高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 84 直线平面Word下载.docx
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解析 根据面面垂直的性质,知①不正确,直线l可能平行平面β,也可能在平面β内,②③④正确.
2.设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的_________条件.
答案 充分不必要
解析 若α⊥β,因为α∩β=m,b⊂β,b⊥m,所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α,又a⊂α,所以a⊥b;
反过来,当a∥m时,因为b⊥m,且a,m共面,一定有b⊥a,但不能保证b⊥α,所以不能推出α⊥β.
3.(2016·
连云港模拟)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是________.
①若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n;
②若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n;
③若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β;
④若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β.
答案 ④
解析 ①中,m与n可垂直、可异面、可平行;
②中,m与n可平行、可异面;
③中,若α∥β,仍然满足m⊥n,m⊂α,n⊂β,故③错误;
④中,m⊥α,m∥n,∴n⊥α,又∵n∥β,∴存在l⊂β,l∥n,∴l⊥α,∴α⊥β.
4.(2016·
徐州模拟)α、β是两个不同的平面,m、n是平面α及平面β之外的两条不同的直线,给出四个论断:
①m⊥n;
②α⊥β;
③n⊥β;
④m⊥α,以其中三个论断作为条件,剩余的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:
_________________________________________________________.
答案 可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个
5.(教材改编)在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的________心.
(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的________心.
答案
(1)外
(2)垂
解析
(1)如图1,连结OA,OB,OC,OP,
在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中,PA=PC=PB,
所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心.
(2)如图2,延长AO,BO,CO,分别交BC,AC,AB于H,D,G.
∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,
∴PC⊥平面PAB,AB⊂平面PAB,∴PC⊥AB,
又AB⊥PO,PO∩PC=P,
∴AB⊥平面PGC,
又CG⊂平面PGC,
∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB的高.
同理可证BD,AH为△ABC底边上的高,
即O为△ABC的垂心.
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=
,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.
OD′=
.
证明:
D′H⊥平面ABCD.
证明 由已知得AC⊥BD,AD=CD.
又由AE=CF得
=
,故AC∥EF.
因此EF⊥HD,从而EF⊥D′H.
由AB=5,AC=6得DO=BO=
=4.
由EF∥AC得
所以OH=1,D′H=DH=3.
于是D′H2+OH2=32+12=10=D′O2,故D′H⊥OH.
又D′H⊥EF,而OH∩EF=H,且OH,EF⊂平面ABCD,
所以D′H⊥平面ABCD.
思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法有:
①判定定理;
②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);
③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);
④面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
(2015·
江苏)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1.设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.
求证:
(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥AB1.
证明
(1)由题意知,E为B1C的中点,
又D为AB1的中点,因此DE∥AC.
又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,
所以DE∥平面AA1C1C.
(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC.
因为AC⊂平面ABC,
所以AC⊥CC1.
又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,
BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,
所以AC⊥平面BCC1B1.
又因为BC1⊂平面BCC1B1,
所以BC1⊥AC.
因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,
因此BC1⊥B1C.
因为AC,B1C⊂平面B1AC,AC∩B1C=C,
所以BC1⊥平面B1AC.
又因为AB1⊂平面B1AC,
所以BC1⊥AB1.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 如图,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.
(1)求证:
CE∥平面PAD;
(2)求证:
平面EFG⊥平面EMN.
证明
(1)方法一 取PA的中点H,连结EH,DH.
又E为PB的中点,
所以EH綊
AB.
又CD綊
AB,
所以EH綊CD.
所以四边形DCEH是平行四边形,所以CE∥DH.
又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD.
所以CE∥平面PAD.
方法二 连结CF.
因为F为AB的中点,
所以AF=
又CD=
所以AF=CD.
又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形.
因此CF∥AD,又CF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以CF∥平面PAD.
因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.
又EF⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,
所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF=F,故平面CEF∥平面PAD.
又CE⊂平面CEF,所以CE∥平面PAD.
(2)因为E、F分别为PB、AB的中点,所以EF∥PA.
又因为AB⊥PA,
所以EF⊥AB,同理可证AB⊥FG.
又因为EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG.
所以AB⊥平面EFG.
又因为M,N分别为PD,PC的中点,
所以MN∥CD,又AB∥CD,所以MN∥AB,
所以MN⊥平面EFG.
又因为MN⊂平面EMN,
所以平面EFG⊥平面EMN.
引申探究
1.在本例条件下,证明:
平面EMN⊥平面PAC.
证明 因为AB⊥PA,AB⊥AC,
且PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,
所以AB⊥平面PAC.
又MN∥CD,CD∥AB,所以MN∥AB,
所以MN⊥平面PAC.
又MN⊂平面EMN,
所以平面EMN⊥平面PAC.
2.在本例条件下,证明:
平面EFG∥平面PAC.
证明 因为E,F,G分别为PB,AB,BC的中点,
所以EF∥PA,FG∥AC,
又EF⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,
所以EF∥平面PAC.
同理,FG∥平面PAC.
又EF∩FG=F,
所以平面EFG∥平面PAC.
思维升华
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义;
②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).
(2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.
在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.
(2016·
江苏)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明
(1)由已知,DE为△ABC的中位线,
∴DE∥AC,又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1,
∴DE∥A1C1,
又∵DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,
∴DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,
∴AA1⊥A1C1,
又∵A1B1⊥A1C1,且A1B1∩AA1=A1,
A1B1,AA1⊂平面ABB1A1,
∴A1C1⊥平面ABB1A1,
∵B1D⊂平面ABB1A1,∴A1C1⊥B1D,
又∵A1F⊥B1D,且A1F∩A1C1=A1,
A1F,A1C1⊂平面A1C1F,
∴B1D⊥平面A1C1F,
又∵B1D⊂平面B1DE,
∴平面B1DE⊥平面A1C1F.
题型三 直线、平面垂直的综合应用
例3 如图所示,在四棱锥P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4
(1)设M是PC上的一点,求证:
平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱锥P—ABCD的体积.
(1)证明 在△ABD中,∵AD=4,BD=8,AB=4
,
∴AD2+BD2=AB2,∴AD⊥BD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,
∴BD⊥平面PAD.
又BD⊂平面MBD,
∴平面MBD⊥平面PAD.
(2)解 过P作PO⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD,
∴PO⊥平面ABCD,
即PO为四棱锥P—ABCD的高.
又△PAD是边长为4的等边三角形,∴PO=2
在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,
∴四边形ABCD为梯形.
在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为
此即为梯形的高.
∴S四边形ABCD=
×
=24.
∴VP—ABCD=
24×
2
=16
思维升华 垂直关系综合题的类型及解法
(1)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
(2)垂直与平行结合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
(3)垂直与体积结合问题,在求体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段,进而求得体积.
如图,平面PAC⊥平面ABC,AC⊥BC,PE∥CB,M是AE的中点.
(1)若N是PA的中点,求证:
平面CMN⊥平面PAC;
(2)若MN∥平面ABC,求证:
N是PA的中点.
证明
(1)因为平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC,AC⊥BC,BC⊂平面ABC,
所以BC⊥平面PAC,
又M,N分别为AE,AP的中点,所以MN∥PE,
又PE∥CB,所以MN∥BC,
即MN⊥平面PAC,又MN⊂平面CMN,
所以平面CMN⊥平面PAC.
(2)因为PE∥CB,BC⊂平面ABC,PE⊄平面ABC,
所以PE∥平面ABC,
设平面PAE∩平面ABC=l,则PE∥l.
又MN∥平面ABC,MN⊂平面PAE,所以MN∥l.
所以MN∥PE,
因为M是AE的中点,所以N是PA的中点.
17.立体几何证明问题中的转化思想
典例 (14分)如图所示,M,N,K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中点.
(1)AN∥平面A1MK;
(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
思想方法指导
(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理;
(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例;
证明垂直时常用的等腰三角形的中线等;
(3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.
规范解答
证明
(1)如图所示,连结NK.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
∵四边形AA1D1D,DD1C1C都为正方形,
∴AA1∥DD1,AA1=DD1,
C1D1∥CD,C1D1=CD.[2分]
∵N,K分别为CD,C1D1的中点,
∴DN∥D1K,DN=D1K,
∴四边形DD1KN为平行四边形,[3分]
∴KN∥DD1,KN=DD1,∴AA1∥KN,AA1=KN,
∴四边形AA1KN为平行四边形,∴AN∥A1K.[4分]
∵A1K⊂平面A1MK,AN⊄平面A1MK,
∴AN∥平面A1MK.[6分]
(2)如图所示,连结BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB∥C1D1,AB=C1D1.
∵M,K分别为AB,C1D1的中点,
∴BM∥C1K,BM=C1K,
∴四边形BC1KM为平行四边形,∴MK∥BC1.[8分]
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,A1B1⊥平面BB1C1C,
BC1⊂平面BB1C1C,∴A1B1⊥BC1.
∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK.
∵四边形BB1C1C为正方形,∴BC1⊥B1C.
∴MK⊥B1C.[12分]
∵A1B1⊂平面A1B1C,B1C⊂平面A1B1C,A1B1∩B1C=B1,∴MK⊥平面A1B1C.
又∵MK⊂平面A1MK,
∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[14分]
1.(2016·
扬州模拟)给出下列四个命题:
①垂直于同一平面的两条直线相互平行;
②垂直于同一平面的两个平面相互平行;
③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线,那么这条直线垂直于这个平面.
其中真命题的个数是________.
答案 2
解析 由直线与平面垂直的性质,可知①正确;
正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面,而不平行,故②错;
由直线与平面垂直的定义知④正确,而③错.
2.(2016·
常州模拟)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题正确的是________.
①若m⊥n,n∥α,则m⊥α;
②若m∥β,β⊥α,则m⊥α;
③若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α;
④若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α.
答案 ③
解析 ①中,由m⊥n,n∥α,可得m⊂α或m∥α或m与α相交,错误;
②中,由m∥β,β⊥α,可得m⊂α或m∥α或m与α相交,错误;
③中,由m⊥β,n⊥β,可得m∥n,又n⊥α,则m⊥α,正确;
④中,由m⊥n,n⊥β,β⊥α,可得m与α相交或m⊂α或m∥α,错误.
无锡模拟)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°
,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在直线________上.
答案 AB
解析 由AC⊥AB,AC⊥BC1,∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC.
∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.
4.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是________.
①CC1与B1E是异面直线;
②AC⊥平面ABB1A1;
③AE与B1C1是异面直线,且AE⊥B1C1;
④A1C1∥平面AB1E.
解析 ①不正确,因为CC1与B1E在同一个侧面中,故不是异面直线;
②不正确,由题意知,上底面ABC是一个正三角形,故不可能存在AC⊥平面ABB1A1;
③正确,因为AE,B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线,故它们是异面直线;
④不正确,因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交,且A1C1与交线有公共点,故A1C1∥平面AB1E不正确.
5.正方体ABCD-A′B′C′D′中,E为A′C′的中点,则与直线CE垂直的有______.
①A′C′②BD
③A′D′④AA′
答案 ②
解析 连结B′D′,
∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′,且A′C′∩CC′=C′,
∴B′D′⊥平面CC′E.
而CE⊂平面CC′E,
∴B′D′⊥CE.
又∵BD∥B′D′,∴BD⊥CE.
6.如图所示,直线PA垂直于⊙O所在的平面,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,点M为线段PB的中点.现有结论:
①BC⊥PC;
②OM∥平面APC;
③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是________.
答案 ①②③
解析 对于①,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,
∵AB为⊙O的直径,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC,
又PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC;
对于②,∵点M为线段PB的中点,∴OM∥PA,
∵PA⊂平面PAC,OM⊄平面PAC,
∴OM∥平面PAC;
对于③,由①知BC⊥平面PAC,∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离,故①②③都正确.
7.(2016·
镇江模拟)已知a、b、l表示三条不同的直线,α、β、γ表示三个不同的平面,有下列四个命题:
①若α∩β=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥γ;
②若a、b相交,且都在α、β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则α∥β;
③若α⊥β,α∩β=a,b⊂β,a⊥b,则b⊥α;
④若a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,则l⊥α.
其中正确命题的序号是________.
答案 ②③
解析 在三棱柱中,三条侧棱互相平行,但三个侧面所在平面两两相交,故①错误;
因为a、b相交,假设其确定的平面为γ,根据a∥α,b∥α,可得γ∥α,同理可得γ∥β,因此α∥β,②正确;
由两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直,易知③正确;
当且仅当a、b相交时结论正确,④错误.
8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析 由定理可知,BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,
而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
9.如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:
①AF⊥PB;
②EF⊥PB;
③AF⊥BC;
④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________.
解析 由题意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.
又AC⊥BC,且PA∩AC=A,
∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF.
∵AF⊥PC,且BC∩PC=C,
∴AF⊥平面PBC,
∴AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF=A,
∴PB⊥平面AEF,∴PB⊥EF.
故①②③正确.
10.已知α,β,γ是三个不同的平面,命题“α∥β,且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题,如果把α,β,γ中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有________个.
解析 若α,β换为直线a,b,则命题化为“a∥b,且a⊥γ⇒b⊥γ”,此命题为真命题;
若α,γ换为直线a,b,则命题化为“a∥β,且a⊥b⇒b⊥β”,此命题为假命题;
若β,γ换为直线a,b,则命题化为“a∥α,且b⊥α⇒a⊥b”,此命题为真命题.
11.(2016·
连云港模拟)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=
,AF=1,M是线段EF的中点.
AM∥平面BDE;
DM⊥平面BEF.
证明
(1)连结BD,BD∩AC=O,连结EO.
∵O,M分别为AC,EF的中点,且四边形ACEF为矩形,∴EM∥OA,EM=OA,
∴四边形EOAM为平行四边形,∴AM∥EO,
∵EO⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,
∴AM∥平面BDE.
(2)由AB=
,AF=1,得DF=DE=
∵M是线段EF的中点,∴DM⊥EF,
连结BM,得BM=DM=
又BD=2,∴DM⊥BM,
又BM∩EF=M,∴DM⊥平面BEF.
12.(2016·
北京)如图,在四棱锥PABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
DC⊥平面PAC;
平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?
说明理由.
(1)证明 ∵PC⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,
∴PC⊥DC.又AC⊥DC,PC∩AC=C,PC⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,∴DC⊥平面PAC.
(2)证明 ∵AB∥CD,CD⊥平面PAC,
∴AB⊥平面PAC,又AB⊂平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAC.
(3)解 棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.
证明如下:
取PB的中点F,连结EF,CE,CF,又∵E为AB的中点,∴EF为△PAB的中位线,∴EF∥PA.又PA⊄平面CEF,EF⊂平面CEF,∴PA∥平面CEF.
13.(2016·
山东)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.
(1)已知AB=BC,AE=EC,求证:
AC⊥FB;
(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:
GH∥平面ABC.
证明
(1)因为EF∥DB,所以EF与DB确定平面BDEF,
如图,连结DE.因为AE=EC,D为AC的中点,
所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.
又BD∩DE=D,所以AC⊥平面BDEF.
因为FB⊂平面BDEF,所以AC⊥FB.
(2)设FC的
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