人教版初中二年级数学上册教学设计《最短路径问题》文档格式.docx
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在探索最算路径的过程中,体会轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想.
3、教学重、难点
教学重点:
利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间,线段最短”问题
教学难点:
如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题
突破难点的方法:
利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.
二、教学准备:
多媒体课件、导学案
三、教学过程
教学内容与教师活动
学生活动
设计意图
一、创设情景引入课题
师:
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.
(板书)课题
学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.
从生活中问题出发,唤起学生的学习兴趣及探索欲望.
二、自主探究合作交流建构新知
追问1:
观察思考,抽象为数学问题
这是一个实际问题,你打算首先做什么?
活动1:
思考画图、得出数学问题
将A,B两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线.
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思,
并把它抽象为数学问题吗?
师生活动:
学生尝试回答,并互相补充,最后达成共识:
(1)从A地出发,到河边l饮马,然后到B地;
(2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B连接起来的两条线段的长度之和,就是从A地
到饮马地点,再回到B地的路程之和;
(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:
当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小(如图).
强调:
将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”
活动2:
尝试解决数学问题
问题2:
如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?
追问1 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B′吗?
问题3如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的
一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?
学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充
如果学生有困难,教师可作如下提示
作法:
(1)作点B关于直线l的对称点B′;
(2)连接AB′,与直线l相交于点C,则点C即为所求.
如图所示:
问题3 你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?
教师展示:
证明:
如图,在直线l上任取一点C′(与点C不重合),连接AC′,BC′,B′C′.
由轴对称的性质知,
BC=B′C,BC′=B′C′.
∴ AC+BC
=AC+B′C=AB′,
AC′+BC′
=AC′+B′C′.
方法提炼:
将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.
问题4
练习 如图,一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客,然后将游客送往河岸BC上,再返回P处,请画出旅游船的最短路径.
基本思路:
由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q在直线BC的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR的和最小”.
问题5造桥选址问题
如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?
(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
思维分析:
1、如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?
2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢?
思维点拨:
改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?
什么图形变换能帮助我们呢?
(估计有以下方法)
1、把A平移到岸边.
2、把B平移到岸边.
3、把桥平移到和A相连.
4、把桥平移到和B相连.
教师:
上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢?
请检验.
1、2两种方法改变了.怎样调整呢?
把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?
问题解决:
如图,平移A到A1,使AA1等于河宽,连接A1B交河岸于N作桥MN,此时路径AM+MN+BN最短.理由;
另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N1.由平移性质可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1.AM+MN+BN转化为AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1 转化为AA1+A1N1+BN1.在△A1N1B中,由线段公理知A1N1+BN1>A1B因此AM1+M1N1+BN1>AM+MN+BN如图所示:
将最短路径问题转化为“线段和最小问题”
动手画
直线
观察口答
动手连线
独立思考
合作交流
汇报交流成果,书写理由.
思考感悟活动1中的将军饮马问题,把刚学过的方法经验迁移过来
学生独立完成,集体订正
互相交流解题经验
独立完成,交流经验
观察思考,动手画图,用轴对称知识进行解决
各抒己见
合作与交流
交流体会
为学生提供参与数学活动的生活情境,培养学生的把生活问题转化为数学问题的能力.
经历观察-画图-说理等活动,感受几何的研究方法,培养学生的逻辑思考能力.
达到轴对称知识的学以致用
注意问题解决方法的小结:
抓对称性来解决
及时进行学法指导,注重方法规律的提炼总结.
学以致用,及时巩固
抓轴对称来解决
提炼思想方法:
轴对称,线段和最短
体会转化思想,
体验轴对称知识的应用
动手体验
动手作图
体验转化思想
三、巩固训练
(一)基础训练:
1、最短路径问题
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.
如图所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点.
(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.
如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B′,则点C是直线l与
AB′的交点.
2.如图,A和B两地之间有两条河,现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短?
(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)
如图,问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+QB.桥MN和PQ在中间,且方向不能改变,仍无法直接利用“两点之间,线段最短”解决问题,只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种:
两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处,PQ平移到B点处
.
(二)变式训练:
如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.
(1)若要使厂部到A,B村的距离相等,则应选择在哪建厂?
(2)若要使厂部到A,B两村的水管最短,应建在什么地方?
(三)综合训练:
茅坪民族中学八
(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?
图a 图b
学生独立思考解决问题
独立思考,合作交流.
巩固所学知识,增强学生应用知识的能力,渗透转化思想.
提炼方法,为课本例题奠定基础.
四、反思小结布置作业
小结反思
(1)本节课研究问题的基本过程是什么?
(2)轴对称在所研究问题中起什么作用?
解决问题中,我们应用了哪些数学思想方法?
你还有哪些收获?
作业布置、课后延伸
必做题:
课本P93-15题;
选做题:
生活中,你发现那些需要用到本课知识解决的最短路径问题
自由发言,相互借鉴.自我评价.
总结回顾学习内容,帮助学生归纳反思所学知识及思想方法.
关注学生的个体差异.
板书设计:
教学反思:
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- 关 键 词:
- 最短路径问题 人教版 初中 年级 数学 上册 教学 设计 路径 问题