短
这是一个选择地址问题,实际要求出图的中心,可化成一系列求最短路问题。
先求出v1到其他各点的最短路长dj,令d(v1)=max(d1,d2…d7),表示若医院建在v1,则离医院最远的小区距离为d(v1)依次计算v2,v3….v7到其余各点的最短路,类似求出d(v2)d(v3)….d(v7),d(vi)中(I=1,2…7)中最小者。
求出各个小区到区中心医院的平均路程的最小者?
由于d(v6)=48最小,,此时离医院最远小区距离为48,比医院建在其他小区时距离都短。
同时将区医院建在v6,平均路程为23.71,比医院建在其他小区时距离都短,所以医院应建在v6。
26网络中最大流
(1)增流路:
v0v3v1v2vn增流值=2
(2)增流路:
v0v2vn增流值=4f=6
(3)增流路:
v0v1v2v4vn增流值=4(4)增流路:
v0v3vn增流值=3f=13
(5)增流路:
v0v1v5v4vn增流值=3(6)增流路:
v0v1v3v4vn增流值
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- 运筹学 课件 例题 集锦