中考数学二模试题分类汇编圆的证明与计算.docx
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中考数学二模试题分类汇编圆的证明与计算
二模圆的证明与计算
1、(顺义)21.如图,
是△ABC的外接圆,ABAC,过点A作
AD∥BC交BO的延长线于点D.
(1)求证:
AD是
的切线;
(2)若
的半径OB=5,BC=8,求线段AD的长.
(1)证明:
连结AO,并延长交
于E,交BC于F.
∵ABAC,
∴
.
∴
.…………………………1分
∴
.
∵AD∥BC,
∴
.
∵AO是半径,
∴AD是
的切线.………………………2分
(2)解:
∵AE是直径,
,BC=8,
∴
.……………………………………………3分
∵OB=5,
∴
.
∵AD∥BC,
∴△AOD∽△FOB.………………………………………………………4分
∴
.
∴
.…………………………………………5分
2、(平谷)20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长DE交BC的延长线于点F.
(1)求证:
BD=BF;
(2)若CF=1,cosB=
,求⊙O的半径.
(1)证明:
连结OE.
∵AC切⊙
于点E,∴∠AEO=90°.
∵∠ACB=90°∴∠ACB=∠AEO.
∴OE∥BC.
∴∠OED=∠BFD.
∵OE=OD,∴∠OED=∠ODE.
∴∠BFD=∠ODE.
BD=BF.-----------------------------------------------------2分
(2)∵OE∥BC,∴∠AOE=∠B.
∵
∴
.
设OE=3x,则OA=5x,OB=3x.
∴BD=BF=6x,AB=8x.
∵CF=1,∴BC=6x-1.
∵
.
解得,
.
∴OB=3x=
.
∴⊙O的半径是
.----------------------------------------------------------------------------5分
3、(房山)21.已知:
如图,△ABC内接于⊙O,
于H,
0,过A点的直线与OC的延长线交于点D,
,
.
(1)求证:
AD是⊙O的切线;
(2)若E为⊙O上一动点,连接AE交直线OD于点P,问:
是否存在点P,使得PA+PH的值最小,若存在求PA+PH的最小值,若不存在,说明理由.
21.解:
(1)连接AO
∵
0
∴
..........................................................1分
∵AO=CO
∴
∴
∴AD是⊙O的切线...............................................................2分
(2)∵
OA=OC
∴
AOC为等边三角形
在Rt
AOD中,
∵
∴
∵
∴
................................................................3分
作A关于OD的对称点
连接
交OD于点P,根据对称性及两点之间线段最短可知此点P使PA+PH的值最小....................................4分
∴
∴
∵
OF=10
∴
..............................................................5分
即PA+PH的最小值为
4、(西城)21.如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于F.
(1)求证:
(2)若sinC=
,DF=6,求⊙O的半径.
21.
(1)证明:
∵BF为⊙O的切线,
∴AB⊥BF于点B.
∵CD⊥AB,
∴∠ABF=∠AHD=90°.
∴CD∥BF.
∴∠ADC=∠F.
又∵∠ABC=∠ADC,
∴∠ABC=∠F.……2分
(2)解:
连接BD.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
由
(1)∠ABF=90°,
∴∠A=∠DBF.
又∵∠A=∠C.
∴∠C=∠DBF.3分
在Rt△DBF中,
,DF=6,
∴BD=8.4分
在Rt△ABD中,
,
∴
.
∴⊙O的半径为
.5分
.5、(门头沟)20.如图,线段BC切⊙O于点C,以
为直径,连接AB交⊙O于点D,点
是
的中点,交
于点
,连结OB、DE交于点F.
(1)求证:
是⊙O的切线;
(2)若
,
求
的值.
20.
(1)证明:
连结OD、CD(如图)
∵AC是⊙
直径
∴
.………………1分
∵点E是BC的中点,
.
,
,
.……………2分
,
.
.……………3分
.
即DE是⊙
的切线.
(2)解:
连结OE.则OE∥AB,
∴△OEF∽△BDF.
∵BC切⊙
于点C
∴
在
中,
,
∴根据勾股定理得,AB=8,……………4分
∴OE=4,∵∠A=60°.
∴
是边长为2的等边三角形,
∴
,BD=AB-AD=6.
∴
……………………5分
6、(通州)21.如图,△ABC内接于⊙O,弦AD⊥AB交BC于点E,过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F,且∠ABF=∠ABC.
(1)求证:
AB=AC;
(2)若AD=4,cos∠ABF=
,求DE的长.
21.证明
(1):
连接BD
∵AD⊥AB
∴∠DAB=90º
∴BD为⊙O的直径
∵BF是⊙O的切线
∴∠DBF=90º
∴∠ABF=∠D
∵弧AB=弧AB
∴∠D=∠C
∴∠ABF=∠C
∵∠ABF=∠ABC
∴∠ABC=∠C
∴AB=AC………………………………..(2分)
解
(2):
∵∠ABF=∠D
∴cos∠ABF=cos∠D=
在Rt△ADB中,∠BAD=90°,
∵cos∠D=
,AD=4
∴BD=5
∴AB=
=3
∴∠ABC=∠C=∠ABF
在Rt△ABE中,∠BAE=90°
∵cos∠ABE=
∴BE=
∴AE=
∴DE=AD﹣AE=
………………………………..(5分)
7、(昌平)21.如图,已知BC为⊙O的直径,EC是⊙O的切线,C是切点,EP交⊙O于点A,D,交CB延长线于点P.连接CD,CA,AB.
(1)求证:
∠ECD=∠EAC;
(2)若PB=OB=2,CD=3,求PA的长.
21.
(1)证明:
连接BD.
∵BC为⊙O的直径,
∴
…………………………………………1分
∵EC与⊙O相切,
∴
∵
∴
………………………………2分
∵
∴∠ECD=∠EAC.……………………………………………3分
(2)作DF⊥BC于点F.
在Rt△CDB中,
在Rt△CDF中,
∴
在Rt△DFP中,
∵
∴
∽
∴
∴
.
∴
……………………………5分
8、(东城)
21.如图,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.
(1)判断AE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)当BC=4,AC=3CE时,求⊙O的半径.
21.解:
(1)
与
相切.…………1分
理由如下:
连结
,则
.∴∠OMB=∠OBM.
∵
平分
,∴∠OBM=∠EBM.
∴∠OMB=∠EBM.
∴
.
∴
.
在
中,
,
是角平分线,
∴
.∴
.
∴
.
∴
.
∴
与
相切.2分
(2)在
中,
,
是角
平分线,
∴
∴
.
在
中,
,
设
的半径为
,则
.
∵
,
∴
.
.
.
.
∴
的半径为
.5分
9、(海淀)21.如图,AB为⊙O直径,C、D为⊙O上不同于A、B的两点,∠ABD=2∠BAC,连接CD.过点C作CE⊥DB,垂足为E,直线AB与CE相交于F点.
(1)求证:
CF为⊙O的切线;
(2)当BF=5,
时,求BD的长.
21.证明:
(1)连接
.
∵
∴
.
又∵
∴
又∵
,
∴
……………………1分
∴OC∥DB.
∵CE⊥DB,
∴
.
又∵
为⊙
的半径,
∴
为⊙O的切线.………………………………………………………2分
(2)连结
.
在Rt△BEF中,∠BEF=90°,BF=5,
,
∴
.……………………………………………………………………3分
∵OC∥BE,
∴
∽
.
∴
设⊙
的半径为r,
∴
∴
.……………………………………………………………………4分
∵AB为⊙O直径,
∴
.
∴
.
∵
∴
.
∴
∴
∴
.……………………………………………………………………5分
10、(石景山)21.如图,在△
中,
,以
为直径的⊙
交
于点
,
是
的中点.
(1)求证:
直线
与⊙
相切;
(2)连结
并延长交⊙
于点
、
交
的延长线于点
,连结
若
=
,
求
的长.
21.解:
(1)证明:
连结
、
.
⊙
的直径,
.
则
.
,
.
.
直线
与⊙
相切…………………………………………………2分
(2)解:
连结
是直径,
△
∽△
………………………………………………………………5分
11、(丰台)如图,点D为⊙O
上一点,点C在直径BA的延长线上,且
.
(1)求证:
是
⊙O的切线;
(2)过点B作⊙O的切线交CD于点E,BC=12,
tan
=
.求BE的长.
21.
(1)证明:
连OD,OE,如图,………………………………………………………1分
∵AB为直径,∴
,即
,……2分
又∵
,而
,
∴
,
∴
,即
,
∴CD是⊙O的切线.…………………………………………………3分
(2)解:
∵EB为
的切线,
∴OB⊥BE,ED=EB,OE⊥BD.
∴
,∴
.
而tan
=
,∴tan
=
,
∵Rt△CDO∽△CBE,∴
,………………………………4分
∴
,
在Rt△CBE中,设BE=x,∴
,解得
.
即BE的长为5.………………………………………………………………5分
12、(大兴)已知:
如图,AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,且DE⊥AC于点E.
(1)求证:
DE是⊙O的切线;
(2)若∠C=30°,CD=10cm,求⊙O的直径.
21.
(1)证明:
联结OD
∵D是BC的中点,O是AB的中点
∴OD是△ABC的中位线
∴OD//AC…………………………..1分
∴∠EDO=∠DEC.
∵DE⊥AC于点E,
∴∠DEC=90°
∴∠EDO
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