考研数学一真题与答案解析Word文档下载推荐.docx
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1
(B)
3,b
(D)
2,c1
(A)
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一
种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法.
【解析】由题意可知,1e2x、1ex为二阶常系数齐次微分方程yayby0的解,所以2,1
23
为特征方程r2
arb0的根,从而a(1
2)3,b12
2,从而原方程变为
y3y2y
cex,再将特解yxex代入得c
1.故选(A)
(3)若级数
an条件收敛,则
x
3与
3依次为幂级数
nan(x
1)n的
n1
(A)收敛点,收敛点
(B)收敛点,发散点
(C)发散点,收敛点
(D)发散点,发散点【答案】
(B)
【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质。
【解析】因为
an条件收敛,即x
2为幂级数
an(x1)n的条件收敛点,所以
an(x1)n
的收敛半径为
1,收敛区间为(0,2)。
而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故
nan(x1)n的收
敛区间还是(0,2)
。
因而x
与x
nan(x1)n的收敛点,发散点.故选(B)。
(4)设D是第一象限由曲线
2xy1
,4xy
1与直线y
x,y
3x围成的平面区
域,函数
fx,y
在D上连续,则
x,ydxdy
()
D
d
sin2
rcos,rsin
rdr
4
2sin2
sin2
rcos
rsin
2sin2
dr
3d
【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分
【解析】先画出D的图形,
所以
f(x,y)dxdy
f(rcos,rsin
)rdr,故选(B)
(5)
设矩阵A1
,b
d,若集合
1,2,则线性方程组Ax
b有
a2
d2
无穷多解的充分必要条件为
()
(A)a,d
(B)a,d
(C)a,d
(D)a,d
【答案】D
【解析】(A,b)
a1
(a
1)(a
2)
(d1)(d
,
由r(A)r(A,b)3
,故a
1或a
2,同时d
1或d
2。
故选(D)
(6)设二次型f
x1,x2,x3
在正交变换为x
Py
下的标准形为
2y12
y22
y32,其中
123
,若
32
,则
在正交变换x
Qy下的标准
Pe,e,e
Qe,e,e
fx,x,x
形为
(A)2y12y22y32
(B)2y12y22y32
(C)2y12y22y32
(D)2y12y22y32
【答案】(A)
【解析】由xPy,故fxTAxyT(PTAP)y2y12y22y32.且
PTAP0
.
QP0
PC
QTAQCT(PTAP)C0
所以f
xTAx
yT(QTAQ)y
y32。
选(A)
(7)若A,B为任意两个随机事件,则
PAB
PAPB
PABPAPB
P(AB)
P(A)
P(B)
P
AP
B
AB
【答案】(C)
【解析】由于AB
A,AB
B,按概率的基本性质,我们有P(AB)
P(A)且P(AB)
P(B),
P(A)P(B)
从而P(AB)
,选(C).
(8)设随机变量
X,Y不相关,且
EX
2,EY1,DX
3,则E
X
XY
(B)3
5
【答案】(D)
【解析】E[X(X
Y
2)]E(X2
XY
2X)
E(X2)
E(XY)2E(X)
D(X)
E2(X)
E(X)E(Y)2E(X)
22
212
5,选(D).
二、填空题:
9
14小题,每小题4分,共24
分.请将答案写在答题纸
指定位置上.
(9)
lim
lncosx
_________.
x0
【分析】此题考查0型未定式极限,可直接用洛必达法则,也可以用等价无穷小替换.
ln(cosx)
sinx
tanx
cosx
.(罗比达法则)
【解析】方法一:
2x
ln(1cosx1)
cosx1
1x
方法二:
(等价无穷小替
换)
(10)
x)dx
________.
cosx
π
【分析】此题考查定积分的计算,需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.
【解析】2
2xdx
xdx2
1cosx
(11)若函数zz(x,y)由方程确定,则dz(0,1)________.
【答案】dx
【分析】此题考查隐函数求导.
【解析】令
(,
)
z
xyz
cos
2,则
Fxyze
Fx(x,y,z)
yz
sinx,Fy
xz,Fz(x,y,z)ez
xy
又当x0,y
1时ez
1,即z0.
Fx(0,1,0)
1,
Fy
(0,1,0)
x(0,1)
F
y
(0,1)
0,因而dz(0,1)dx.
F(0,1,0)
(12)设
是由平面x
1与
三个坐标平面所围成的空间区域,则
(x2y3z)dxdydz__________.
【分析】此题考查三重积分的计算,可直接计算,也可以利用轮换对称性化简后再计算【解析】由轮换对称性,得
2y
3z)dxdydz
6
zdxdydz
dxdy,
zdz
Dz
其中Dz为平面z
z截空间区域
所得的截面,其面积为
1(1
z)2
.所以
(x2y
3z)dxdydz
zdxdydz6
1(1z)2dz
2z2
z)dz
3(z3
(13)n阶行列式
___________.
【答案】2n1
1.
【解析】按第一行展开得
Dn
2Dn1
(1)n12
(1)n1
2Dn12
2(2Dn2
22Dn
2n
2n1
(14)设二维随机变量
(x,y)服从正态分布
(1,0;
1,1,0)
,则P{XY
0}
N
【解析】由题设知,
X~N(1,1),Y~N(0,1),而且X、Y相互独立,从而
P{XY
P{(X
1)Y
P{X1
0,Y
P{X
P{
1}P{Y
0}
P{X
1}PY{
三、解答题:
15~23
小题,共94分.请将解答写在答题纸
指定位置上.解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
(15)(本题满分
10分)
设函数f
aln(1x)
bxsinx,g(x)
kx3,若fx与gx
x0是等价无穷小,求a,b,k的值.
【答案】a1,b
k
1.
aln1x
bxsinx
【解析】法一:
原式
kx
1(泰勒展开法)
xax
x2
x3
ox3
bxx
1axb
ax2
ax3
bx4
即1
a0,b
0,a
3k
1,b
k
(16)(本题满分
10分)设函数f
在定义域I上的导数大于零,若对任意的x0
I,由线y=f
在点x0,fx0
处的切线与直线
x0及x轴所围成区域的面积恒为
4,且f
2,求f
的表达式.
f(x)
8
【解析】设
在点
x0,fx0
处的切线方程为:
x0
x0x
令y
0,得到x
x0,
故由题意,1f
4,即
1fx0
,可以转化为一阶微分方程,
即y
y2
,两边同时积分可得
,将
,代入上式可得
即f
(17)(本题满分10
分)
已知函数
x,y
xy,曲线C:
x2
y2
3,求f
在曲
线C上的最大方向导数.
【答案】3
【解析】因为fx,y沿着梯度的方向的方向导数最大,且最大值为梯度的模
fx'
x,y
1y,fy'
1x,
故gradf
x,y
1y,1
x,模为
gx,y
xy3下的最大值.
此题目转化为对函数
在约束条件C:
x2
即为条件极值问题.
为了计算简单,可以转化为对d(x,y)
3下的最
大值.
构造函数:
F
x,y,
Fx
21
0,得到M1
1,1,M2
1,M3
2,1,M4
1,2
dM1
8,d
M2
0,d
M3
9,dM4
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- 考研 数学 一真题 答案 解析
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