版人教A版数学必修五 课时作业21.docx
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版人教A版数学必修五课时作业21
课时作业(二十一)
1.夏季高山的温度从山脚起每升高100m,降低0.7℃,已知山顶温度是14.8℃,山脚温度是26℃,则山的相对高度是( )
A.1500m B.1600m
C.1700mD.1800m
答案 B
解析 ∵26=14.8+(n-1)·0.7,∴0.7n=11.9,n=17.
∴an=0+(17-1)×100=1600,故选B.
2.某工厂预计今年十二月份产量是今年一月份产量的m倍,则该厂今年的月平均增长率应是( )
A.B.
C.-1D.-1
答案 C
解析 设月平均增长率为p,则(1+p)11=m,∴p=-1.
3.“嫦娥奔月,举国欢庆”,据科学计算,运载“神十”的“长征二号”系列火箭,在点火第一秒钟通过的路程为2km,以后每秒钟通过的路程都增加2km,在达到离地面240km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是( )
A.10秒钟B.13秒钟
C.15秒钟D.20秒钟
答案 C
4.某商品的价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,最后一年的价格与原来的价格比较,变化情况是( )
A.不增不减B.约增1.4%
C.约减9.2%D.约减7.8%
答案 D
5.某企业在今年年初贷款a万元,年利率为γ,从今年年末开始每年偿还一定金额,预计五年内还清,则每年应偿还( )
A.万元B.万元
C.万元D.万元
答案 B
6.一个蜂巢里有一只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴;…,如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有________只蜜蜂.
答案 46656
解析 每只蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列,a1=6,q=6,∴第6天所有蜜蜂归巢后,蜜蜂总数为a6=66=46656只.
7.
一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放1支,最上面一层放了120支,这个V形架上共放了________支铅笔.
答案 7260
解析 从下向上依次放了1,2,3,…,120支铅笔,∴共放了铅笔1+2+3+…+120=7260(支).
8.密封的瓶中,如果放进一个细菌,1分钟后瓶中就充满了细菌,已知每个细菌每秒钟分裂2个,两秒钟就分裂4个,…,如果放进两个细菌,要使瓶中充满细菌,需要时间不小于________秒.
答案 59
解析 因为瓶中容纳的细菌个数S60=1+2+4+…+260=261-1,若开始放进两个细菌,n秒后充满一瓶,则Sn=2+4+…+2n+1=2n+2-2,∴2n+2>261,故n>59秒.
9.某林场去年年底森林中木材存量为3300万立方米,从今年起每年以25%的增长率生长,同时每年冬季要砍伐的木材量为b,为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标,每年冬季木材的砍伐量不能超过多少?
(取lg2=0.3)
解析 设a1,a2,…,a20表示今年开始的各年木材存量,且a0=3300,则an=an-1(1+25%)-b.
∴an=an-1-b,an-4b=(an-1-4b),
即数列{an-4b}是等比数列,公比q=.
∴a20-4b=(a0-4b)·()20.
令t=()20,则lgt=20lg=20(1-3×0.3)=2.
∴t=100,于是a20-4b=100(a0-4b).
∴a20=100a0-396b,由a20≥4a0,
得100a0-396b≥4a0,b≤a0=800.
故每年冬季木材的砍伐量不能超过800万立方米.
10.某地区位于沙漠边缘地带,到2000年底全县的绿化率只有30%,从2001年开始,计划将每年原有沙漠面积的16%栽树改造为绿洲,而同时,原有绿洲面积的4%又被侵蚀变成沙漠.
(1)设该地区的面积为1,2000年底绿洲面积为a1=,经过一年绿洲面积为a2,经过n年绿洲面积为an+1,求证:
an+1=an+;
(2)问至少需要经过多少年的努力才能使该地区的绿洲面积超过60%(年数取整数)?
(lg2=0.3010)
解析
(1)证明 设2000年底的沙漠面积为b1,经过n年后沙漠面积为bn+1,则a1+b1=1,an+bn=1.
an+1=96%·an+16%·bn=96%an+16(1-an)
=an+.
(2)依题意知an+1=an+,
得an+1-=(an-)=()2·(an-1-)
=…=()n(a1-)=-()n.
∴an+1=-·()n.
依题意-()n>60%,∴()n<.
∴n>log=≈4.1.
故至少需要经过5年,才能使全地区绿洲面积超过60%.
11.假设某市2009年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年年底.
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
(1.085≈1.47)
解析
(1)设中低价房面积构成数列{an},由题意可知{an}是等差数列.
其中a1=250,d=50,则Sn=250n+×50=25n2+225n.
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10.
∴到2018年年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)可新建住房面积构成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列.其中b1=400,q=1.08,则bn=400×1.08n-1.
由题意可知an>0.85bn,
有250+(n-1)·50>400×1.08n-1×0.85.
由1.085≈1.47解得最小正整数n=6,
∴到2014年年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
1.某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生,现有学生人数为b人,以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套,其中需要换的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备,同时每年淘汰x套的旧设备.
(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番,那么每年应更换的旧设备是多少套?
(2)依照
(1)的更换速度,其需多少年能更换所有需要更换的旧设备?
下列数据供计算时参考:
1.19=2.38
1.00499=1.04
1.110=2.60
1.004910=1.05
1.111=2.85
1.004811=1.06
解析
(1)设今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10=1.05b,
由题设可知,1年后的设备为a×(1+10%)-x=1.1a-x,
2年后的设备为1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),
……
10年后的设备为a×1.110-x(1+1.1+1.12+…+1.19)
=2.6a-x×=2.6a-16x,
由题设得=2×,解得x=a.
(2)全部更换旧设备还需a÷=16年.
答案
(1)每年更换旧设备为a套;
(2)按此速度全部更换旧设备还需16年.
2.陈老师购买安居工程集资房92m2,单价为1000元/m2,一次性国家财政补贴28800元,学校补贴14400,余款由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款每期为一年,等额付款,签订购房合同后一年付款一次再经过一年又付款一次,共付10次,10年后付清,如果按年利率7.5%,每年按复利计算,那么每年应付款多少元?
(计算结果精确到百元)
解析 设每年应付款x元,那么到最后一次付款时(即购房十年后),
第一年付款所生利息之和为x×1.0759元,
第二年付款及所生利息之和为x×1.0758元,…
第九年付款及其所生利息之和为x×1.075元,
第十年付款为x元,而所购房余款的现价及其利息之和为[1000×92-(28800+14400)]×1.07510
=48800×1.07510(元).
因此有x(1+1.075+1.0752+…+1.0759)
=48800×1.07510.
∴x=48800×1.07510×
≈48800×2.061×0.071≈7141(元).
故每年需交款7141元.
1.(2013·新课标全国)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )
A. B.-
C.D.-
答案 C
解析 设数列{an}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.
∵q≠1时,S3==a1·q+10a1,
∴=q+10,整理得q2=9.
∵a5=a1·q4=9,即81a1=9,∴a1=.
2.(2012·全国)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( )
A.2n-1B.()n-1
C.()n-1D.
答案 B
解析 当n=1时,S1=2a2,又因S1=a1=1,
所以a2=,S2=1+=.选B.
3.(2013·辽宁)已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=________.
答案 63
解析 因为x2-5x+4=0的两根为1和4,又数列{an}是递增数列,所以a1=1,a3=4,所以q=2.所以S6==63.
4.(2013·重庆)已知{an}是等差数列,a1=1,公差d≠0,Sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8=________.
答案 64
解析 由a1、a2、a5成等比数列,得(a1+d)2=a1(a1+4d),即(1+d)2=1+4d,解得d=2(d=0舍去),S8=×8=64.
5.(2012·北京)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=,S2=a3,则a2=________,Sn=________.
答案 1 (n2+n)
解析 由a1=,S2=a3,得
a1+a2=a3,即a3-a2=.
∴{an}是一个以a1=为首项,以为公差的等差数列.
∴an=+(n-1)×=n.
∴a2=1,Sn=(a1+an)=n2+n=(n2+n).
6.(2012·江西)设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=________.
答案 35
解析 ∵{an},{bn}均是等差数列,根据等差数列的性质可得a1+a5=2a3,b1+b5=2b3,即a5=2a3-a1,b5=2b3-b1,
∴a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2×21-7=35.
7.(2012·浙江)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=________.
答案
解析 S4-S2=3a4-3a2,a3+a4=3a4-3a2,
a3+3a2=2a4,a1·q2+3a1q=2a1q3,q=,q=-1(舍去).
8.(2012·全国)已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
解析
(1)由S2=a2,得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3.
由S3=a3,得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=(a1+a2)=6.
(2)由题设知a1=1.
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