尼科尔森《微观经济理论基本原理与扩展》第9版课后习题详解文档格式.docx

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从而可以解得利润最大化的产量为：

相应的最大化的利润为：

（2）在处，利润最大化的二阶条件为：

，因而满足利润最大化的二阶条件。

（3）在处，边际收益为：

边际成本为：

因而有，即“边际收益等于边际成本”准则满足。

3．假设。

如果与的和是1，求此约束下的最大值。

利用代入消元法和拉格朗日乘数法两种方法来求解此问题。

（1）代入消元法

由可得：

，将其代入可得：

从而有：

，可以解得：

从而，。

（2）拉格朗日乘数法

的最大值问题为：

构造拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而可以解得：

，因而有：

4．对偶函数为：

利用拉格朗日乘数法求解上述最小化问题。

设最小化问题的拉格朗日函数为：

，，从而可以解得：

5．以一定的力垂直上抛的小球的高度是其被抛出时间（）的函数：

其中，是由重力所决定的常数。

（1）小球处于最高处的时间如何取决于参数？

（2）利用你在

（1）问中的答案来描述：

随着参数的变化，小球的最大高度如何变化。

（3）利用包络定理直接给出

（2）问中的答案。

（4）在地球上，，但是这个值在某些地区会有差异。

如果两个地方重力加速度的差异为0.1，则在上述两个地区所抛出的小球的最大高度之间的差异是多少？

（1）对高度函数关于时间求导数可得：

从而可以解得使高度最大的时间为：

，从而可知小球处于最高处的时间与参数成反比例关系。

（2）将代入高度函数中可得：

，即：

随着的增大，最大高度将变小。

（3）由包络定理可知：

取决于，因为取决于。

因而有：

（4）当时，最大高度为：

当时，最大高度为：

因而两地最大高度的差异为：

6．制作一个油轮模型的一个简单的方法是，首先选择一块宽为英尺、长为英尺的长方形钢板，接着在每个角处减去一个边长为英尺的正方形，然后叠起剩余的四边做成一个无盖的托盘。

（如图2-1所示，去掉阴影部分的四个边长为的正方形，然后叠起）

图2-1油轮模型的制作

（1）验证：

该托盘可装油的体积为：

（2）应该如何选择，才能使给定下的最大？

（3）是否存在一个使得所装油的体积最大？

（4）假设一个造船商受到限制，只能用1000000平方英尺的钢板来建造一个油轮。

该约束条件可以用方程

来表示（因为可以将去掉的钢板做退回处理）。

如何将该受约束的最大化问题的解与

（2）和（3）问中的解进行比较？

（1）如图2-1所示，长方形四个角处去掉一个边长为的正方形后叠起来的托盘是一个长方体，该长方体的长为（），宽为（），高为，因而其体积为：

（2）由体积函数为，体积最大化的一阶条件为：

，。

二阶条件为：

，只有当时，才有。

即只有当才能使给定下的最大。

（3）当时，。

因而当增大时，随之增大，没有极限。

因此，不存在一个使得所装油的体积最大。

（4）受约束的最优化问题为：

设拉格朗日函数为：

从而可以利用拉格朗日乘数法求得最优的、。

显然，该受约束的最大化问题的解将有别于

（2）和（3）中求解出来的解。

7．考虑如下受约束的最优化问题：

其中是一个可以被赋予任何特定值的常数。

如果，则此问题可以视为仅包括一个等式约束的问题的求解。

当时，此问题的解要求。

（3）如果此问题的解须为非负，则当时，最优解是什么？

（4）当时，此问题的解是什么？

通过将此解与

（1）问中的解比较，你可以得出什么结论？

（注意：

此问题涉及“拟线性函数”。

这样的函数提供了消费者理论中的某些类型的消费行为的重要例子。

）

（1）设拉格朗日函数为：

，即。

当时，最优解为：

（2）当时，由

（1）中的一阶条件可以解得：

，，因此结论成立。

（3）如果此问题的解非负时，最优解为：

，，。

因为任何正的的值都将使变小。

（4）如果，则由

（1）可得最优解为：

因为给提供了一个递减的边际增量，而却没有，所以，所有的最优解要求一旦增至5，额外的增量应该全部由的增加来实现。

8．证明：

如果是一个凹函数，它同时也是一个拟凹函数。

可以通过比较方程2.114（定义拟凹性）和方程2.98（定义凹性）来完成验证。

你能给出这个结论的一个直观的解释吗？

拟凹函数必然是凹的吗？

方程2.98为：

方程2.114为：

证明：

（1）由凹函数和拟凹函数的定义可知：

函数，对定义域（凸集）上任意两点，，，如果有

，则称函数为凹函数。

函数，对定义域（凸集）上任意两点，，，如果有，则称函数为拟凹函数。

可知，对于凹函数有：

因而可以从凹函数推出拟凹函数，反之，则不成立。

（2）直观的，从图形上看，函数为拟凹表示线段、之间的点的函数值要高于点，或者说曲线之间的点都高于点。

显然，当函数是凹函数，曲线呈一个倒置的锅，则上述性质是满足的。

从这一点看，凹函数一定是拟凹函数。

但是，这不是必要的。

如图2-2所示，在曲线段，函数是凹的；

而在段，函数是凸的。

这说明拟凹函数的概念要比凹函数更弱。

图2-2凹函数与拟凹函数

9．柯布-道格拉斯函数：

，其中，和都是小于1的正的常数。

（1）利用方程计算，从而验证该函数是一个拟凹函数。

（2）通过验证任何（为任何正的常数）的上水平线都是凸的，从而任何满足的集合都是凸的，来验证柯布—道格拉斯函数是拟凹函数。

（3）验证：

如果，则柯布—道格拉斯函数不是凹函数（从而表明不是所有的拟凹函数都是凹函数）。

（1）分别对柯布-道格拉斯函数求一阶、二阶导数可得：

从而可得：

，因而可知柯布-道格拉斯函数是一个拟凹函数。

（2）如果，则，因而当、时，是的凸函数。

关于拟凹函数的一个重要性质是，如果函数是拟凹的，则当且仅当集合是凸集，其中是任意常数。

集合

为函数的上等值集合。

（3）由方程2.98可知：

当时，该式是负的，因而此时函数不是凹函数，从而可知，并非所有的拟凹函数都是凹函数。

10．幂函数，其中，（有时，也可以考虑为负的情形，此时利用来确保导数有恰当的符号）。

（1）证明：

此函数是凹函数。

注意到当的特殊情况，以及仅当时，该函数才是“严格”凹的。

（2）证明：

幂函数的多元形式也是一个凹函数（和拟凹函数）。

解释在这种情况下，为什么使得凹形的确定变得极其简单。

（3）一种将“规模”效应融入该函数的方法是，对

（2）问中的函数进行单调变换：

其中，是一个正的常数。

这种变换是否仍保持函数的凹性？

是拟凹的吗？

（1）当时，因为，，所以此时函数是严格凹函数。

（2）对于幂函数，有：

，；

因为，，且，所以满足，因而该函数是凹函数。

（3）因为是拟凹函数，所以是拟凹函数。

但是，当时，不是凹函数。

所有这些结论可以通过对的偏微分以及方程和来验证。

第2篇　选择与需求

第3章　偏好与效用

1．画出下列效用函数的无差异曲线，并判断它们是否是凸状的（即边际替代率是否随着的增加而递减）。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

答：

（1）无差异曲线如图3-1所示，为一组直线。

边际替代率为：

，为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。

图3-1完全替代型的无差异曲线

（2）无差异曲线如图3-2所示，为性状良好的无差异曲线。

，随着的递增，将递减，因而有凸的无差异曲线。

图3-2凸状的无差异曲线

（3）无差异曲线如图3-3所示。

，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效用函数。

图3-3拟线性型的无差异曲线

（4）无差异曲线如图3-4所示。

，因而边际替代率递增，无差异曲线不是凸状的。

图3-4凹状的无差异曲线

（5）无差异曲线如图3-5所示。

，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的。

图3-5凸状的无差异曲线

2．在第3章的脚注7中，我们已经证明：

为例使得一个关于两个商品的效用函数有严格递减的（即该函数严格拟凹），则如下的条件必须成立：

利用该条件检验第1题中的每个效用函数相应的无差异曲线的凸性。

描述此过程中你发现的任何捷径。

在第1题中，由于所有的一阶偏导数都是正的，所以仅需要检验二阶偏导数。

（1）因为，所以该效用函数不是严格拟凹的。

（2）因为，，，所以该效用函数是严格拟凹的。

（3）因为，，，所以该效用函数是严格拟凹的。

（4）尽管仅考察时的情形，但是二阶偏导数的符号是不确定的，所以效用函数不一定是严格拟凹的。

（5）因为，，，所以效用函数是严格拟凹的。

3．对于如下效用函数：

尽管这些效用函数具有递减的，但是它们分别显示出边际效用不变、递增、递减。

你能从中得出什么结论？

（1），，，，；

（2），，，，；

（3），，，，。

从以上分析可知，单调变化会影响递减的边际效用，但是不会影响边际替代率。

4．如图3-6所示，一种证明无差异曲线的凸性的方法是，对于特定无差异曲线上的任何两点（，）和（，），两点的中点相应的效用至少与一样大。

利用此方法来讨论如下效用函数的无差异曲线的凸性。

务必图示你的结论。

图3-6利用图形判断凸性

（1）如果两个商品组合的数量相等，则有：

如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，可设：

从而可知无差异曲线如图3-7所示，是凸状的。

（2）由

（1）可知，两个商品组合的数量相等，则有：

从而可知无差异曲线如图3-7所示，不是凸状的，而是凹状的。

（3）在完全替代型的效用函数下，有：

因而无差异曲线既不是凹状的，也不是凸状的，而是线性的。

图3-7利用图形来判断无差异曲线的性状

5．PhilliePhanatic总是喜欢以一种特定的方式来吃BallparkFranks牌的热狗：

他将1英尺长的热狗，恰好配以半块小圆面包，1盎司芥末以及2盎司的咸菜调味品同时食用。

他的效用是以上四种物品的函数，并且额外一种物品的数量增加而其他成分不变是不会增加他的效用的。

（1）PhilliePhanatic对于这四种物品的效用函数的形式是什么？

（2）我们可以如何将PhilliePhanatic的效用视为一种商品的函数来简化问题？

这种商品是什么？

（3）假设每英尺热狗的价格为1美元，小圆面包价格为0.5美元，每盎司芥末的价格为0.05美元，每盎司咸菜调味品的价格为0.15美元，则

（2）问中定义的商品的价格是多少？

（4）如果每英尺热狗的价格增加50%（即增至1.5美元），则该商品的价格增加的百分比是多少？

（5）小圆面包的价格上涨50%将如何影响该商品的价格？

你的答案与（4）问中有何不同？

（6）如果政府对PhilliePhanatic购买的每单位商品征税1美元，则税收将如何在这四种商品中分担，从而使PhilliePhanatic的效用成本最小化？

（1）如果代表热狗，代表小圆面包，代表芥末，代表调味品，则PhilliePhanatic的效用函数可以表示为：

这是完全互补效用函数。

（2）可以将PhilliePhanatic的效用视为一种商品的函数来简化问题，即将上述四种物品的组合视为是一种完全调配好的热狗。

（3）该种商品的价格是：

（美元）。

（4）如果热狗的价格增至1.5美元，则该商品的价格为：

（美元）

因此，该种商品的价格上涨幅度为：

（5）如果小圆面包的价格增至（美元），则该种商品的价格为：

（6）提高价格以使完全调配好的热狗的价格增至2.6美元，从而在征税1美元的情况下，这将等价于购买力的总额减少。

为使PhilliePhanatic的效用成本最小化，增收的1美元税收应该在各种商品之间按固定比例分担，即按进行分担。

即对每英尺热狗征税0.22美元，每单位小圆面包征收0.44美元，每盎司芥末征收0.22美元，每盎司咸菜征收0.11美元，此时PhilliePhanatic的效用成本最小。

6．许多广告语似乎表明了人们的某些偏好。

你将如何利用效用函数来描述下列广告语？

（1）人造黄油与真黄油一样好。

（2）饮可口可乐，万事如意。

（3）你不能仅吃Pringle牌的薯条。

（4）KrispyKreme牌的油炸饼圈就是比Dunkin牌的好。

（5）MillerBrewing建议我们“负责任地”喝（啤酒）。

（什么是“不负责任地”喝酒呢？

（1）如果用代表人造黄油消费量，代表真黄油消费量，则效用函数可以表示为：

这表示人造黄油和真黄油是完全替代品，它们之间的替代比率是1∶1。

（2）如果用代表其他商品的消费量，代表可口可乐的消费量，则效用函数可以表示为：

，且满足：

例如效用函数就可以表示这种偏好。

（3）如果用代表Pringle牌的薯条的消费量，代表其他商品的消费量，则效用函数可以表示为：

，对于所有的以及成立。

（4）如果用代表KrispyKreme牌的油炸饼圈的消费量，代表Dunkin牌的油炸饼圈的消费量，代表其他商品的消费量，则效用函数可以表示为：

，对于所有的成立。

（5）如果用代表其他人的效用水平，代表其他商品的消费量，代表啤酒的消费量，则效用函数可以表示为：

，且满足（这表示有利他偏好，说明他喝酒是负责任的），一个人喝酒会影响别人的效用水平。

7．假设某人起初拥有一定数量的两种商品，这两种商品都会给他（她）带来效用。

两种商品的初始数量分别为：

和。

（1）在此人的无差异曲线图中画出初始的商品组合。

（2）如果此人可以用与其他人交换（或用交换），则他（她）将自愿进行何种类型的交换？

他（她）将不愿进行何种类型的交换？

这些交换如何与此人在点（，）处的有关？

（3）假设此人对其拥有的初始商品数量较为满意，并且仅考虑那些能使其效用增加的交换。

你将在无差异曲线图中如何反映这一点？

（1）此人无差异曲线如图3-8所示，它的初始商品拥有量为图中的点。

（2）任何不同于在（，）处的的交易机会都有可能提高效用水平。

如图3-8所示，代表了提高效用的交换。

（3）对初始商品组合的偏好要求交换活动能够大幅度提高效用才能促使交换发生。

因而交换活动只有在交换后的显著不同于在（，）处的时才更有可能发生，如图3-8所示。

图3-8无差异曲线及交换活动对效用的影响

8．柯布-道格拉斯效用函数的边际替代率为：

（1）这个结果是否取决于？

它与选择理论有无关系？

（2）对于一组商品，其边际替代率如何取决于和？

为什么时，？

请图示你的直观解释。

（3）与为给定的最低生活水平，假设某人的效用仅仅是由超过这一最低水平的与的数量来决定，在这种情况下，

这是一个位似函数吗？

（1）边际替代率为：

这个结果与生产理论不同，不取决于的值。

在消费理论中无关紧要，因为效用惟一取决于单调变换。

（2）对于一组商品，边际替代率为：

，如果，则消费者对的评价相对更高，从而

（3）该函数关于（）和（）是位似的，而关于和不是位似的。

9．如果效用函数满足：

则称它的两种商品具有独立的边际效用。

试证明当我们假定每一种商品的边际效用为递减时，具有独立边际效用的效用函数都会有递减的边际替代率。

举例证明其逆命题是错的。

意味着只要，，则递减。

原命题得证。

原命题的反命题是：

如果具有独立边际效用的任一效用函数都会有递减的边际替代率，则每一种商品的边际效用是递减的。

下面来证明此命题不一定成立。

在两种消费商品的效用函数下，递减的边际替代率意味着下式成立：

当时，上式变为。

显然，这无法推出，的结论。

10．

（1）证明：

CES函数

是位似函数。

如何取决于？

从

（1）问中所得的结论与我们对（完全替代）和（柯布-道格拉斯）情形下的讨论相符。

（3）证明：

对于所有的，是严格递减的。

（4）证明：

如果，则这个函数的仅取决于和相对值的大小。

（5）计算或情况下，当，时，这一函数的？

当在附近变动时，它的变动程度如何？

你如何从几何图形上给予解释？

因而该函数是位似的。

又因为：

，所以当时，，即随着的递增，递减；

当时，，即随着的递增，递增；

当时，，即随着的递增，不变。

（2）如果，为一常数；

如果，，这与第8题的结论相符。

（3）对于所有的，有：

，所以递减。

（4）当时，，所以仅取决于、相对值的大小。

（5）当时，，；

当时，，。

因此，在时比在时变化得更快。

越小，无差异曲线更为陡峭。

特别地，当时，无差异曲线为表示固定比例偏好的L型。

第4章　效用最大化与选择

1．三年级学生保罗每天在校用餐，它只喜欢Twinkie（）和苏打水（），他从中得到的效用为：

（1）如果每份Twinkie为0.1美元，苏打水每瓶为0.25美元，为了使效用最大化，保罗应该如何将妈妈给他的1美元伙食费分配在这两种食物上？

（2）学校为了减少Twinkie的消费，将其价格提高到每份0.4美元，那么为了让保罗得到与

（1）中相同的效用，妈妈现在要给他多少伙食费？

（1）对效用函数进行单调变换，令，这并不改变偏好次序。

保罗效用最大化问题为：

解得：

因此，他所获得的效用：

（2）消费品Twinkie价格提高了，但效用水平却保持不变，则保罗面临如下的支出最小化问题：

（1）

（2）

（3）

由上述三式解得，，则最小支出为：

，所以妈妈现在要给他2美元伙食费使他的效用水平保持不变。

2．

（1）一位年轻的品酒师欲支出300美元建一小酒窖，他特别喜欢两种酒：

一种是1997年生产的昂贵的法国波尔多白葡萄酒（），每瓶价格为20美元；

另一种是稍微便宜的2002年产的加利福利亚葡萄酒（），每瓶4美元。

如果他的效用函数如下式所示，则他将在每种酒上花多少钱？

（2）当他来到酒店时，我们年轻的品酒师发现由于法郎贬值，1997年产的法国波多尔白葡萄酒（）已经降到每瓶10美元。

如果加利福尼亚葡萄酒依然是每瓶4美元，此时，在价格已变的情况下，为了实现最大效用，他每种酒的购买量应该是多少？

（3）请解释为什么该品酒师在

（2）中比

（1）中的状况要好。

你如何用货币值来衡量效用的增加？

（1）该品酒师的效用最大化问题为：

因此为使效用最大化，该品酒师应该在法国白葡萄酒上花200美元，在加利福利亚葡萄酒上花100美元。

（2）当法国波多尔白葡萄酒价格下降时，品酒师的效用最大化问题变为：

故价格变化后，为实现最大效用，品酒师应购买法国白葡萄酒20瓶，购买加利福尼亚葡萄酒25瓶。

（3）在

（1）中，品酒师的效用为：

在

（2）中，品酒师的效用为：

因而为了实现

（2）中的效用水平，此人需要更多的收入。

根据柯布-道格拉斯效用函数的性质可知，品酒师对两种葡萄酒的需求函数分别为：

代入效用函数可得他的间接效用函数为：

现在有，从而可以解得收入为：

在此收入下，该品酒师者将购买的商品数量为：

，，获得的效用为。

3．

（1）在某一个晚上，J.P.以下列函数的形式享用雪茄（）和白兰地（）：

那么他这天晚上要抽多少支雪茄，喝多少瓶白兰地酒才能得到最大效用？

（假定他不受预算约束）

（2）后来，J.P.的医生告诫他：

每天喝的白兰地与抽的雪茄加起来不能超出5单位。

在这一条件下，他会喝多少白兰地，抽多少雪茄？

（1）在无约束下，J.P.的效用最大化问题为：

效用最大化的一阶条件为：

解得，。

从而可知J.P.所获得的最大效用为：

（2）J.P.所受的约束为：

，此时他的效用最大化问题为：

4．

（1）奥德鲍尔先生享用商品和所得的效用函数为：

如果美元，美元，而他的总收入为50美元，求他所能得的最大效用？

提示：

求的最大值要比求的最大值方便得多，但这种方法为什么不影响计算结果呢？

（2）画出奥德鲍尔的无差异曲线，并做出无差异曲线与预算线的切点，曲线图是如何描述奥德鲍尔的行为的？

你能找到真正的最大值吗？

（1）因为可由经过单调变换得到，所以，最大化同时也就使最大化。

因此，奥德鲍尔的效用最大化问题可以表述为：

最优化问题的拉格朗日函数为：

（2）奥德鲍尔的无差异曲线如图4-1所示，显然该无差异曲线没有递减的。

无差异曲线与预算线的切点如图4-1中的点所示。

在点处，仅满足效用最大化的必要条件，但是不满足充分条件，因而点不是一个局部最优点，效用最大化的点应该是点，奥德鲍尔将其所有的收入用于购买，而商品的购买量为零。

在这里，他的效用函数不是凸的，而是凹的。

在偏好为凹的情况下，效用最大化点一定在边界上取得。

图4-1奥德鲍尔的无差异曲线图

5．A先生从马丁尼酒（）中所得的效用与马丁尼酒的消耗量成正比：

A先生特别喜欢他的马丁尼，但他只喜欢喝将杜松子酒（）与苦艾酒（）按2∶1的固定比例混合而成的马丁尼酒，因此，我们可以将A先生的效用函数改写为：

（1）画出A先生以与为变量的各种效用水平的无差异曲线，请说明无论这两种配料酒的价格如何，A先生永远不会改变他配制马丁尼酒的方法。

（2）求出对与的需求函数。

（3）利用

（2）的结论，求出A先生的间接效用函数。

（4）试计算A先生的支出函数；

对于每一种效用水平，将支出表示成和的函数。

（1）A先生的无差异曲线如图4-2所示。

无论商品与的相对价格（即预算线的斜率）如何，效用最大化的点始终是无差异曲线的折点，即满足也即的点。

图4-2A先生的无差异曲线

（2）将代入预算约束可得：

（3）因为，将或代入效用函数中，得间接效用函数为

（4）利用对偶性可得，支出函数为：

6．假设一位快餐食品爱好者从以下三种商品中获得效用：

软饮料（），汉堡包（）和圣代冰淇淋（），他的效用函数为柯布—道格拉斯型的，即：

同时假设三种商