第九届华杯赛决赛试题及解答Word格式文档下载.docx

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14

3

13

4

6

Z

1

7

9

11

12

2

可

a

g

€

3.等式：

39X-

恰好出现1、2、3、4、…、9九个数字，“潮州市”代表的三位数是（）

4.一个半径为1厘米的圆盘沿着一个半径为4厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后（如图2）,小圆

盘运动过程中扫出的面积是（）平方厘米。

（匸=3.14）

5.甲、乙、丙三只蚂蚁从AB、C三个不同的洞穴同时出发，分别向洞穴B、C、A爬行，同时到达后，继续向洞穴CAB爬行，然后返回自己出发的洞穴。

如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路径相同，爬行的总距离都是7.3米，所用时间分别是6分钟、7分钟和8分钟，蚂蚁乙从洞穴B到达洞穴C时爬行了（）米，蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了（）米。

6.如图3,甲、乙二人分别在A、B两地同时相向而行，于E处相遇后,甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走。

甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相遇，已知甲分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A和B两地相（）米。

7.

8.李家和王家共养了521头牛，李家的牛群中有67%是母牛，而王家的牛群中仅有古是母牛，李家和王家各养了多少头牛？

9.一个最简真分数兰，化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干位的数字之和等于2004,求M的值。

10.小丽计划用31元买每支2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支。

问她最多能买多少支？

最少能买多少支？

11.在3X3的方格纸上（如图4）,用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，贝V认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。

例如图5

和图6是相同类型的涂法。

回答最多有多少种不同类型的涂法？

说明理由。

Hrrn

rtrl

hhtl

图4图5

12.三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整

数的积称为“美妙数”。

问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约

数是多少？

13.用455个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿梭的小正方体，则尚余下371个小正方体，问所粘成的大长方体的棱长各是

多少？

拆下沿棱的小正方体后的多面体（图7是示意图）的表面积是多

少？

一、填空（每题10分，如果一题中有两个填空，则每个5分）

题目

答案

1989.5

728

18.84

2.4;

2.1

1680

二、解答下列各题，写出简要过程（每题10分）：

7•解答：

李家和王家各养了300头和221头牛.算术解法：

1李家养牛数的67%是母牛，母牛数应当是整数，67是质数，所以，李

家养牛数应当是100的倍数，可能是500、400、300、200或100头，王家养牛数则可能是21、121、221、321和421头.

丄

2王家的牛群中有匸是母牛，21、121、221、321和421中仅有221能

为13整除，所以，王家养牛数是221头，李家养牛数是300头.

代数解法:

1李家的牛群中有67%是母牛，67是质数，可以设李家养牛头数为100x,

王家的牛群中仅有匸是母牛，13是质数，可以设王家养牛数是13y，列

出方程

100x+13y=521.

②x和y是整数，分别取x=1,2,3,4,5.可以得到x=3,y=13.或者解同余方程（*）.

（*）式两边除13,

-4x=1,Mod（13）x=3是（**）式的解，得到y=13.

8解答：

M是3.

■■Q■■

01428571,-=0.28571427

5•■石・"

-=0.7142557,-=1E571428

77

2上面6个最简真分数的循环小数节的数字和都是27，2004被27除的余数是6，仅3/7符合要求．

9．解答：

小丽最多能买14支圆珠笔，小丽最少能买9支圆珠笔．

方法一：

1买圆珠笔总费用是奇数，所以，买3元1支的圆珠笔的数量必须是奇数．

2高价格的笔买的越少，买圆珠笔的总数量就越多，若3元和4元的圆珠笔只各买1支，则小丽能买（31-4-3）-2=12支单价2元的圆珠笔，最多能买12+2=14（支）

3类似，低价格笔买的越少，买圆珠笔总的数量就越少，如果小丽2元

和3元的圆珠笔计划各买1支，余下的钱有26元，能买6支单价4元的笔，尚余2元，可以再买1支2元的圆珠笔．所以，小丽最少能买9支圆珠笔．

方法二：

1设2元、3元、4元的圆珠笔各买x、y、z支，则：

2x+3y+4z=31,（*）

2分析等式（*）的奇偶性，y必须是奇数•因为x,y,z>

1,

3y=31-2x-4z<

25,y<

7.列下表：

y=1

x12108642

z123456

y=3

x13579

z54321

y=5

x246

z321

y=7

x13

z21

从上表，小丽最多能买14支圆珠笔，小丽最少能买9支圆珠笔.

方法三:

①因为x,y,z>

1,所以从（*）式，2x+2y+2z=31-y-2zw31-3=28，得到x+y+zW14.

②取x=12,y=1,z=1满足（*）式，且x+y+z=14.小丽最多能买14支圆

珠笔.

3类似，4x+4y+4z=31+2x+y>

31+3=34,―+三》匸.

取x=2,y=1,z=6满足（*）式，并且，x+y+z=9.小丽最少可以买9支圆

10.解答：

不同类型的涂法有3种，如下图A

说明:

1所涂5个阴影方格分布在3行中，只有一行涂有3个阴影方格.同样,仅有一列涂有3个阴影方格.

2所以，仅有一个方格，它所在的行和列均有3个阴影方格，有这种性质的方格称为“特征阴影方格”.“特征阴影方格”在3X3正方格纸中的位置，就唯一地决定了3X3的方格纸的涂法.“特征阴影方格”

在方格纸的角上（图A左边）、外边中间的方格（图A中间）和中心的方格（图A右边）三个位置确定了只有3种类型的涂法.

11.解答：

60

①任何三个连续正整数，必有一个能为3整除.所以，任何“美妙数”必有因子3.

②若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4

整除；

若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因子4.

3完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0，若其个位是5和0，则中间的数必能被5整除，若其个位是1和6，则第一个数必能被5整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除．所以，任何“美妙数”必有因子5．

4上述说明“美妙数”都有因子3、4、和5，也就有因子60，即所有的美妙数的最大公约数至少是60.60=3X4X5是一个“美妙数”，美妙数的最大公约至多是60．所有的美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，只能是60.

12.解答：

多面体的表面积是358.

1设长方体长宽高分别为x、y、z无仿设x>

z>

y,它们只能取正整数.长方体的体积是455，则有xXyXz=455，分解455=5X7X13,即：

xXyXz=5X7X13

（1）

2沿棱拆下的小正方体有455-371=84个,若认为从“长”边拆下的小正方体为（x-1）个,则从每个“宽”边拆下的小正方体为（y-1）个,而从每个“高”边拆下的小正方体为（z-2）个,应当有下面关系式：

4X（x-1+y-1+z-2）=84,x+y+z=25.

（2）

分析

（1）和

（2）,既然x,y,z只取正整数,验证x=13,z=7,y=5是唯一解.

3计算表面积：

如右图B,拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积由两部分

组成：

第一部分是突出在外面的6个平面，总面积是:

2X（11X5+11X3+5X3）=206.

第二部分是24个宽都是1的长条，总面积是：

8X（11+3+5）=152.

拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积和原长方体表面积去

掉8个顶点处的小正方体的三个侧面的面积相同（想像一下为什么）.所

以，2X（13X7+13X5+7X5）-3X8=358.