初中数学代数部分的复习概括Word格式文档下载.docx
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当负因数的个数是偶数个时,积的符号为正,然后,把绝对值相乘。
(4)实数的除法(转换为乘法)
除以一个不为零的数,等于乘这个数的倒数。
(5)实数的乘方运算
乘方的定义:
正数的任何次幂都是正数;
零的任何正指数次幂都是零;
零的零次幂、负指数无意义。
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
(6)实数的开方运算
平方根:
若
=a(a≥0),则x叫做a的平方根(或二次方根)。
一个正数有两个平方根,它们互为相反数;
正数a的平方根记为+
和—
;
0的平方根是0;
负数没有平方根。
=a(a≥0),则x=±
.算术平方根:
正数a的正的平方根+
叫做a的算术平方根,+
可简记为
0的算术平方根仍为0.
立方根:
=a,则x叫做a的立方根(或三次方根),记为
,即x=
正数的立方根是正数,0的立方根是0,负数的立方根是负数。
实数的开方:
=a(a≥0),
8.实数运算律:
(1)加法交换律:
a+b=b+a。
(2)加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)。
(3)乘法交换律:
a*b=b*a。
(4)乘法结合律:
(a*b)*c=a*(b*c)。
(5)乘法分配律:
(a+b)*c=a*c+b*c。
9、混合运算顺序
(1)先乘方、开方,再乘除,最后加减;
(2)同级运算,从左到右依次进行运算;
(3)如果有括号,先做括号内的运算,按照小括号、中括号、大括号依次进行。
10.科学记数法:
把一个数写成a×
(1≤
<10,n是整数),叫做科学记数法。
11、近似数:
12.有效数字:
从最左边的不是零的数字算起,到最后一位要保留的数字为止。
二、代数式
13.代数式:
用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子,叫代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
14、代数式的分类
15.整式:
单项式与多项式统称为整式。
单项式:
只含有数与字母乘积形式的代数式叫做单项式。
一个数或一个字母也是单项式。
单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。
一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
多项式:
几个单项式的代数和多项式。
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项。
多项式里,次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。
一个多项式有n项且次数是m,我们就称这个多项式为m次n项式。
16.有理式:
整式和分式统称为有理式。
17.分式:
一般地,用A,B表示两个整式,若B中含有字母,且B≠0,则式子
叫做分式。
(1)、分式有意义的条件:
(2)、分式无意义的条件:
(3)、分式为0的条件:
(4)、分式的基本性质:
分式的分子与分母同时乘以(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。
(5)、约分:
(6)、最简分式:
一个分式的分子与分母没有公因式时,这种分式叫做最简分式。
(7)、通分:
(8)、最简公分母:
(9)、分母有理化:
把分母中的根号化去,叫做分母有理化。
注意:
分母有理化时,分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。
18.无理式:
根号里含有字母的代数式叫做无理式。
19、二次根式
(1)、定义:
形如
(a≥0)的式子,叫做二次根式。
(2)、二次根式有意义的条件:
二次根式无意义的条件:
20、二次根式的性质:
(1)
=a(a≥0);
(2)
=
(3)
(a≥0,b≥0);
(4)
(a≥0,b>0)。
21、最简二次根式:
满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式。
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式。
(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式。
22、同类二次根式:
几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。
23、代数式的运算
(一)、整式的加减运算
(1)、同类项:
(2)、合并同类项法则:
(3)、去括号法则:
(4)、整式的加减的实质就是合并同类项。
(二)、整式的乘除
(1)、同底数幂的乘法:
am·
an=am+n,底数不变,指数相加.
(2)、幂的乘方与积的乘方:
(am)n=amn,底数不变,指数相乘;
(3)、(ab)n=anbn,积的乘方等于各因式乘方的积.
(4)、单项式的乘法:
系数相乘,相同字母相乘,只在一个因式中含有的字母,连同指数写在积里.
(5)、单项式与多项式的乘法:
m(a+b+c)=ma+mb+mc,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
(6)、多项式的乘法:
(a+b)·
(c+d)=ac+ad+bc+bd,先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
(7)、乘法公式:
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差;
完全平方公式:
①(a+b)2=a2+2ab+b2,两个数和的平方,等于它们的平方和,加上它们的积的2倍;
②(a-b)2=a2-2ab+b2,两个数差的平方,等于它们的平方和,减去它们的积的2倍;
十字相乘法:
+bx+c=(x+m)(x+n)其中b=m+n,c=mn。
(8)、同底数幂的除法:
am÷
an=am-n,底数不变,指数相减.
(9)、零指数与负指数公式:
a0=1(a≠0);
a-n=
(a≠0).注意:
00,0-2无意义;
(10).单项式除以单项式:
系数相除,相同字母相除,只在被除式中含有的字母,连同它的指数作为商的一个因式.
(11).多项式除以单项式:
先用多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加.
(三)、分式的运算
(12)、.分式的加减法:
①、同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。
②、异分母的分式相加减,先通分,变成同分母的分式,然后相加减。
(13)、分式的乘除法:
①、分式乘分式,用分子的积作为分子,分母的积作为分母。
②、分式除以分式,等于被除式乘除式的倒数。
(4)、二次根式的运算
(14)、二次根式的加减实质就是合并同类二次根式。
(15)、二次根式的乘法:
二次根式的除法:
24.整式混合运算:
先乘方,后乘除,最后加减,有括号先算括号内.
25、因式分解
(1)提共因式法
(2)公式法
(3)十字相乘法
第二单元方程与不等式
第三章一元一次方程
七年级下册:
第八章二元一次方程组第九章不等式与不等式组
第十六章分式(16.3分式方程)九年级上册:
第二十二章一元二次方程
1、方程
(一)、一元一次方程
1一元一次方程:
方程
叫做一元一次方程的标准形式,a是未知数x的系数,b是常数项。
什么叫做方程的解:
什么叫做解方程:
什么叫做移项:
2等式的性质
等式两边加上或减去同一个数或者式子,结果仍然相等;
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为零的数,结果仍相等。
3、解一元一次方程
一般步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一
(二)、二元一次方程组
1.二元一次方程:
含有两个未知数,并且含未知数项的次数是1,这样的方程是二元一次方程.注意:
一般说二元一次方程有无数个解.
2.二元一次方程组:
两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组.
3.二元一次方程组的解:
使二元一次方程组的两个方程,左右两边都相等的两个未知数的值,叫二元一次方程组的解.注意:
一般说二元一次方程组只有唯一解(即公共解).
4.二元一次方程组的解法:
(1)代入消元法;
(2)加减消元法;
5、三元一次方程
把含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
6、三元一次方程组
由三个(或三个以上)一次方程组成,并且含有三个未知数的方程组,叫做三元一次方程组。
7、三元一次方程组的解法:
(三)、一元二次方程
1、一元二次方程
含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
,它的特征是:
等式左边是一个关于未知数x的二次多项式,等式右边是零,其中
叫做二次项,a叫做二次项系数;
bx叫做一次项,b叫做一次项系数;
c叫做常数项。
特殊形式:
3、一元二次方程的解法
(1)、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如
的一元二次方程。
根据平方根的定义可知,
是b的平方根,当
时,
,
,当b<
0时,方程没有实数根。
(2)、配方法
配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式
,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,则有
(3)、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程
的求根公式:
(4)、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。
4、一元二次方程根的判别式
根的判别式
中,
叫做一元二次方程
的根的判别式,通常用“
”来表示,即
(四)、分式方程
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是:
(1)去分母,方程两边都乘以最简公分母
(2)解所得的整式方程
(3)验根:
将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应该舍去;
若不等于零,就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法
换元法:
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛,当分式方程具有某种特殊形式,一般的去分母不易解决时,可考虑用换元法。
(5).方程(方程组)的应用:
1、面积、体积问题
2、行程问题:
3、工程问题:
4、利润问题:
5、数字问题:
6、其他问题
7、列方程解应用题的基本步骤:
2、不等式(组)
(一)、不等式的基本概念
1、不等式
用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。
2、不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程,叫做解不等式。
3、用数轴表示不等式的方法
(二)、不等式基本性质
1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
(三)、一元一次不等式
1、一元一次不等式的概念
一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤:
(1)去分母
(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将x项的系数化为1
(四)、一元一次不等式组
1、一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。
当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、一元一次不等式组的解法
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集
(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。
3、不等式组解集的寻找方法:
第三单元统计与概率
第十章数据的收集、整理与描述
第二十章数据的分析
九年级上册:
第二十五章概率初步
1、统计
(1)、数据的描述
1、基本概念
全面调查:
考察全体对象的调查。
抽样调查:
总体:
个体:
样本:
样本容量:
2、了解几种常见的统计图表:
条形图、扇形图、折线图、复合条形图、直方图,了解各种图表的特点
条形图特点:
(1)能够显示出每组中的具体数据;
(2)易于比较数据间的差别
扇形图的特点:
(1)用扇形的面积来表示部分在总体中所占的百分比;
(2)易于显示每组数据相对与总数的大小
折线图的特点;
易于显示数据的变化趋势
直方图的特点:
1)能够显示各组频数分布的情况;
(2)易于显示各组之间频数的差别
3、会用各种统计图表示出一些实际的问题
(二)、数据的分析
1、平均数
算术平均数
一般地,对于n个数x1,x2,…,xn,我们把
叫做这n个数的算术平均数,简称平均数。
加权平均数:
一般地,若n个数x1,x2,…,xn的权分别w1,w2,…,wn,我们把
叫做这n个数的加权平均数.
2、中位数:
3、众数:
4、极差:
5、方差:
2、概率初步
1、事件
在一定条件下必然要发生的事件,叫做必然事件。
在一定条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件。
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件。
2、概率
一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么,这个常数p就叫作事件A的概率。
事件A发生的频率是:
在n次试验中,事件A发生的频数m与n的比。
公式:
3、等可能性事件概率的求法
(1)、直接法:
当事件要经过一步完成时列举出所有可能情况
一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)=
(2)、列表法与树形法
当事件要经过两步完成时用列表法;
当事件要经过三步以上完成时用树形图法。
4、非等可能性事件概率的求法
第四单元函数
第六章平面直角坐标系;
第十四章一次函数;
第十七章反比例函数;
九年级下册:
第二十六章二次函数,第二十八章锐角三角函数。
1、平面自交坐标系
1、有序数对:
我们把有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对。
记作(a,b)。
2、平面直角坐标系:
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,就组成平面直角坐标系。
(2)、有关概念:
什么叫做横轴、纵轴、原点、象限、坐标。
3、特殊点的坐标特点
(1)、象限内的点的符号特点:
第一象限(+,+);
第二象限(-,+);
第三象限(-,-);
第四象限(+,-)。
(2)、坐标轴上的点的特点:
X轴上的点纵坐标为0,表示为(X,0);
Y轴上的点横坐标为0,表示为(0,Y);
(3)、平行于X轴或垂直于Y轴的直线上的点的纵坐标相同;
平行于Y轴或垂直于X轴的直线上的点的横坐标相同。
(4)、对称点的坐标特点:
关于X轴对称的点横坐标相同,纵坐标互为相反数,
表示为(X,Y)----(X,-Y);
关于Y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数,
表示为(X,Y)----(-X,Y);
原点对称的点的横坐标、纵坐标均互为相反数
表示为(X,Y)----(-X,-Y).
(5)、象限的夹角的角平分线上的点的特点:
第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等。
表示为(m,m)
第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。
表示为:
(-m,m)或(m,-m)
4、用坐标表示平移
规律:
(1)左、右平移:
原图形上的点(x,y)向右平移a个单位记(x+a,y);
原图形上的点(x,y)向左平移a个单位记(x-a,y)
(2)上、下平移:
原图形上的点(x,y)向上平移a个单位记(x,y+a);
原图形上的点(x,y)向下平移a个单位记(x,y-a)。
2、一次函数
1、变量与常量
变量:
在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量叫做变量。
常量:
在一个变化过程中,有些量的数值是始终保持不变的,我们称为常量。
2、函数
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。
当自变量x=a时,y=b,那么b叫做当自变量x=a时y的函数值。
(2)、函数的表示方法
(一)解析式
(二)列表法(三)图像法:
图像上的点的横坐标是自变量的取值,对应的纵坐标是函数值。
(3)、函数图象的画法:
(一)、列表列出自变量与函数的对应值表。
自变量的值(满足取值范围),并取适当.
(二)、描点建立直角坐标系,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点
(三)、连线按照横坐标从小到大的顺序把描出的点用平滑曲线依次连接起来
(4)、函数自变量的取值范围,求自变量的取值范围的类型:
(一)、当自变量含在一个整式中,自变量的取值范围是全体实数。
(二)、当自变量含在分母中,自变量的取值范围是不使分母为0的实数。
(三)、当自变量含在二次根号里面,自变量的取值范围是被开方数大于等于0.
(四)、在实际问题中,自变量的取值范围是让实际问题有意义。
3、正比例函数与一次函数的图像与性质(见表册)
4、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程(组)的关系
(1)、一次函数与一元一次方程
求一元一次方程kx+b=0(k,b是常数,k≠0)的解,从“数”上看就是x为何值时函数y=kx+b的值为0.
求一元一次方程kx+b=0(k,b是常数,k≠0)的解,从“形”上看就是求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标.
(2)、一次函数与一元一次不等式
求一元一次不等式kx+b<0或kx+b>0(k,b是常数,k≠0)的解集,从“数”上看就是x为何值时函数y=kx+b的值小于0或大于0.
求一元一次不等式kx+b<0或kx+b>0(k,b是常数,k≠0)的解集,从“形”上看就是x为何值时函数y=kx+b的图像在x轴的下方或上方.
(3)、一次函数与二元一次方程(组)
求二元一次方程组的解,从“数”上看就是x为何值时两个一次函数的值相等.
求二元一次方程组的解,从“形”上看就是确定两条直线交点的坐标
3、反比例函数
1、定义
一般地,函数(k是常数,k≠0)叫反比例函数.
2、反比例函数的等价形式
3、反比例函数与正比例函数的性质的对比(见表格)
4、K的几何意义:
过双曲线上一点P(m,n)分别作x轴,y轴的
=OA·
AP=|m|·
|n|=|k|
垂线,垂足分别为A、B,则S矩形OAPB
5、反比例函数的解析式的求法
四、二次函数
1.二次函数的定义
形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数,a叫做二次函数的系数,b叫做一次项的系数,c叫作常数项。
2、二次函数的图象都是抛物线。
2、抛物线y=ax2的图象
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是____轴,顶点是_______.当a>
0时,抛物线的开口向__,顶点是抛物线的________,a越大,抛物线的开口越___;
当a<
0时,抛物线的开口向____,顶点是抛物线的最____点,a越大,抛物线的开口越____.
4、抛物线y=a(x-h)2+k图象的移动
一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同,把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据h,k的值来决定.
5、抛物线y=a(x-h)2+k(顶点式)的图象特点:
(1)当a>
0时,开口向上;
当a<
0时,开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点坐标是(h,k).
(4)最值:
6、抛物线y=ax²
+bx+c(一般式)的图象特点:
y=ax²
+bx+c
对称轴:
顶点坐标:
最值:
7、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系:
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2–4ac>
0
只有一个交点
有两个相等的实数根
b2–4ac=0
没有交点
没有实数根
b2–4ac<
与X轴的交点的求法:
与Y轴的交点:
8、抛物线y=ax2+bx+c的符号问题:
a>
(1)a的符号:
由抛物线的开口方向确定
a<
开口向下
开口向上
c>
(2)C的符号:
由抛物线与y轴的交点位置确定:
c=0
经过坐标原点
交点在x轴下方
交点在x轴上方
c<
(3)b的符号:
由对称轴的位置确定:
(4)、抛物线y=ax2+bx+c的符号问题:
a+b+c
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