新人教A版数学必修4导学案解析版第一章三角函数导学案.docx
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新人教A版数学必修4导学案解析版第一章三角函数导学案
第一章三角函数
1 例说弧度制中的扇形问题
与扇形有关的问题是弧度制中的难点,我们可以应用弧长公式l=|α|r和扇形面积公式S=|α|r2解决一些实际问题,这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性,又能帮助我们加深对弧度制概念的理解.下面通过几例帮助同学们分析、归纳弧度制下的扇形问题.
例1 已知扇形的圆心为60°,所在圆的半径为10,求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形面积.
解 设弧长为l,弓形面积为S弓,则α=60°=,r=10,所以l=αr=,所以S弓=S扇-S△=lr-r2sinα=50.
评注 本题利用扇形面积求弓形面积,解题时要根据具体问题进行分割,再求解.
例2 扇形的半径为R,其圆心角α(0<α≤π)为多大时,扇形内切圆面积最大,其最大值是多少?
解 如图,设内切圆半径为r.
则(R-r)sin=r,所以r=,
则内切圆的面积S=πr2=π2=πR22.
因为=,且0<≤,
所以当=,即α=π时,Smax=.
评注 解决扇形问题要注意三角形一些性质的应用,建立相等关系,进而求解.
例3 已知扇形的周长为30cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?
最大面积是多少?
解 设扇形的圆心角为α,半径为r,面积为S,弧长为l,则有l+2r=30,所以l=30-2r,从而S=lr=(30-2r)·r=-r2+15r=-2+cm2,所以当半径r=cm时,扇形面积最大,为cm2.这时α==2.
评注 本题是利用扇形面积公式建立二次函数,进而求二次函数的最值.此题是扇形周长一定时,求扇形的面积的最大值,利用此法也可以求当扇形的面积一定其周长的最小值问题.
针对练习:
1.扇形的周长C一定时,它的圆心角θ取何值才能使扇形面积S最大?
最大值是多少?
2.在扇形AOB中,∠AOB=90°,弧AB的长为l,求此扇形内切圆的面积.
3.已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积.
答案 1.θ=2时,扇形面积最大,最大值为.
2.S=πr2=l2.
3.2cm2.
2 任意角三角函数问题错解辨析
任意角三角函数是三角函数的基础,在学习这部分内容时,有的同学经常因为概念不清、考虑不周、观察代替推理等原因而错解题目,下面就解题中容易出现的错误进行分类讲解,供同学们参考.
一、概念不清
例1 已知角α的终边在直线y=2x上,求sinα+cosα的值.
错解 在角α的终边所在直线y=2x上取一点P(1,2),
则r==.
所以sinα+cosα=+=+=.
剖析 错解未弄清直线与角的终边的区别,误认为在角α的终边所在直线上取一点与角α的终边上任取一点都可以确定角α的三角函数值,由任意角三角函数的定义知这是错误的.
正解 在直线y=2x的第一象限部分取一点P(1,2),则r==.
所以sinα+cosα=+=+=.
在直线y=2x的第三象限部分取一点P(-1,-2),
则r==.
所以sinα+cosα=+=+=-.
综上,sinα+cosα的值为或-.
二、观察代替推理
例2 当α∈(0,)时,求证:
sinα 错解 如图,设角α的始边与x轴非负半轴重合,角α的终边与单位圆的交点为P,过P作PM垂直于x轴,垂足为M,过A(1,0)作单位圆的切线与角α的终边交于点T,则MP=sinα.记的长为l,则l=α·OP=α,AT=tanα.观察可得MP<l<AT, 所以sinα<α<tanα. 剖析 证明过程中,通过观察得到的结论,缺乏理论根据,这是不允许的. 正解 设角α的始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆的交点为P,过P作PM垂直于x轴,垂足为M,过A(1,0)作单位圆的切线与角α的终边交于点T,则MP=sinα.记A的长为l,则l=α·OP=α,AT=tanα. 因为S△OAP<S扇形OAP<S△OAT, 所以OA·MP<OA·l<OA·AT. 所以MP<l<AT,即sinα<α<tanα. 三、估算能力差 例3 若θ∈,则sinθ+cosθ的一个可能的值是( ) A.B.πC.D.1 错解 因为θ∈, 所以0<sinθ<1,0<cosθ<1. 因此选A. 剖析 由于方法不当,估算能力差,没有正确估算出sinθ+cosθ的范围,造成错误。 正解 如图所示,设P(x,y)是角θ终边上任意一点,且|OP|=r,则sinθ+cosθ=+=. 因为θ∈, 所以x>0,y>0,且x+y>r. 故sinθ+cosθ>1. 而四个选项中只有C符合要求. 故选C. 以上列举了三种常见的错误,并给出正确解法.同学们在解题时要认真审题,缜密思考,避免犯类似的错误. 3 同角三角函数关系巧应用 同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化,下面结合常见的应用类型举例分析,体会其转化作用,展现同角三角函数关系巧应用. 一、知一求二型 例1 已知sinα=,≤α≤π,则tanα=____________________________________. 解析 由sinα=, 且sin2α+cos2α=1得cosα=±, 因为≤α≤π,可得cosα=-, 所以tanα==-2. 答案 -2 点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时,先利用平方关系求另一弦函数值,再求切函数值,需要注意的是利用平方关系时,若没有角度的限制,要注意分类讨论. 二、妙用“1” 例2证明: =. 证明 因为sin2x+cos2x=1, 所以1=(sin2x+cos2x)3,1=(sin2x+cos2x)2, 所以 = = ==. 即原命题得证. 点评 本题在证明过程中,充分利用了三角函数的平方关系,对“1”进行了巧妙的代换,使问题迎刃而解. 三、齐次式型求值 例3已知tanα=2,求值: (1)=________; (2)2sin2α-3cos2α=________. 解析 (1)因为cosα≠0,分子分母同除以cosα, 得===-1. (2)2sin2α-3cos2α=, 因为cos2α≠0,分子分母同除以cos2α, 得===1. 答案 (1)-1 (2)1 点评 这是一组在已知tanα=m的条件下,求关于sinα、cosα的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点: (1)一定是关于sinα、cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式; (2)因为cosα≠0,所以分子、分母可同时除以cosnα(n∈N*).这样可以将所求式化为关于tanα的表达式,整体代入tanα=m的值求解. 4 单调不“单调”,应用很“奇妙” 三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一,也是高考常考的内容.利用其可以方便地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等.下面举例归纳该性质在解题中的具体应用,希望能对同学们的学习有所帮助. 一、信心体验——比较大小 例1比较cos,sin,-cos的大小. 解 因为sin=cos(-)=cos,-cos= cos,又0<<<<,而y=cosx在[0,π]上是减函数,所以cos>cos>cos, 即-cos>sin>cos. 点评 比较三角函数值的大小关键是利用三角函数某区间的单调性,一般按下列步骤进行: ①将不同名的三角函数化为同名三角函数;②用诱导公式将角化到同一单调区间,并比较角的大小;③由单调性得出各值的大小关系. 二、重拳出击——求解最值 例2 已知f(x)=sin(2x-),x∈R.求函数f(x)在区间[,]上的最小值和最大值. 解 因为当2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z), 即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时, 函数f(x)=sin(2x-)单调递增; 当2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z), 即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时,函数单调递减, 所以f(x)=sin(2x-)在区间[,]上为增函数,在区间[,]上为减函数. 又f()=0,f()=,f()=-1. 故函数f(x)在区间[,]上的最大值为,最小值为-1. 点评 求三角函数的最值是一类重要的三角问题,也是高考中经常出现的考点,解题过程中要注意将ωx+φ看作一个整体.利用三角函数的单调性求最值是三角函数基础知识的综合运用. 三、触类旁通——解不等式 例3若0≤α<2π,sinα>cosα,求α的取值范围. 解 当α=时,不等式成立,当α=时,不等式不成立.当α∈[0,)∪(,2π]时,cosα>0,则原不等式可化为tanα>,根据正切函数的单调性得,<α<;同理可得,当α∈(,)时,<α<.综上,α的取值范围是(,). 点评 利用三角函数的单调性解不等式,首先将三角函数化成某角的同一三角函数,然后利用单调性求解. 5 善用数学思想——巧解题 一、数形结合思想 例1在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围是________. 解析 在同一坐标系中画出y=sinx,y=cosx,x∈(0,2π)的图象如图. 由图知,x∈(,). 答案 (,) 点评 求解三角函数的方程、不等式时,通常利用函数的图象使问题变得更简单. 二、分类讨论思想 例2证明: =(-1)ncosα,n∈Z. 证明 当n为偶数时,令n=2k,k∈Z, 左边= ===cosα. 右边=(-1)2kcosα=cosα, ∴左边=右边. 当n为奇数时,令n=2k-1,k∈Z, 左边= = = ==-cosα. 右边=(-1)2k-1cosα=-cosα, ∴左边=右边. 综上所述,=(-1)ncosα,n∈Z成立. 点评 解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简,如果被化简式子中的角是kπ±α(k∈Z)的形式,往往对参数k进行讨论.常见的一些关于参数k的结论有sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z);cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z);sin(kπ-α)=(-1)k+1sinα(k∈Z);cos(kπ-α)=(-1)kcosα(k∈Z)等. 三、函数与方程的思想 例3函数f(x)=cosx-sin2x(≤x≤)的最大值是________. 解析 f(x)=cosx-sin2x=cos2x+cosx-1 =(cosx+)2-, 设cosx=t,因为≤x≤,所以由余弦函数的单调性可知,≤cosx≤,即≤t≤,又函数f(t)=(t+)2-在[,]上单调递增,故f(t)max=f()=,所以f(x)的最大值为. 答案 点评 遇平方关系,可想到构造二次函数,再利用二次函数求解最大值. 四、转化与化归思想 例4比较tan(-)与tan(-)的大小. 解 tan(-)=-tan,tan(-)=-tan. 因为0<<<,且y=tanx在(0,)内单调递增,所以tan 即tan(-)>tan(-). 点评 三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内,然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的转化与化归思想. 6 三角函数的性质总盘点 三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一,应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质,必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点,请同学们用心体会. 一、定义域 例1函数y=的定义域为________. 解析 由题意得cosx≥, 所以2kπ-≤x≤2kπ+
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