一元一次方程单元复习与巩固Word格式.docx
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=1.6。
方程的右边没有变化,这要与“去分母”区别开。
知识点三:
解一元一次方程的一般步骤:
1、解一元一次方程的基本思路:
通过对方程变形,把含有未知数的项归到方程的一边,把常数项归到方程的另一边,最终把方程“转化”成x=a的形式。
2、解一元一次方程的一般步骤是:
变形名称
具体做法
变形依据
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
等式基本性质2
去括号
先去小括号,再去中括号,最后去大括号
去括号法则、分配律
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
等式基本性质1
合并同类项
把方程化成ax=b(a≠0)的形式
合并同类项法则
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程
的解x=
注意:
(1)解方程时应注意:
①解方程时,表中有些变形步骤可能用不到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据方程形式灵活安排求解步骤。
熟练后,步骤及检验还可以合并简化。
②去分母时,不要漏乘没有分母的项。
去分母是为了简化运算,若不使用,可进行分数运算。
③去括号时,不要漏乘括号内的项,若括号前为“-”号,括号内各项要改变符号。
(2)在方程的变形中易出现的错误有以下几种情况:
①移项时忘记改变符号;
②去分母时,易忘记将某些整式也乘最简公分母;
③分数线兼有括号的作用,在去分母后,易忘记添加括号;
3、理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况,并能进行简单应用:
(1)a≠0时,方程有唯一解
(2)a=0,b=0时,方程有无数个解;
(3)a=0,b≠0时,方程无解。
知识点四:
列一元一次方程解应用题的一般步骤:
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤:
(1)审题,分析题中已知什么,未知什么,明确各量之间的关系,寻找等量关系.
(2)设未知数,一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数.
(3)列方程,把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来,列出方程.
(4)解方程.
(5)检验,看方程的解是否符合题意.
(6)写出答案.
2、解应用题的书写格式:
设→根据题意→解这个方程→答。
(1)在一道应用题中,往往含有几个未知数量,应恰当地选择其中的一个,用字母x表示出来,即所设的未知数,然后根据数量之间的关系,将其它几个未知数量用含x的代数式表示。
(2)解应用题时,不能漏掉“答”,“设”和“答”中都必须写清单位名称。
(3)列方程时,要注意方程两边是同一个量,并且单位要统一。
(4)一般情况下,题目中所给的条件在列方程时不能重复使用,也不能漏掉不用。
重复利用同一个条件,会得到一个恒等式,无法求得应用题的解。
知识点五:
常见的一些等量关系
常见列方程解应用题的几种类型:
类型
基本数量关系
等量关系
(1)和、差、倍、分问题
①较大量=较小量+多余量
②总量=倍数×
倍量
抓住关键性词语
(2)等积变形问题
变形前后体积相等
(3)行程问题
相遇问题
路程=速度×
时间
甲走的路程+乙走的路程=两地距离
追及问题
同地不同时出发:
前者走的路程=追者走的路程
同时不同地出发:
前者走的路程+两地距离=追者所走的路程
顺逆流问题
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
顺流的距离=逆流的距离
(4)劳力调配问题
从调配后的数量关系中找相等关系,要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语
(5)工程问题
工作总量=工作效率×
工作时间
各部分工作量之和=1
(6)利润率问题
商品利润=商品售价-商品进价
商品利润率=
×
100%
售价=进价×
(1+利润率)
抓住价格升降对利润率的影响来考虑
(7)数字问题
设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为10a+b
抓住数字所在的位置、新数与原数之间的关系
(8)储蓄问题
利息=本金×
利率×
期数
本息和=本金+利息=本金+本金×
期数×
(1-利息税率)
(9)按比例分配问题
甲∶乙∶丙=a∶b∶c
全部数量=各种成分的数量之和(设一份为x)
(10)日历中的问题
日历中每一行上相邻两数,右边的数比左边的数大1;
日历中每一列上相邻的两数,下边的数比上边的数大7
日历中的数a的取值范围是1≤a≤31,且都是正整数
知识点六:
整式、等式与方程的关系
1、正确理解代数式、等式和方程的概念
代数式:
像-1,0,a,-2x+5等,这些用运算符号把数或表示数的字母连接成的式子,叫做代数式,单独一个数或一个字母也是代数式。
等式:
用等号来表示相等关系的式子叫做等式。
如
,m=n=n+m等都叫做等式,而像-
,
m2n不含等号,所以它们不是等式,而是代数式。
方程:
含有未知数的等式叫做方程。
如5x+3=11,
等都是方程。
理解方程的概念必须明确两点:
①是等式;
②含有未知数。
两者缺一不可。
2、整式、等式与方程的区别和联系
区别:
①定义不同。
②从是否含有等号来看。
方程首先是一个等式,它是用“=”将两个代数式连接起来的等式,而整式仅用运算符号连接起来,不含有等号。
③等式含有“=”,表示左右两边相等,方程是个特殊的等式,即其中必须含有未知数。
所以有:
方程是等式,但等式却不一定是方程。
联系:
①当含字母的某一个代数式取某一个特定的值时,这个特定的值就和这个代数式构成了一个等式,即这个等式就是方程。
如:
要使代数式5x+1的值等于0,即求方程5x+1=0的解。
②当两个整式中的字母取特定的值,使这两个整式的值相等时,也构成一个方程。
要使整式
x+5的值与整式-
x-5的值相等,即求方程
的解。
③当含有字母的整式的运算结果等于另一个整式时,也构成方程。
要使整式
x-4的值比
的值大3,即求方程
通过上面的描述,我们知道,方程是由整式构成的,但整式不是方程。
六、规律方法指导
解一元一次方程的注意事项:
1、分母是小数时,根据分数的基本性质,把分母转化为整数;
2、去分母时,方程两边各项都乘各分母的最小公倍数,此时不含分母的项切勿漏乘,分数线相当于除号,去分母后分子各项应加括号;
3、去括号时,不要漏乘括号内的项,不要弄错符号;
4、移项时,切记要变号,不要丢项,有时先合并再移项,以免丢项;
5、系数化为1时,方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数,不要弄错符号;
6、不要生搬硬套解方程的步骤,具体问题具体分析,找到最佳解法。
列方程解应用题的注意事项:
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤也可以概括为:
①设未知数。
②根据等量关系列方程。
③解方程。
④检验解的合理性,如果合理就用以解决实际问题,不合理则需要重新回到开始。
⑤作答。
列方程解应用题是将实际问题数学化的过程,这个过程的关键是建立等量关系,通过列方程解决实际问题要把握三个重要环节:
一是整体的、系统的审清题意;
二是找问题中的等量关系;
三是正确求解方程并判断解的合理性,其中,审题是基础,找等量关系是关键,为了找准等量关系,可以借助线段、表格、图形等方法进行分析。
思想方法总结
本章主要的方法有:
化归的方法,分析法,综合法和方程的思想.
1.化归方法,所谓化归即转化,是指求解数学问题时,将较难或较繁或未知的问题进行变换,使之化难为易,化繁为简,化未知为已知,从而使问题得以解决的思维方法,本章中将一元一次方程逐步变形、化简转化为ax=b(a≠0)的形式求解的过程就属于转化的方法.
2.分析法是从未知,看已知,逐步推向已知,即执果索因。
3.综合法是从已知,看未知,逐步推向未知,即由因导果。
研究数学问题时,一般总是先分析,在分析的基础上综合,列方程解应用题就是运用了分析法和综合法相结合的数学方法。
4.方程的思想,方程思想设未知数(把它看成以存在的数),让代替未知数的字母和已知数一样参与运算,列方程解应用题。
本章列方程解应用题,是方程思想的具体应用.。
七、典型例题
一、概念类
例1、在下列式子
(1)2x+3;
(2)1-x=x-2;
(3)2x-y=6;
(4)x+
=2中一元一次方程为______个.
分析:
一元一次方程应满足:
①等式;
②一元:
一个未知数;
③一次:
未知数的次数是1;
④整式:
方程中的未知数不能出现在分母中。
(1)不是等式,
(2)满足,(3)含有两个未知数;
(4)未知数出现在分母中。
答案:
1
例2、已知关于x的方程ax+5=-2-3a与方程2x+3=-17的解相同,则a=_________.
首先方程2x+3=-17的解为x=-10,方程ax+5=-2-3a与方程2x+3=-17同解,所以方程ax+5=-2-3a的解为x=-10,那么-10a+5=-2-3a成立,这是关于a的一元一次方程,进而可求得a。
二、解法类
例3、下列方程的变形是否正确?
如果不正确,指出错在何处,并写出正确的变形.
(1)由3+x=-6,得x=-6+3.
答:
不正确.错在数3从方程的等号左边移到右边时没有变号,正确的变形是由3+x=-6,得x=-6-3.
(2)由9x=-4,得
.
不正确,错在被除数与除数颠倒(或分子与分母颠倒了).正确的变形是由9x=-4,得
.
(3)由5=x-3,得x=-3-5.
答:
不正确.错在移项或等号两边的项对调时把符号弄错,正确的变形是由5=x-3,得5+3=x,即x=5+3.
(4)由
,得3x-2=5-4x+1.
不正确,没有注意到分数
中的“分数线”也起着括号的作用,因此当方程两边的各项都乘以5时,+1没有变号.正确的变形是由
,得3x-2=5-(4x+1),进而得3x-2=5-4x-1.
(5)由
,得2(x+2)-3(5x-7)=1.
不正确.错在当方程两边同乘以12时,等号右边的1漏乘12.正确的变形是由
,得2(x+2)-3(5x-7)=12.
例4、解方程
可将每一项里分母、分子中的小数化为整数,然后再约分,或分子、分母直接约分.
解:
各项分别化简得,(8x-3)-(25x-4)=12-10x
8x-3-25x+4=12-10x,
-17x+1=12-10x,
-17x+10x=12-1,
-7x=11,
∴原方程的解为
三、应用类
需要掌握以下几类题型:
商品销售、银行存贷款、积分、行程、工程、数字问题、日历、比例分配、方案选择。
希望同学们能根据下面的例子掌握此类型题目的解题思路。
1.商品销售
此类问题主要涉及的关键量:
进价,标价,实际售价,利润,利润率。
熟记这些量间的基本关系式:
商品的利润=商品的实际售价-商品的进价.(这里不考虑其它因素)
商品的利润率=
商品打折后的售价=商品的标价÷
10×
折扣数.
另外在解决商品的利润率的问题中,还涉及如下关系式.
注意会由基本关系式推出式子的变形,以便于解决问题.
例如:
由
100%=利润率,可得商品的实际售价=商品的进价×
(1+利润率).
例7、商店里的皮上衣每件标价为2200元,在一次促销活动中,它打八折销售,结果仍获利10%,求此商品的进价.
题中的相等关系是商品的进价×
(1+利润率)=商品的实际售价.
解:
设此商品的进价为x元,依题意(1+10%)x=2200×
0.8.
解这个方程,得x=1600.
此商品的进价为1600元.
例8、以现价销售一件商品的利润率为30%,如果商家在现有的价格基础上先提价40%,后降价50%的方法进行销售,商家还能有利润吗?
为什么?
设该商品的成本为a元,则商品的现价为(1+30%)a元,依题意其后来折扣后的售价为
(1+30%)a×
(1+40%)(1-50%)=0.91a.
∵0.91a-a=-0.09a,∴
100%=-9%.
商家不仅没有利润,而且亏损的利润率为9%.
2.银行存贷款
例9、夏老师欲购买一辆汽车,销售商告诉夏老师,若采取分期付款方式:
一种付款方式是第一月付4万元,以后每月付款一万元;
另一种付款方式是前一半时间每月付款1万四千元,后一半时间,每月付款1万1千元;
两种付款方式中付款钱数和付款时间都相同。
销售商还说若夏老师一次性付款,可少付车款1万6千元。
夏老师看了看自己的存折决定一次性付清购车款,同学们帮夏老师算算,夏老师要付款多少万元?
在应用题中通常利用一个(或多个)已知条件找关系式,剩下的一个条件列方程。
由分期付款两种付款方式中付款时间都相同设时间是未知数,进而由付款钱数相同列方程。
设分期付款总共付x期,由题意得:
解得:
x=12
故4+(x-1)=4+(12-1)=15(万元)
15-1.6=13.4(万元)
夏老师要付款13.4万元。
3.积分
例10、足球比赛的计分规则为:
胜一场积3分,平一场得一分,负一场积0分,一支足球队在某个赛季共需比赛14场,现已比赛8场,输了一场,得17分。
(1)前8场比赛中,这支球队共胜了几场?
(2)这支球队打满14场比赛,最高能得多少分?
总得分=胜场得分+平场得分+负场得分。
第2问要得最高分,前8场的比赛得分已确定,只要后面(14-8)场比赛每次都赢。
(1)设这支球队共胜了x场球,则平了(8-x-1)场球,由题意得:
3x+(8-x-1)=17
解得:
x=5
(2)17+(14-8)×
3=17+18=35
前8场比赛中,这支球队共胜了5场。
这支球队打满14场比赛,最高能得35分。
4.行程问题
行程问题是与实际生活联系密切的一类问题,也是变化最多的一类问题。
对于行程问题,抓住相向、背向、同向、追上、相遇等关键词语,借助草图的直观性,对题目进行具体分析,找到等量关系列方程,有利于培养分析问题、解决问题的能力。
例11、A、B两地相距216千米,甲、乙分别在A、B两地,若甲骑车的速度为15千米/时,乙骑车的速度为12千米/时。
(1)甲、乙同时出发,相向而行,几小时后相遇?
相遇地点离B地有多远?
解:
设x小时后甲、乙相遇,
依题意,得15x+12x=216。
解这个方程,得x=8。
当x=8时,12x=12×
8=96。
答:
8小时后甲、乙相遇,相遇地点离B地96千米。
(2)甲、乙同时出发,同向而行,乙在前、甲在后,问甲几小时追上乙?
设x小时后甲追上乙。
依题意,得15x-12x=216。
解这个方程,得x=72。
需72小时甲追上乙。
(3)甲、乙同时出发,背向而行,问几小时后他们相距351千米?
设x小时后,甲、乙相距351千米,
依题意,得15x+12x=351-216,
解这个方程,得x=5。
5小时后,甲、乙相距351千米。
(4)甲、乙相向而行,甲出发三小时后乙才出发,问乙出发几小时后两人相遇?
设乙出发x小时后两人相遇。
依题意,得15(3+x)+12x=216,
解这个方程,得x=
乙出发
小时后,甲、乙两人相遇。
(5)甲、乙相向而行,要使他们相遇于AB的中点,乙要比甲先出发几小时?
设当乙比甲早出发x小时,使甲、乙二人相遇于AB的中点。
依题意,得
,解这个方程,得x=
只要乙比甲先出发
小时,两人就能相遇于AB的中点。
(6)甲、乙同时出发,相向而行,甲到达B处,乙到达A处都分别立即返回,几小时后相遇?
相遇地点距离A有多远?
设x小时后甲乙相遇,
依题意,得15x+12x=216×
3
解这个方程,得x=24.
当x=24时,12x-216=72.
24小时后两人相遇,相遇地点距离A地72千米。
例12、一架飞机往返于甲、乙两城市之间,顺风飞行需3小时,逆风飞行需3小时20分;
若风速是每小时30千米,求甲、乙两城之间的距离。
解法1:
设甲、乙两城之间相距x千米,
依题意,得
,解这个方程,得x=1800。
甲、乙两城相距1800千米。
解法2:
设飞机的速度为x千米/时,则飞机顺风飞行时,速度为(x+30)千米/时,
飞机逆风飞行时速度为(x-30)千米/时。
依题意:
3(x+30)=
(x-30)
解这个方程,得x=570,当x=570时,3(x+30)=3×
600=1800。
答:
5.工程问题
例13、一项工程,甲队独做20天完成,乙队独做30天完成.甲队单独做了5天,剩下的部分由甲、乙合做,几天可以完成?
甲队单独做20天完成任务,一天完成总工作量的
乙队单独做30天完成,一天完成总工作量的
两队合做一天完成总工作量的
.这个问题中的相等关系是:
甲独做的工作量+甲、乙合做的工作量=全部工作量.
设剩下的部分由甲、乙合做x天可以完成,根据题意,
得
解这个方程,得x=9.
剩下的部分由甲、乙合做,9天可以完成.
说明:
工程问题中,工作总量=工作效率×
工作时间,常常将工作总量看作“1”.
6.数字问题
例14、有一个三位数的个位数字为1,如果把这个1移到最前面的位置上,那么所得的新三位数的2倍比原数多15,求原来的三位数.
此题属于数字问题,其中三位数如何用代数式表示是列方程的关键,一般来说,一个三位数,百位上的数为a,十位上的数为b,个位上的数为c,则这个三位数写成100a+10b+c.在题目中,如果把原三位数的前两位数字看成整体并设为x,则原三位数可表示为:
10x+1.同样新三位数表示为100×
1+x.
设原三位数的前两位数为x,则原三位数是10x+1,新三位数为100×
1+x,依题意得.
2(100×
1+x)-15=10x+1
解这个方程得x=23.。
∴原三位数是10x+1=10×
23+1=231.
原三位数为231.
7.日历
例15、在下边的日历中,带阴影的方框里有四个数,随着方框的移动,请你探究这四个数的关系.设最小的一个数为a,则这四个数之和为_________(用含a的代数式表示).
在日历中最小的数为a,则和它相邻的右边
这个数为a+1。
又一周为7天,则a下面的数为
a+7,和它相邻的数为a+8。
4a+16
8.比例分配
例16、某车间有28名工人生产甲、乙两种零件,每人每天平均可生产甲种零件12个或乙种零件18个,要是按1:
2配套组装。
问:
生产两种零件的工人应如何安排?
利用甲、乙两种零件配套生产的总组数相同列方程。
设生产甲零件的工人数为x人,则生产乙零件的工人数为(28-x)人,由题意得:
解得:
28-12=16
生产甲种零件的工人有12人,生产乙种零件的工人有16人。
9.方案选择
例17、某牛奶加工厂有鲜奶9吨,若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获取利润500元,制成酸奶销售,每吨可获取利润1200元;
制成奶片销售,每吨可获利润2000元,该工厂的生产能力是:
如制成酸奶,每天可加工3吨;
制成奶片每天可加工1吨,受人员限制,两种加工方式不可同时进行,受气温条件限制,这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.为此,该厂某领导提出了两种可行方案:
方案1:
尽可能多的制成奶片,其余直接销售鲜牛奶;
方案2:
将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成,你认为选择哪种方案获利最多,为什么?
(1)若选择方案1,依题意,
总利润=2000元×
4+500元×
(9-4)=10500元.
(2)若选择方案2.
设将x吨鲜奶制成奶片,则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售,依题意,得
解这个方程,得x=1.5.
当x=1.5时,9-x=7.5.
1.5+1200元×
7.5=12000元.
∵12000>10500,
∴选择方案2较好.
选择方案2获利最多,只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶,用1.5吨的鲜奶加工成奶片.
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