数学新学案同步必修5章末检测卷二Word下载.docx

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4.等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，

则下列各数也为定值的是（）

A.S7B.S8C.S13D.S15

答案C

解析∵a2＋a8＋a11＝（a1＋d）＋（a1＋7d）＋（a1＋10d）＝3a1＋18d＝3（a1＋6d）为常数，∴a1＋6d

为常数.

13×

∴S13＝13a1＋2d＝13（a

1＋6d）也为常数.

5.在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项的和S11等于（）

A.58B.88C.143D.176

解析S11＝

11a1＋a11

11a4＋a8

11×

16

＝88.

n

2.数列{（－1）

·

n}的前2017项的和S2017为（）

A.－2015B.－1009C.2015D.1009

解析S2017＝－1＋2－3＋4－5＋⋯＋2016－2017

＝（－1）＋（2－3）＋（4－5）＋⋯＋（2016－2017）

＝（－1）＋（－1）×

1008＝－1009.

3.若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于（）

A.1或2B.1或－2

C.－1或2D.－1或－2

解析由题意得2a4＝a6－a5，

即2a4＝a4q

－a4q，而a4≠0，

∴q

－q－2＝0，即（q－2）（q＋1）＝0.

∴q＝－1或q＝2.

4.一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7项开始为负数，则它的公差是（）

A.－2B.－3C.－4D.－6

解析由题意，知a6≥0，a7<

0.

a1＋5d＝23＋5d≥0，∴

a1＋6d＝23＋6d<

0，

23

5

∴－

≤d<

－

6.

∵d∈Z，∴d＝－4.

5.在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式为an等于（）

A.2

n－1B.2n－1－1

C.2n－1D.2（n－1）

解析等式两边加1，an＋1＋1＝2（an＋1），所以数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，q＝2为公

比的等比数列，所以an＋1＝2×

n－1＝2n，所以an＝2n－1.

某人为了观看2018年世界杯足球赛，从2014年起，每年的5月1日到银行存入a元的定

期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定

期，到2018年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元）的总数为（）

A.a（1＋p）

5

B.a（1＋p）

a

4－（1＋p）]C.[（1＋p）

p

5－（1＋p）]D.p[（1＋p）

答案D

解析设自2015年起每年到5月1日存款本息合计为a1，a2，a3，a4.

则a1＝a＋a·

p＝a（1＋p），

a2＝a（1＋p）（1＋p）＋a（1＋p）＝a（1＋p）＋a（1＋p），

32

a3＝a2（1＋p）＋a（1＋p）＝a（1＋p）＋a（1＋p）＋a（1＋p），

a4＝a3（1＋p）＋a（1＋p）＝a[（1＋p）4＋（1＋p）3＋（1＋p）2＋（1＋p）]＝a·

4＋（1＋p）3＋（1＋p）2＋（1＋p）]＝a·

1＋p[1－1＋p

1－1＋p

4]

＝[（1＋p）－（1＋p）].

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

＋1＝can（c为非零常数），且前n项和为Sn＝31＝________，k＝

n＋k，则a11.在数列{an}中，an

________.

答案2－1

解析当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，

nn－1＋k）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3＋k）－（3

n－1＝2·

3n－1.＝3－3

由题意知{an}为等比数列，

所以a1＝3＋k＝2，

所以k＝－1.

*，则此数列的通项公式an＝________.12.如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，n∈N

n－1

答案2

解析当n＝1时，S1＝2a1－1，

即a1＝2a1－1，∴a1＝1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2an－1）－（2an－1－1），

∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，

n－1，n≥2，n∈N*，经检验n＝1也符合.∴an＝2

6.一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________.

答案

5－1

解析设三边为a，aq，aq（q>

1），

22222

则（aq）＝（aq）＋a，∴q

5＋1

2.较小锐角记为θ，

则sinθ＝

2＝

aq

.

7.已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝________，a4的最大

值为________.

答案5

解析a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，

222＝25.即a3＋2a3a5＋a5＝25，得（a3＋a5）

∵an＞0，∴a3＋a5＝5，

∴a

4＝a3a5≤

a3＋a5

25

4

当且仅当a3＝a5＝时，取等号，得0<

a4≤

，

5即a4的最大值为.2

8.在等差数列{an}中，a2＝5，a1＋a4＝12，则an＝________，设bn＝

（n∈N

n－1

*），则数列

{bn}的前n项和Sn＝________.

答案2n＋1

4n＋4

a1＋d＝5，解析由题意得

2a1＋3d＝12，

a1＝3，解得

d＝2，

故an＝3＋（n－1）×

2＝2n＋1.

∵bn＝

11

an－14nn＋1

n＋1

裂项求和可得数列{bn}的前n项和

Sn＝

1－

3

＋⋯＋

4n＋1

9.已知数列{an}满足an＋1＝

*

（n∈N

1－an

），a8＝2，则a1＝________；

若数列{an}的前n项和

是Sn，则S2017＝________.

2017

解析∵数列{an}满足an＋1＝

（n∈N1－an

∴an＋2＝

1－an＋1

1－an

－an

∴an＋3＝

1－an＋2

＝an.

－an

∴数列{an}是周期为3的周期数列.

∵a8＝2，∴2＝，解得a7＝

1－a7

同理可得a6＝－1，a5＝2，

∴a1＝a7＝，a2＝a8＝2，a3＝a6＝－1.

a1＋a2＋a3＝

∴S2017＝672×

12017

＝.

22

10.定义：

如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个量，那么这个列叫

作等差列，这个量叫作等差列的公差.已知向量列{an}是以a1＝（1,3）为首项，公差为d＝（1,0）

x5

*）垂直，则的等差向量列，若向量an与非零向量bn＝（xn，xn＝________.

＋1）（n∈N

x1

8

27

解析易知an＝（1,3）＋（n－1,0）＝（n,3），

因为向量an与非零向量bn＝（xn，xn＋1）（n∈N

*）垂直，

所以

xn＋1

＝－

xn

x2x3x4x5

·

x1x2x3x4

＝－

×

－

三、解答题（本大题共5小题，共74分）

11.（14分）设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列.

（1）求数列{an}的公比；

（2）证明：

对任意k∈N

*，S

k＋2，Sk，Sk＋1成等差数列.

（1）解设数列{an}的公比为q（q≠0，q≠1），

2432

由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q＝a1q＋a1q＋q

，由a1≠0，q≠0，得q

－2＝0，解得q＝－2或q＝1（舍去），所以q＝－2.

（2）证明方法一对任意k∈N，

Sk＋2＋Sk＋1－2Sk

＝（Sk＋2－Sk）＋（Sk＋1－Sk）

＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1

＝2ak＋1＋ak＋1·

（－2）＝0，

所以对任意k∈N

，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列.

方法二对任意k∈N

2Sk＝

k

2a11－q

1－q

Sk＋2＋Sk＋1＝

k＋2

a11－q

k＋1

a11－q

k＋2－qk＋1

a12－q

则2Sk－（Sk＋2＋Sk＋1）

a12－qk＋2－qk

k＋2－qk

＋1

a1

＝[2（1－q

k）－（2－qk＋2－qk＋1）]1－q

a1q

＝（q＋q－2）＝0，1－q

因此，对任意k∈N

，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列.

12.（15分）已知数列{log2（an－1）}（n∈N

*）为等差数列，且a1＝3，a3＝9.

（1）求数列{an}的通项公式；

＋＋⋯＋

a2－a1a3－a2

<

1.

＋1－an

（1）解设等差数列{log2（an－1）}的公差为d.

由a1＝3，a3＝9，

得log2（9－1）＝log2（3－1）＋2d，则d＝1.

所以log2（an－1）＝1＋（n－1）×

1＝n，

即an＝2＋1.

（2）证明因为

an＋1－an

n＋1－2n

n，

a2－a1

a3－a2

an＋1－an

1

＝1＋

2

2＋

3＋⋯＋

－n×

2221

＝＝1－n<

12

13.（15分）某市2016年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车牌

照2万张.为了节能减排和控制汽车总量，从2016年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，

而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，

以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.

（1）记2016年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an}，每年发放的电动型汽车

牌照数构成数列{bn}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式.

a1＝10a2＝9.5a3＝____a4＝____⋯

b1＝2b2＝____b3＝____b4＝____⋯

（2）从2016年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？

解

（1）

a1＝10a2＝9.5a3＝9a4＝8.5⋯

b1＝2b2＝3b3＝4.5b4＝6.75⋯

当1≤n≤20且n∈N

时，an＝10＋（n－1）×

（－0.5）＝－0.5n＋10.5；

当n≥21且n∈N时，an＝0.

－0.5n＋10.5，1≤n≤20且n∈N

所以an＝

0，n≥21且n∈N

*.

而a4＋b4＝15.25>

15，

所以bn＝

2·

n－1，1≤n≤4且n∈N*，

14.，n≥5且n∈N

（2）当n＝4时，Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋b1＋b2＋b3＋b4＝53.25.

当5≤n≤21时，Sn＝（a1＋a2＋⋯＋an）＋（b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋⋯＋bn）

nn－1

＝10n＋

21－

4（n－4）

143

4n＋17n－，

由Sn≥200得－

≥200，

n＋17n－

44

即n－68n＋843≤0，得34－313≤n≤21.

所以结合实际情况，可知到2032年累积发放汽车牌照超过200万张.

n，n∈N*.21.（15分）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2

（1）设bn＝

n－1，证明：

数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}的前n项和Sn.

n，

（1）证明由已知an＋1＝2an＋2

an＋1

得bn＋1＝

n＝

2an＋2

n－1＋1＝bn＋1.

∴bn＋1－bn＝1，

又b1＝a1＝1，

∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.

（2）解由

（1）知，bn＝n，即

n－1＝bn＝n，

n－1.∴an＝n·

n－1，∴Sn＝1＋2·

＋3·

2＋⋯＋n·

两边同时乘以2得

12n－1＋n·

2n，2Sn＝1·

2＋2·

2＋⋯＋（n－1）2·

2n－1－n·

2n两式相减得－Sn＝1＋2＋2＋⋯＋2

nnn

＝2－1－n·

2＝（1－n）2－1，

∴Sn＝（n－1）2·

＋1.

15.（15分）已知等比数列{an}满足：

|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.

（2）是否存在正整数m，使得

a1a2

≥1？

若存在，求出m的最小值；

若不存在，请

am

说明理由.

解

（1）设等比数列{an}的公比为q，

33

a1q＝125，

则由已知可得

|a1q－a1q2|＝10，

2|＝10，

解得

a1＝

或

a1＝－5，

q＝－1.q＝3

故an＝

n－1或an＝－5·

（－1）n－1，n∈N*.

（2）设Sm＝＋

a1

a2

若an＝

3n－1，

n－1，

则＝

an

n－1，

则数列

是首项为

，公比为

的等比数列.

从而Sm＝

51－

m

9

1－

10

m<

10

若an＝－5·

（－1）

则＝－

故数列

是首项为－

，公比为－1的等比数列，

，m＝2k－1k∈N

0，m＝2kk∈N

故Sm<

综上，对任何正整数m，总有Sm<

故不存在正整数m，使得

＋⋯＋

≥1成立.

a2am